Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10 PROBABILITA’ E VARIABILI ALEATORIE.

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1 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10 PROBABILITA’ E VARIABILI ALEATORIE

2 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.1 SEGNALI DETERMINISTICI : NOTI IN OGNI ISTANTE  TRASF. DI FOURIER SEGNALI ALEATORI : NON NOTI IN OGNI t (ES.VOCE)  PROBAB. (STATIST.) PROBABILITA’ EVENTO= LIM. FREQUENZA RELATIVA = DEF. ASSIOMATICA USCITE ESPERIMENTO= S  SPAZIO EVENTI SPAZIO EVENTI  ANCHE UNIONE, INTERSEZIONE, NEGAZIONI USCITE ELEMENTARI. ES. : DADO PROBABILITA’

3 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.2 DEFINIZIONE ASSIOMATICA ASSEGNO AD OGNI EVENTO UN NUMERO A T.C. MUTUAMENTE ESCLUSIVI ES : DADO SPAZIO EVENTI PUO’ ESSERE CONTNUO ES. PTO. SU SEGMENTO 0-T 0= INSIEME VUOTO =B=B =A=A

4 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.3 RAPPRESENTAZIONE EVENTI EVENTI NON MUTUAMENTE ESCLUSIVI : ES. A= PERSONE CON AUTO B= PERSONE CON BARCA C= PERSONE CON BARCA E AUTO DIM : ES. P(FACCIA PARI  FACCIA  4) DADO. AB C VENN DIAGRAMS

5 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.4 EVENTI CONDIZIONATI DIM : ES : PROBABILITA’ SU UN DADO DI AVERE 2 AVENDO IN USCITA UNA FACCIA PARI MEGLIO A B

6 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.5 TEOREMA DI BAYES ES. CANALE DI COMUNICAZIONE A B C1C1 C2C2 C3C3 a3a3 a2a2 a1a1 b1b1 b2b2 b3b3 CRITERIO MAP : RICEVITORE (LATO C I ) DECIDE A O B SE :

7 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.6 TEOREMA PROBABILITA’ TOTALE SIA S SPAZIO EVENTI, EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI TEOREMA PROBABILITA’ TOTALE TEOREMA DI BAYES ( B 1,….., B n E’ UNA PARTIZIONE DI S ) A S

8 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.7 ESEMPIO (1) : 3 SCATOLE 500-800-1000 COMPONENTI (8%-10%-5% PROB. COMP. DIFETTOSO) PESCO UN COMPONENTE DA UNA DELLE 3 SCATOLE A CASO

9 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.8 ESEMPIO (2) : ROULETTE RUSSA I ) TAMBURO GIRATO DOPO OGNI COLPO (FINO 3 VOLTE A TESTA) A secco B secco A 1/6 5/6

10 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.9 II ) ROTAZIONE TAMBURO NON  EVENTI INDIPENDENTI : STARE ATTENTI : SPESSO EVENTI CHE SEMBRANO INDIPENDENTI NON LO SONO. A secco B secco A 1 1/21/41/6 1/5 1/3 2/3 3/4 4/5 5/61/2

11 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.10 RIASSUNTO EVENTI EVENTI INDIPENDENTI : EVENTI CONDIZIONATI : MUTUAMENTE ESCLUSIVI : ESEMPIO : 2 TRENI A E B IN ARRIVO SPAZIO EVENTI t3t3 t2t2 t1t1 t4t4 T T a b

12 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.11 1) 2) T T b a

13 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.12 3) DUE CONDIZIONI : (1) (2) (1) ARRIVA PRIMA B: A DEVE ARRIVARE PRIMA CHE B RIPARTA  incontro se: a< b < a+  a (2) ARRIVA PRIMA A: B DEVE ARRIVARE PRIMA CHE A RIPARTA

14 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.13  a  b baa  +  b

15 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.14 PROVE RIPETUTE (BERNOULLI) INDIPENDENTI ES. n =9, p =0.3 0 1 2 3 9 K ~0.3 MAX PER K =INTERO MINIMO t.c. K  np

16 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.15 APPROSSIMAZIONI n>>1 a) GAUSSIANA: INTORNO A np DELL’ ORDINE E b) POISSON: VALE PER (K PICCOLO)

17 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.16 GAUSSIANA NORMALIZZATA E’ TABULATA -1 +1 1/2

18 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.17 GAUSSIANA QUALSIASI EFFETTO DI E CAMBIO DI VARIABILI :

19 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.18 APPROSSIMAZIONE GAUSSIANA : CURVA DISCRETA  CONTINUA. SE K 1 E K 2 NELLA ZONA IN CUI L’ APPROX. E’ VALIDA! K ZONA VALIDA

20 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.19 1 o FORMULAZIONE LEGGE GRANDI NUMERI LEGA FREQUENZA E PROBABILITA’ DIM : ATTENZIONE ! : LIMITE PROBABILISTICO NON MATEMATICO

21 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.20 APPLICAZIONI : FISSO  TROVO n 0 TALE CHE n> n 0. LA FREQ. E LA PROBABILITA’ DI EVENTO SONO MOLTO VICINE A MENO DI  CON PROBABILITA’ MOLTO ELEVATE. ES.

22 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.21 POISSON HYP : POICHE’ n GRANDE (SVILUPPO SERIE DI TAYLOR DELL’ ESPONENZIALE) p PICCOLO POICHE’ EVENTI RARI PICCOLO. K P(K SU n)

23 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.22 ESEMPIO : PUNTO LANCIATO A CASO SU INTERVALLO 0-T PROB. CADA IN  T. SI DIMOSTRA : (V. Papoulis) SE T  E COSTANTE E INTERVALLI DISGIUNTI  CIOE’ GLI EVENTI DIVENTANO INDIPENDENTI. =DENSITA’ MEDIA PUNTI SU T.

