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Numeri Interi senza segno
Numeri Naturali Numeri Interi senza segno 1 2 3 4 5 6 7 10 111 21 37 14 58 602 7047 182997 102357
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+ Operazioni binarie 3 8 5 a,b A c= a*b : c A
L’ OPERAZIONE in un insieme è una legge che ad ogni coppia di elementi dell’insieme ne associa un altro 3 5 + operandi 8 risultato Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi, si dice che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione a,b A c= a*b : c A
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Operazioni binarie Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi, si dice che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione a,b A c = a*b : c A I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto all’ addizione ? SI ! perché sommando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione ? SI ! perché moltiplicando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla sottrazione ? NO ! perché esistono coppie di numeri la cui differenza NON è un numero naturale: 3 – 5 = -2 N
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Proprietà Commutativa
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+ + Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA 3 8 5 5 8 3
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se a,b A si ha a * b = b * a 3 5 + 8 5 3 + 8
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SI ! Perché a,bN : a b = b a
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se a,b A si ha a * b = b * a La moltiplicazione è Commutativa ? 5 3 • 15 SI ! Perché a,bN : a b = b a 3 5 • 15 La sottrazione è Commutativa ? 5 3 - 2 NO ! Perché a,bN : a b b a 3 5 - - 2
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SI ! Perché A B B A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se a,b A si ha a * b = b * a L’ Unione tra Insiemi è Commutativa ? SI ! Perché A B B A 1 b a c A 2 3 B A B { a, b, c, 0, 1, 2, 3 } 1 b a c A 2 3 B B A { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }
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SI ! Perché A B B A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se a,b A si ha a * b = b * a L’ Intersezione tra Insiemi è Commutativa ? SI ! Perché A B B A 4 1 3 A 2 B 8 5 6 A B { 0, 2, 4 } A B 4 1 3 2 8 5 6 B A { 0, 2, 4 }
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NO ! Perché A \ B B \ A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se a,b A si ha a * b = b * a La Differenza Insiemistica è Commutativa ? NO ! Perché A \ B B \ A 4 1 3 A 2 B 8 5 6 A \ B { 1, 3, 5 } A B 4 1 3 2 8 5 6 B \ A { 6, 8 }
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NO ! Perché A B B A Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è COMMUTATIVA se a,b A si ha a * b = b * a Il Prodotto Cartesiano è Commutativo ? NO ! Perché A B B A BA A B A { , , } B { ,} A B B A
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Proprietà Associativa
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+ + + + Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA 3 5 10 2 3 10 5 2
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c) 3 5 + 8 + 10 2 3 + 10 5 2 + 7
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SI ! Perché a,b,cN (a · b) · c = a · (b · c)
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La moltiplicazione è associativa ? SI ! Perché a,b,cN (a · b) · c = a · (b · c) 5 3 5 • 15 • 3 2 30 • • 6 30 2
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NO ! Perché a,b,cN : (a - b) - c a - (b - c)
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La sottrazione è associativa ? NO ! Perché a,b,cN : (a - b) - c a - (b - c) 5 3 5 - 2 - 3 2 4 - - 1 2
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SI ! Perché (A B) C A (B C)
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c) L’ Unione tra Insiemi è Associativa ? SI ! Perché (A B) C A (B C) 1 3 B A 2 6 4 9 C (A B) { 0, 1, 2, 3, 4, 6 } (A B) C { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 } 1 3 B A 2 6 4 9 C (B C) { 0, 1, 2, 3, 9 } (A B) C { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 }
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SI ! Perché (A B) C A (B C)
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c) L’ Intersezione tra Insiemi è Associativa ? SI ! Perché (A B) C A (B C) 1 3 B A 2 6 4 9 C (A B) C { 0 } (A B) { 0, 2 } 1 3 B A 2 6 4 9 C (B C) { 0, 3 } A ( B C ) { 0 }
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NO ! Perché (A \ B) \ C A \ (B \ C)
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme A è ASSOCIATIVA se a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c) La Differenza Insiemistica è Associativa ? NO ! Perché (A \ B) \ C A \ (B \ C) 1 3 B A 2 6 4 9 C (A \ B) \ C { 4 } (A \ B) { 4, 6 } 1 3 B A 2 6 4 9 C (B \ C) { 1, 2 } A \ ( B \ C ) { 0, 4, 6 }
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Proprietà Distributiva
