Massimo Comun Divisore

Massimo Comun Divisore
M C D

Numeri primi e numeri composti
Nella tabella accanto trovi indicati i divisori dei primi tredici numeri naturali. Prova a ricostruirla sul tuo quaderno e proseguila almeno fino al numero 20.

Osserva i risultati della tabella. Quanti risultati ha ogni numero? Dirai che il numero dei divisori varia da numero a numero; che vi è un numero particolare, l’unità (1), che ha un solo divisore mentre fa parte dei divisori di ogni altro numero;

che vi sono numeri come 2, 3, 5, 7, 11, 13, … che hanno solo due divisori; che i rimanenti numeri hanno più di due divisori. I numeri che hanno due soli divisori, per questa loro caratteristica, vengono chiamati numeri primi. I numeri che hanno più di due divisori sono chiamati numeri composti.

Alfredo è l’aspirante cuoco del ristorante “Gusteau’s”, famoso in tutta la città per le sue ricette prelibate. Giovedì sera aveva preparato 12 polpette e 18 patate al forno. Volendo servire piatti contenenti lo stesso numero di polpette e patate quanti ne potrà preparare? Qual è il numero massimo di piatti tutti uguali che potrà servire in tavola?

Nel disegno sottostante sono riportati tutti i divisori del numero 12 e tutti i divisori del numero 18. Il numero di divisori del numero 12 e il numero di divisori di 18 sono insiemi finiti o infiniti? Puoi dire lo stesso per qualsiasi numero?

Nel disegno sottostante sono riportati tutti i divisori del numero 12 e tutti i divisori del numero 18. I numeri 12 e 18 hanno divisori in comune? Sapresti dire quali sono?

Qual è il più grande dei divisori comuni?

Il più grande divisore comune di due numeri si chiama massimo comun divisore. Per semplicità si abbrevia con le iniziali maiuscole: MCD. Così dirai che il «massimo comun divisore fra 12 e 18 è 6» e scriverai: MCD (12, 18) = 6

Giovedì sera Alfredo potrà preparare 6 piatti tutti uguali, contenenti ciascuno 2 polpette e 3 patate.

Ricopia sul tuo quaderno lo schema grafico precedente. Questo schema grafico ti presenta tre insiemi di numeri. Indica con A l’insieme dei numeri della prima colonna: A = {divisori di 12} = {1, 2, 3, .…, …., …. }

Ricopia sul tuo quaderno lo schema grafico precedente. Questo schema grafico ti presenta tre insiemi di numeri. Indica con B l’insieme dei numeri della terza colonna: B = {divisori di 18} = {…., …., …., …., …., …. }

Ricopia sul tuo quaderno lo schema grafico precedente. Questo schema grafico ti presenta tre insiemi di numeri. Indica con C l’insieme dei numeri della colonna centrale: C = {divisori comuni a 12 e 18} = {…., …., …., …. }

Volendo rappresentare i tre insiemi A, B e C con un diagramma di Venn quale grafico otterrai?

L’insieme C è l’insieme intersezione degli insiemi A e B, quali elementi contiene? Qual è il MCD di 12 e 18?

Vogliamo ora trovare il MCD di 20 e 30. Procedi nel seguente modo: (a) Trova i divisori di 20 - A ={divisori di 20} = {1, 2, 4, …, …., …. } (b) Trova i divisori di B ={divisori di 30} = {1, 2, 3, …, …., …., …., …. } (c) Individua i divisori comuni ad A e B - C = {divisori comuni a 20 e 30} = {…., …., …., …. } (d) Indica l’elemento dell’insieme C che è il MCD (20,30)

La situazione precedente si può rappresentare con un diagramma di Venn? MCD (20,30) = 10

Ora che hai capito il procedimento che attraverso lo schema grafico o i diagrammi di Venn ti ha condotto ad individuare il MCD di due numeri, puoi anche procedere senza ricorrere ai grafici. Sul quaderno trova il MCD (12, 15): Div. 12 = { ………………………….} Div. 15 = { ………………………….} Div. Comuni a 12 e 15 = { ………………………….} MCD (12, 15) = …………………..

