Numeri figurati Numeri triangolari fine

Numeri figurati Numeri triangolari fine
A questa diapositiva si accede mediante un link con la diapositiva d'introduzione dei numeri figurati

numero triangolare Abbiamo delle monete ...
fine Abbiamo delle monete ... e le disponiamo in modo da formare dei triangoli ... Con questa introduzione si contestualizzano i numeri triangolari come numeri che emergono da una disposizione spaziale e dal conteggio degli oggetti utilizzati per costruirli. Infatti, la frase che introduce i numeri triangolari porta l'attenzione sul conteggio, di monete in questo caso. La questione del numero di monete necessarie per la disposizione a triangolo risulta essere la questione guida della lezione. Il numero di monete disposte in modo opportuno a formare un triangolo rappresenta un numero triangolare

OK Costruiamo i numeri triangolari 1 Quante monete? fine
Il caso dei numeri figurati risulta essere un caso più delicato da trattare rispetto a quelli delle diagonali e degli angoli interni dei poligoni. Occorre qui prestare molta attenzione alla distinzione tra il riferimento all'ordine di un numero triangolare ed il numero di monete necessario per costruirlo. Le nostre precedenti esperienze ci hanno mostrato che questa è un passo difficile e che si tende a confondere questi due elementi, soprattutto nella fase dimostrativa del principio d'induzione. Inoltre, ci sembra importante che nel processo di costruzione siano evidenziati i legami tra l'ordine del numero triangolare e la disposizione spaziale delle monete che costituiscono la base, facendo poi anche riferimento al numero di monete in altezza (cioè esplicitare tale numero) In questa presentazione, abbiamo valutato che è nostro compito evidenziare questa differenza nei modi che il software ci offre. La sequenza di diapositive riproduce il processo di costruzione dei numeri per i primi tre. In questa sequenza, abbiamo inserito i seguenti elementi, importanti per noi rispetto a quanto sopra detto: il triangolo tratteggiato, che costituisce la guida spaziale della costruzione ma anche il criterio di verifica della struttura costruita, il cambio di colore del numero del contatore sotto la moneta, per distibguere la fase di conteggio da quello di definizione del numero triangolare; in particolare, abbiamo voluto legare il numero di monete della base all'ordine del numero triangolare indicato come pedice.

OK Costruiamo i numeri triangolari 1 T1 = 1 Quante monete?
fine Costruiamo i numeri triangolari OK Quante monete? 1 L'introduzione del simbolo Dato che la domanda guida è "quante monete", la risposta viene fornita dopo la verifica grafica del triangolo. T1 = 1 Il primo numero triangolare che indichiamo con … proseguiamo ...

Costruiamo i numeri triangolari
fine Costruiamo i numeri triangolari T1 Quante monete? 1 Abbiamo deciso di lasciare una piccola traccia dei numeri triangolari precedentemente costruiti. Per il secondo numero, si propone la costruzione moneta per moneta; il conteggio è tenuto dal contatore in basso, in cui si evidenziano le monete aggiunte rispetto al passaggio precedente. Proprio per esplicitare la costruzione ed il legame tra i vari numeri, sono stati usati colori diversi: le monete del passaggio precedente restano blu, le monete aggiunte sono lilla quando il triangolo è costruito, il numero di monete aggiunto diventa rosso, come il pedice del nuovo numero triangolare trovato T1 = 1

fine Costruiamo i numeri triangolari T1 Quante monete? 1 T1 = 1

fine Costruiamo i numeri triangolari T1 Quante monete? 1+1 T1 = 1

fine Costruiamo i numeri triangolari OK T1 Quante monete? 1+2 T1 = 1

OK Costruiamo i numeri triangolari 1+2 T1 = 1 T2 = 3 Quante monete?
fine Costruiamo i numeri triangolari T1 Quante monete? OK 1+2 A questo punto, la costruzione della successione dei numeri è iniziata e continua nelle diapositive successive. In questa dispositiva, si inizia a evidenziare anche che i numeri triangolari sono legati alla somma dei numeri naturali. Questo potrebbe essere legame con il caso della somma dei numeri naturali, se affrontato in modo diverso, ad esempio utilizzando il metodo di Gauss. T1 = 1 Il secondo numero triangolare che indichiamo con T2 = 3 T2 è uguale alla somma dei primi due numeri naturali … proseguiamo ...