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+ + Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA 2 16 • 3 5 • 3 16 2 5
In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) 2 + • 16 3 5 8 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione 2 5 3 + • 10 6 16
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• • NO ! Perché a,b,cN : a • (b + c) (a • b) + (a • c) + +
Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) L’ addizione è distributiva rispetto alla moltiplicazione ? NO ! Perché a,b,cN : a • (b + c) (a • b) + (a • c) 2 • + 17 3 5 15 2 5 3 • + 7 5 35
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SI ! Perché A (B C) (A B) (A C)
Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ), vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c) L’ intersezione è distributiva rispetto all’ unione? SI ! Perché A (B C) (A B) (A C) 1 3 B A 2 6 4 A (B C) { 0, 2, 6 } (B C) { 0, 1, 2, 3, 6, 9 } 9 C 1 3 B A 2 6 4 (A B) (A C) { 0, 2, 6 } (A C) { 0, 6 } (A B) { 0, 2 } 9 C
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Elementi Particolari: Neutro - Opposto
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+ • + • SI ! lo 0 SI ! l’ 1 Elemento NEUTRO ? 5 ? 5 5 5 5 1 5
Esiste un numero che sommato con un QUALSIASI numero NON ne modifica il valore ? Esiste un numero che moltiplicato con un QUALSIASI numero NON ne modifica il valore? ? 5 + ? 5 • 5 5 + 5 • 1 5 SI ! lo 0 SI ! l’ 1 Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme A rispetto all’operazione *, in esso definita, se a A si ha u * a = a * u = a
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NO ! Perché la sottrazione non è commutativa
Elemento NEUTRO Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme A rispetto all’operazione *, in esso definita, se a A si ha u * a = a * u = a Esiste l’ elemento neutro per la sottrazione ? NO ! Perché la sottrazione non è commutativa
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NO ! Perché N è l’insieme degli interi senza segno
OPPOSTO L’ OPPOSTO di un numero è il numero stesso cambiato di segno Opposto di a = -a In N esiste l’ opposto ? NO ! Perché N è l’insieme degli interi senza segno ECCEZIONE Il numero 0 (che è opposto di se stesso)
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Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ?
INSIEMI NUMERICI Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ? SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui a ogni numero è associato il segno
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Numeri Interi con il segno
Numeri Relativi Numeri Interi con il segno ± 0 +1 -1 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ±10 ± 111 ± 21 ± 37 ± 14 ± 58 ± 602 ± 7047 ± ± ± Z N
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NO ! Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi
RECIPROCO Il RECIPROCO di un numero è 1 diviso il numero stesso Reciproco di a = 1/a In N o in Z esiste il reciproco ? NO ! Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi ECCEZIONE Il numero 1 e -1 (che sono reciproci di loro stessi)
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un insieme che contenga frazioni
INSIEMI NUMERICI Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono il reciproco ? SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui i numeri possano ammettere cifre decimali. Quindi un insieme che contenga numeri decimali, periodici e periodici misti ossia un insieme che contenga frazioni
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Numeri esprimibili in forma di frazioni
Numeri Razionali Numeri esprimibili in forma di frazioni ± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ± 4 ± 5/2 6/19 - 7 ±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047 -182/997 999999/7 ± 10/2357 ± 98/ Z N Q
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• + + • SI ! L’ opposto SI ! Il reciproco Elemento INVERSO 1 numero
Esistono numeri che sommati a un numero danno come risultato l’ elemento neutro dell’addizione ? Esistono numeri che moltiplicati con un numero danno come risultato l’ elemento neutro della moltiplicazione? ? numero + ? numero • 1 + -5 5 • 1/5 5 1 SI ! L’ opposto SI ! Il reciproco Si dice che i A è INVERSO di a A rispetto all’operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro i * a = a * i = u
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• + N 0 N 1 Z tutti Z -1 Q tutti Q tutti Elemento INVERSO
Si dice che i A è INVERSO di a A rispetto all’operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro i * a = a * i = u i = inv*(a) + OPPOSTO RECIPROCO • Q tutti Q tutti Z tutti Z -1 N 0 N 1
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La Radice quadrata ( ) di un numero è a = b b b = a
quel valore che moltiplicato per se stesso dà il numero : a = b b b = a 25 = 5 perché (5) (5) = 25 -25 = perché non esiste un numero che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo 3 = … 3 N perché non è un numero intero Z perché non è un numero intero Q perché non è un numero esprimibile con una frazione R numeri reali
