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Corso di logica matematica
Prima lezione
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Antinomie logiche e semantiche.
Introduzione: Antinomie logiche e semantiche. Antinomia di Russel. A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non hanno se stessi come elemento.
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Antinomia semantica “ IO STO MENTENDO”. Se egli mente dice la verità;
Un uomo dice “ IO STO MENTENDO”. Se egli mente dice la verità; se dice il vero, mente.
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La frase scritta sulla diapositiva successiva è falsa
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La frase scritta sulla diapositiva precedente è vera
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Uno dei compiti della logica matematica è quello di determinare il corretto uso dei simboli e delle loro combinazioni per accertare che cosa si può dimostrare usando assiomi e regole di inferenza.
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Il calcolo proposizionale: connettivi proposizionali e Tavole di verità
Consideriamo solo combinazioni vero-funzionali , nelle quali la verità o la falsità della nuova proposizione è determinata dalla verità o falsità delle proposizioni che concorrono a formarla.
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Negazione A A V F F V
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Congiunzione A B AB V V V V F F F V F F F F
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Forme enunciative. 1)Tutte le lettere enunciative, eventualmente con indice numerico, sono forme enunciative (A, B, C, A1, B2...); 2)SE e sono forme enunciative, allora lo sono anche (), (), (), () e (). Sono forme enunciative solo quelle espressioni determinate per mezzo della 1) e della 2).
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Ciascuna forma enunciativa determina una funzione di verità che può essere rappresentata graficamente da una tavola di verità per la forma enunciativa.
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A B C (A) ((A)B) (((A)B)C)
V V V F V V F V V V V V V F V F F V F F V V V V V V F F V F F V F V V F V F F F F V F F F V V F
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Tautologie Una forma enunciativa è una tautologia se e solo se la sua funzione di verità ha solo il valore V.
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Se è una tautologia , si dice che implica logicamente oppure che è una conseguenza logica di . Se è una tautologia, si dice che e sono logicamente equivalenti. Le tavole di verità costituiscono una procedura effettiva che ci permette di determinare se una forma enunciativa è una tautologia. Una forma enunciativa è una contraddizione se la sua funzione di verità ha solo il valore F.
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Proposizione 1.1 Se e () sono tautologie, allora anche è una tautologia.
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Proposizione 1.2 Se è una tautologia contenente come lettere enunciative A1, A2,...,An, e si ottiene da per sostituzione di A1, A2,...,An con, rispettivamente, forme enunciative 1, 2,..., n, allora è una tautologia
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Proposizione 1.3 Se 1 deriva da 1 per sostituzione di a una o più occorrenze di , allora (() (11)) è una tautologia . Quindi, se e sono logicamente equivalenti, lo sono anche 1 e 1.
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Proposizione 1.4 Ogni funzione di verità è generata da una forma enunciativa in cui occorrono i connettivi , , .
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x1 x2 x3 F(x1,x2,x3) V V V V ABC F V V F V F V V ABC
F F V V ABC V V F F F V F F V F F F F F F V ABC (ABC) (ABC) (ABC) (ABC).
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Forma normale disgiuntiva
Una forma enunciativa scritta come disgiunzioni di congiunzioni di lettere enunciative o delle loro negazioni è in forma normale disgiuntiva. Da quanto si è visto, ogni forma enunciativa può essere scritta in forma normale disgiuntiva
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