Partiamo da T2 che abbiamo già costruito
fine Costruiamo i numeri triangolari Partiamo da T2 che abbiamo già costruito T1 T2 Quante monete? 1+2 Il contatore ha memoria dei passaggi precedenti e conta le nuove monete aggiunte. T2 = 3 T1 = 1

fine Costruiamo i numeri triangolari T1 T2 Quante monete? 1+2+1 Entra una moneta per volta e il contatore si aggiorna T2 = 3 T1 = 1

OK Costruiamo i numeri triangolari 1+2+3 T2 = 3 T1 = 1 Quante monete?
fine Costruiamo i numeri triangolari OK T1 T2 Quante monete? 1+2+3 Entra una moneta per volta e il contatore si aggiorna T2 = 3 T1 = 1

OK Costruiamo i numeri triangolari 1+2+3 T2 = 3 T1 = 1 T3 = 6 Quante
fine Costruiamo i numeri triangolari T1 T2 Quante monete? OK 1+2+3 Entra una moneta per volta e il contatore si aggiorna T2 = 3 T1 = 1 T3 = 6 Il terzo numero triangolare che indichiamo con T3 è uguale alla somma dei primi tre numeri naturali … proseguiamo ...

fine Quanto vale T4? Partiamo da T3 che abbiamo già costruito T1 T2 T3 Quante monete? T1 T2 = 3 T1 = 1 T2 T3 T3 = 6

fine Quanto vale T4? Partiamo da T3 che abbiamo già costruito T1 T2 T3 Quante monete? Con questa diapositiva, le scelte di colore e di disposizione degli oggetti sono più evidenti: il contatore al di sotto delle monete fornisce la scrittura aritmetica del processo di costruzione la tabella in basso a destra fornisce i primi elementi della successione dei numeri triangolari. T2 = 3 T1 = 1 T1 1+2+3 T2 T3 T3 = 6

Quanto vale T4? T2 = 3 T1 = 1 T1 1+2+3+1 T2 T3 T3 = 6 Quante monete?
fine Quanto vale T4? T1 T2 T3 Quante monete? T2 = 3 T1 = 1 T1 T2 T3 T3 = 6

OK Quanto vale T4? T1 T2 = 3 T1 = 1 1+2+3+4 T2 T3 T3 = 6 Quante
fine Quanto vale T4? OK T1 T2 T3 Quante monete? T1 T2 = 3 T1 = 1 T2 T3 T3 = 6

Abbiamo aggiunto 4 monete per costruire T4 partendo da T3
fine Quanto vale T4? Abbiamo aggiunto 4 monete per costruire T4 partendo da T3 T1 T2 T3 Quante monete? OK T2 = 3 T1 = 1 T1 T2 T3 T3 = 6 T4 è uguale alla somma dei primi quattro numeri naturali T4 = 10

Riassumendo ... T1 T2 T3 T4 1 3 6 10 … e poi? fine
Questo riassunto di quanto svolto ha la duplice funzione di: evidenziare la successione dei numeri triangolari permettere di confermare la struttura di costruzione evidenziata nel caso T4. 1 3 6 10

fine Riassumendo ... T1 T2 T3 T4 T5 ? … e poi? 1 3 6 10

fine Riassumendo ... T1 T2 T3 T4 T5 ? T10 … e poi? 1 3 6 10 ?

fine Riassumendo ... T1 T2 T3 T4 T5 ? T10 T17 … e poi? 1 3 6 10 ? ?

In generale, quanto vale TM?
fine Riassumendo ... T1 T2 T3 T4 T5 ? T10 T17 … e poi? 1 3 6 10 ? ? In generale, quanto vale TM?

In generale, quanto vale TM?
fine In generale, quanto vale TM? Per avere TM, si deve costruire un triangolo avente M monete come base e M monete in altezza M monete M monete Quante monete? TM = ?