Ora che hai capito il procedimento che attraverso lo schema grafico o i diagrammi di Venn ti ha condotto ad individuare il MCD di due numeri, puoi anche procedere senza ricorrere ai grafici. Sul quaderno trova il MCD (24, 25): Div. 24 = { ………………………….} Div. 25 = { ………………………….} Div. Comuni a 24 e 25 = { ………………………….} MCD (24, 25) = …………………..

Nell’ultimo degli esempi precedenti ti sei trovato davanti due numeri che hanno un solo divisore in comune: 1. Quando due o più numeri hanno come MCD l’unità (1,) si dice che sono primi tra loro. MCD (24, 25) = 1 I numeri 24 e 25 sono primi tra loro!

Sai giudicare a vista quale delle seguenti coppie di numeri è formata da numeri primi tra loro ? (2, 3) (5, 6) (8, 10) (9, 14) (4, 6) (7, 8) (9, 12) (5, 12)

Verifica a vista che il MCD dei numeri di ciascuna delle seguenti coppie è 1. (3, 4) (11, 12) (20, 21) (19, 25) (8, 9) (6, 12) (19, 23) (7, 13)

Sul quaderno trova il MCD (12, 24): Div. 12 = { ………………………….} Div. 24 = { ………………………….} Div. Comuni a 12 e 24 = { ………………………….} MCD (12, 24) = ………………….. Cosa osservi? Puoi dire che tutti i divisori di 12 sono anche divisori di 24? Sai dire perché questo avviene?

Sul quaderno trova il MCD (12, 24): Div. 12 = { ………………………….} Div. 24 = { ………………………….} Div. Comuni a 12 e 24 = { ………………………….} MCD (12, 24) = ………………….. Ogni volta che uno dei due numeri assegnati è divisore dell’altro allora il MCD dei due numeri è il più piccolo dei due numeri.

Sai giudicare a vista quale delle seguenti coppie di numeri è formata da numeri di cui uno è divisore dell’altro? (2, 4) (3, 6) (6, 10) (12, 4) (15, 9) (18, 9) (5, 7) (6, 24)

Trova a vista il MCD dei numeri di ciascuna delle seguenti coppie. (4, 8) (14, 7) (20, 5) (12, 4) (15, 45) (36, 12) (18, 6) (77, 11)

Quando i numeri sono un po’ più grandi di quelli che abbiamo visto finora, trovare il MCD non è molto agevole con i metodi finora visti, conviene allora ricorrere alla fattorizzazione. Vediamo come si procede: Vogliamo trovare il MCD (42, 70): Scomponiamo 42 in un prodotto di fattori primi: 42 = 2x3x7

Quando i numeri sono un po’ più grandi di quelli che abbiamo visto finora, trovare il MCD non è molto agevole con i metodi finora visti, conviene allora ricorrere alla fattorizzazione. Vediamo come si procede: Vogliamo trovare il MCD (42, 70): Scomponiamo 70 in un prodotto di fattori primi: 70 = 2x5x7

Il risultato delle fattorizzazioni è: 42 = 2x3x7 70 = 2x5x7 Puoi dire che i divisori primi in comune a 42 e 70 sono: ……………………………………… Allora MCD (42, 70) = 2x7 = 14

Questo procedimento per trovare il MCD di due numeri sfrutta la possibilità di fattorizzare un numero, per questo si chiama metodo dei fattori.

In pratica, il procedimento per trovare il MCD di due numeri con il metodo dei fattori è il seguente: Si fattorizzano i due numeri Si scelgono i fattori comuni (col più piccolo esponente) Si scelgono i fattori comuni (col più piccolo esponente)

Lavorando sul tuo quaderno, trova il MCD delle seguenti coppie di numeri col metodo dei fattori: (18, 24) (40, 60) (28, 42) (120, 160) (36, 72) (48, 54)

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