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tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato
Numeri Reali tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato ± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ±4 ± 5/2 6/19 - 7 ±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047 -182/997 999999/7 ± 10/2357 ± 98/ Z N Q R
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Tabelle riassuntive - CHIUSURA
Z Q R + - /
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Tabelle riassuntive – PROPRIETA’
Commutativa N Z Q R + - / Associativa N Z Q R + - / Distributiva N Z Q R + a (b+c) = ab + ac
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Tabelle riassuntive – ELEMENTO Neutro e Inverso
El. NEUTRO N Z Q R + 1 1 1 1 El. INVERSO N Z Q R + 1 ±1
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Potenze e Proprietà
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si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso
Potenza - Definizione L’operazione b e si legge: b elevato a e indica: l’operazione di elevazione a potenza il numero b è detto base il numero e è detto esponente il risultato dell’operazione è detto potenza L’operazione b e si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso b e = b b b e volte 4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024 5 volte
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Prodotto di due potenze con BASE UGUALE
Prodotto di Potenze con la STESSA BASE Prodotto di due potenze con BASE UGUALE b n b m = ( b b b ) ( b b b ) = n volte m volte = b b b b n + m volte = b n + m b n b m = b n + m 4 3 4 5 = = 4 8 = 65536
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La regola può anche essere utilizzata al contrario :
Potenze con ESPONENTE 1 b n b m = b n + m La regola può anche essere utilizzata al contrario : 48 = = 42 46 Possiamo scrivere : 64 = 43 = = 42 41 = 42 41 = 16 41 41 = 64 / 16 = 4 b 1 = b
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La regola può anche essere utilizzata al contrario :
Potenze con ESPONENTE 0 b n b m = b n + m La regola può anche essere utilizzata al contrario : 48 = = 42 46 Possiamo scrivere : 64 = 43 = = 43 40 = 43 40 = 64 40 40 = 64 / 64 = 1 b 0 = 1
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Potenze un Caso TERRRRIFICANNNNTE
0 0 Sappiamo che ? 0 n = 0 00 = b 0 = 1 1 00 : INDETERMINATA
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Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste
Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste 34 = 3 3 3 3 = 81 26 = 2 2 2 2 2 2 = 64 3-2 = 1 / 32 = 1 / 9 5-3 = 1 / 53 = 1 / 125 012 = 00 = Indeterminata NON HA RISULTATO 211 = 21 23 24 = 27 = 2 2 2 2 2 2 2 = 128 210 = 1 37 1/34 = 37 3-4 = 33 = 3 3 3 = 27 32 3-2 = 32-2 = 30 = 1 27 24 1/26 52 = = 25 52 = 32 25 = 800
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Elevazione a Potenza di una a Potenza
Potenza di Potenza ( bn )m = bn bn bn = m volte = b b b b b . . . n volte n volte n volte n volte n volte = b b b n m volte = b n m ( bn )m = b n m ( 23 )4 = 2 34 = 212 = 4096
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Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste
Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste ( 32)3 = 323 = 36 = 729 ( 22)4 = 224 = 28 = 256 ( 1/32)3 = 1/(3)23 = 1/(3)6 = 1/729 ( (3/2)2)4 = (3/2)24 = (3/2)8 = 38/28 = 6561 / 256 ( 4 )5 = ( 22 )5 = 210 = 1024 ( (3/2)2)-4 = (3/2)2(-4) = (3/2)-8 = (2/3)8 = 256 / 6561
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Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE
Prodotto di Potenze con lo STESSO ESPONENTE Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE a n b n = a a a b b b = n volte n volte = a b a b a b a b n volte = (a b)n a n b n = (a b)n 3 4 2 4 = (3 2)4 = 6 4 = 1296
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Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste
Potenze Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste 32 42 = (34)2 = 122 = 144 ( 43 (1/2)3) = (4/2)3 = 23 = 8 3-2 5-2 = (3 5)-2 = 15-2 = 1/225 42 (1/2)-2 = 4222 = 82 = 64 42 (1/8)2 = (4/8)2 = (1/2)2 = 1/4 42 : 82 = 32 52 = (3 5)2 = 152 = 225
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Potenze bn bm = b n + m an bn = (a b)n
Risolvere le seguenti operazioni dopo averle inserite nella giusta categoria 32 52 32 52 = ( 3 5 )2 = 152 = 225 = 23+5 = 28 = 256 23 25 23 25 = 33+2 = 35 = 243 33 32 33 32 27 37 27 37 = ( 2 3 )7 = 67 = = 26+6 = 212 = 4096 26 26 26 26 26 26 = ( 2 2 )6 = 46 = 4096 26 34 = 64 81 = 5184 26 34
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00 0numero positivo INDETERMINATA = 0 0numero negativo IMPOSSIBILE
Potenze di 0 00 INDETERMINATA 0numero positivo = 0 0numero negativo IMPOSSIBILE
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Divertiti ?
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