In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura.
fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza Prima strategia Seconda strategia La considerazione di T5 permette di lavorare su un numero nuovo, di cui si calcola facilmente il numero di monete ed di facile costruzione. In tal modo, l'attenzione è posta alla ricerca di un nuovo metodo di conteggio delle monete usate. Sono proposte due strategie: 1. La prima corrisponde allo spostamento delle monete: si ha invarianza della quantità ma distruzione della struttura a triangolo La prima strategia potrebbe far sorgere dei dubbi al momento della formulazione della congettura, a proposito del fatto che l'altezza del nuove rettangolo costruito sia sempre esattamente (m+1):2. 2. La seconda corrisponde alla duplicazione della struttura: non si mantiene più l'invarianza della quantità, ma la struttura triangolare, in un certo modo, resta ancora visibile. Con il secondo metodo, quanto detto sopra a proposito di dubbi sulla formula non dovrebbe verificarsi. Nota: questa seconda strategia di risoluzione era seguita anche dai Pitagorici. Essa è: "sobria": l'idea che la sostiene è quella di affiancare due triangoli uguali "semplice": ricorre al legame tra triangoli e rettangoli "generale": se si pensasse di dover sommare fino a m, la strategia del raddoppio del triangolo sarebbe facilmente utilizzabile. Così, "la mente, bloccata dai numeri crescenti, accederebbe a tutti i numeri naturali".

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza 5 monete Proviamo a spostare le monete 5 monete T5 = 15

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Proviamo a spostare le monete 5 monete 5 monete T5 = 15

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora T5= 5*(6:2) possiamo anche scrivere T5= 5*[(5+1):2] oppure T5= 5*(5+1):2

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Il numero di monete è uguale a 5*3, cioè a 5*(6:2), allora T5= 5*(6:2) possiamo anche scrivere T5= 5*[(5+1):2] oppure T5= 5*(5+1):2 La proposta della duplice scrittura ha per obiettivo la messa in evidenza del legame tra il pedice e il numero della formula, nonché del successivo del numero a pedice in vista della congettura che viene formulata successivamente. congettura Seconda strategia

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Per avere T5, si deve costruire un triangolo avente 5 monete come base e 5 monete in altezza Proviamo a disporre altrettante monete 5 monete 5 monete T5 = 15

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Proviamo a disporre altrettante monete 5 monete 5 monete T5 = 15

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè T5= (5*6):2 possiamo anche scrivere T5= [5*(5+1)]:2 oppure T5= 5*(5+1):2

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Ci sono 5*6 monete, ma per T5 ne abbiamo bisogno della metà, cioè T5= (5*6):2 possiamo anche scrivere T5= [5*(5+1)]:2 oppure T5= 5*(5+1):2 congettura Prima strategia

fine In generale, quanto vale TM? Proviamo a fare una congettura. Quante monete? Congettura: per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale: TM= M*(M+1):2 Il bottone a sinistra permette di ritornare alla prima strategia di conteggio il bottone di destra collega alla seconda strategia Prima strategia Seconda strategia

per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale: TM= M*(M+1):2
fine Congettura: per ogni M > 1, il numero triangolare TM vale: TM= M*(M+1):2 Abbiamo una bella congettura. Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza costruire) che T17= 17*(17+1):2=17*18:2=153 cioè che il 17-esimo numero triangolare è costruito con 153 monete. Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?

Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione)
fine Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

Principio (o Metodo) di Induzione Matematica
fine Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica Passo 1 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare): - per costruzione sappiamo che T1 = 1 - con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1.

Principio (o Metodo) di Induzione Matematica
fine Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica Passo 1 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (il primo numero triangolare): - per costruzione sappiamo che T1 = 1 - con la formula: T1 = 1* (1+1) : 2 = 1. OK

se l'm-esimo numero triangolare è Tm = m (m + 1) : 2
fine Procedo con il passo 2 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è Tm = m (m + 1) : 2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è Tm+1 = (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

m m monete Abbiamo Tm m(m+1):2 monete 2. Dimostro che
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo Tm m(m+1):2 monete m m monete

m m monete Abbiamo Tm Costruiamo Tm+1 m(m+1):2 monete 2. Dimostro che
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo Tm Costruiamo Tm+1 m(m+1):2 monete m m monete

m+1 m+1 monete Abbiamo Tm Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo Tm Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

m+1 m+1 monete Abbiamo Tm Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete.
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Abbiamo Tm Costruiamo Tm+1 aggiungendo m+1 monete. Quant'è Tm+1? Quante monete? monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

m+1 m+1 monete Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = m(m+1):2 monete
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

m+1 m+1 monete Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) =
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m2 + m + 2m + 2] : 2 = monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m2 + m + 2m + 2] : 2 = [m2 + 3m + 2] : 2 = monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m2 + m + 2m + 2] : 2 = [m2 + 3m + 2] : 2 = (m + 1)(m + 2) : 2 = monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m2 + m + 2m + 2] : 2 = [m2 + 3m + 2] : 2 = (m + 1)(m + 2) : 2 = (m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monete m+1 monete m+1 m(m+1):2

m+1 Fatto! La proprietà vale per ogni M !!! m+1 monete Allora di ha:
fine 2. Dimostro che se l'm-esimo numero triangolare è m (m+1):2 allora l' (m + 1)-esimo numero triangolare è (m + 1) [(m + 1) +1] : 2 cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Allora di ha: m(m + 1) : 2 + (m + 1) = [m(m + 1) + 2(m + 1)] : 2 = [m2 + m + 2m + 2] : 2 = [m2 + 3m + 2] : 2 = (m + 1)(m + 2) : 2 = (m + 1)[(m + 1) +1] : 2 monete m+1 monete m+1 m(m+1):2 Fatto! La proprietà vale per ogni M !!!

numero triangolare Abbiamo trovato e dimostrato una formula
per calcolare l’M-esimo numero triangolare TM= M*(M+1) 2 Abbiamo usato strategie di tipo figurale cioè basate su aspetti percettivi.

numero triangolare Abbiamo trovato e dimostrato una formula
per calcolare l’M-esimo numero triangolare TM= M*(M+1) 2 Avremmo potuto usare anche una strategia aritmetica come C. F. Gauss uno dei maggiori matematici di tutti i tempi

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Gauss frequentava la scuola elementare. Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali. Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero: 5050 Come lo aveva calcolato? Con questa introduzione si contestualizzano i numeri triangolari come numeri che emergono da una disposizione spaziale e dal conteggio degli oggetti utilizzati per costruirli. Infatti, la frase che introduce i numeri triangolari porta l'attenzione sul conteggio, di monete in questo caso. La questione del numero di monete necessarie per la disposizione a triangolo risulta essere la questione guida della lezione. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

…………… 101 . Con questa introduzione si contestualizzano i numeri triangolari come numeri che emergono da una disposizione spaziale e dal conteggio degli oggetti utilizzati per costruirli. Infatti, la frase che introduce i numeri triangolari porta l'attenzione sul conteggio, di monete in questo caso. La questione del numero di monete necessarie per la disposizione a triangolo risulta essere la questione guida della lezione. 50 addendi

…………… 101 . Con questa introduzione si contestualizzano i numeri triangolari come numeri che emergono da una disposizione spaziale e dal conteggio degli oggetti utilizzati per costruirli. Infatti, la frase che introduce i numeri triangolari porta l'attenzione sul conteggio, di monete in questo caso. La questione del numero di monete necessarie per la disposizione a triangolo risulta essere la questione guida della lezione. 50 x 101 = 5050

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Gauss frequentava la scuola elementare. Si racconta che un giorno il suo precettore assegnò il compito di calcolare la somma dei primi 100 numeri naturali. Gauss scrisse subito sulla lavagnetta il numero: 5050 Come lo aveva calcolato? 50 x 101 = 5050 Con questa introduzione si contestualizzano i numeri triangolari come numeri che emergono da una disposizione spaziale e dal conteggio degli oggetti utilizzati per costruirli. Infatti, la frase che introduce i numeri triangolari porta l'attenzione sul conteggio, di monete in questo caso. La questione del numero di monete necessarie per la disposizione a triangolo risulta essere la questione guida della lezione. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

fine Numeri figurati Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ….. A questa diapositiva si accede mediante un link con la diapositiva d'introduzione dei numeri figurati

fine Numeri figurati Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ….. A questa diapositiva si accede mediante un link con la diapositiva d'introduzione dei numeri figurati

fine Numeri figurati Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri pentagonali 1, 5, 12, ….. A questa diapositiva si accede mediante un link con la diapositiva d'introduzione dei numeri figurati

Numeri figurati E così via
fine Numeri figurati Fino dai tempi di Pitagora, i matematici si interessarono a successioni di numeri rappresentabili secondo schemi geometrici. Numeri pentagonali 1, 5, 12, ….. A questa diapositiva si accede mediante un link con la diapositiva d'introduzione dei numeri figurati E così via

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