24 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.23 VARIABILI ALEATORIE DATO L’ ESPERIMENTO E{S,P} DEFINISCO V.A. x UNA FUNZIONE CHE ASSOCIA A OGNI USCITA E UN VALORE x. IN PRATICA  SEMPRE UN LIMITE SUPERIORE DELLA V.A. ES. : DADO ASSOCIO VALORE 1,2,…,6 SE X =7 ; X =4.5 FUNZIONE DISTRIBUZIONE NOTO  NOTA V.A. 16 DADO x E’ LA v.a X SONO I VALORI RELATIVI 1/6 2

25 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.24 PROPRIETA’ MONOTONA CRESCENTE

26 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.25 FUNZIONE DENSITA’ PROBABILITA’ (d.d.p.) ES. : DADO PROPRIETA’ : 1 2 6 1/6

27 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.26 d.d.p. TIPICHE 1) UNIFORME 2) GAUSSIANA 1 1/2 1

28 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.27 3) POISSON 0 1 2 1 K =1 2 3 d.d.p. E’  0 SOLO PER X=K  DISCRETA (ASIMMETRICA)

29 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.28 V.A. CONDIZIONATE X = EVENTO CONDIZIONATO EVENTO CONDIZIONANTE

30 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.29 ES. 1) 1 aa

31 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.30 ES. 2) a b

32 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.31 ES. : TROVARE Pr CHE UN COMPONENTE SI ROMPA TRA t 0 E t 1 DATO CHE FINO A t 0 NON SI E’ ROTTO. X =PARTICOLARE VALORE V.A. x =INSIEME VALORI POSSIBILI

33 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.32 AREA TRATTEGGIATA=DENOMINATORE<1 EFFETTO ” LIEVITATORE” AREA UNITARIA 1

34 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.33 FUNZIONE DI UNA V.A. DATA UNA V.A. x NOTO O, ASSEGNATA ( y E’ UN’ ALTRA V.A.) ? O ? APPROCCIO GRAFICO SE GRAFICA O DISCONTINUA ES. : +1 +1 a b a+b=1

35 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.34 (AREA 1 O DELTA A +1) (AREA 2 O DELTA A -1)

36 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.35 ES. :

37 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.36 APPROCCIO ANALITICO NON ESISTONO DISCONTINUITA’ E DELTA SULLA g(x). (VEDI FIGURA) EVENTO E’ L’ UNIONE DI 3 INTERVALLINI dY E’ SEMPRE UGUALE; I dX i SONO DIVERSI E DIPENDONO DALLA PENDENZA IN X i

38 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.37 APPROCCIO ANALITICO (CONT.) IN MODULO PERCHE’ OVE DERIVATA E’ NEGATIVA SAREBBE NEGATIVO. SOLUZIONI EQUAZIONE

39 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.38 ES. : 1) 2)

40 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.39 ASSEGNATA 1) ///////////// /////////////////

41 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.40 2) E’ ORA DISCONTINUA.

42 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.41 3)

43 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.42 4) ES. : i r (v.a) + E0E0 1050950 1/100 PIU’ PROBABILI VALORI BASSI DI CORRENTE

44 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.43 SINTESI DI UNA V.A. HYP : MONOTONA CRESCENTE APPROCCIO GRAFICO : 1 1 POICHE’

45 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.44 APPROCCIO GRAFICO CON APPROCCIO ANALITICO : x V.A. TRA  1 UNIFORME DEVO RICAVARE, QUINDI, PER OGNI USCITA DI x, CALCOLARE: X = USCITA  1

46 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.45 DESCRIZIONE SINTETICA DESCRIZIONE SINTATICA VALORE MEDIO : VARIANZA : DESCRIZ. ESAUSTIVA O

47 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.46 ESEMPI, 1) GAUSSIANA PROPRIETA’ GENERALE

48 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.47 POISSON QUI VALORE PIU’ PROBABILE SI DIMOSTRA (K INTERO  0)

49 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.48 ES. : DADO E’ MOLTO DISPERSA E’ CIRCA IN TUTTO IL CAMPO DEVIAZIONE STANDARD =

50 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.49 DISEGUAGLIANZA CHEBYCEFF ( II LEGGE DEI GRANDI NUMERI) DIM. :

51 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.50 DIVIDO PER : SE AGISCO SU (ES. ) ALLORA LA PROBABILITA’ DI CADERE VICINO A E’ MOLTO ELEVATA (V. PROVE RIPETUTE). MA L’ INTEGRALE E’ LA PROBABILITA’ DI STARE FUORI PROB. DI STARE DENTRO INTORNO DI =1-PROB DI STARE FUORI VALE PE R QUALSIASI v.a x DI STARE NELL’INTORNO DI

52 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.51 DISTRIBUZIONE CONGIUNTA (2 V.A.)

53 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.52 DENSITA’ MARGINALE

54 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.53 GAUSSIANA BIDIMENSIONALE =COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE SE =0 (SCORRELAZIONE) (CIOE’ INDIP. ) CAMPANA A SIMM. CIRCOLARE

55 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.54 r  0.8 FORTE CORRELAZIONE  NOTO x SEGUE ~ xy.

56 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.55 SIGNIFICATO PROBABILITA’ DI STARE IN UN RETTANGOLO E’ FACILE. SE INSIEME HA FORMA  MEGLIO LA d.d.p.

57 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.56 AGO DI BUFFON a<b PROBABILITA’ AGO INCROCI BARRETTA. 2 v.a. x = DISTANZA CENTRO AGO-SBARRETTA (d.d.p. UNIFORME)  = ANGOLO CON LA VERTICALE (d.d.p. UNIFORME) x 2b2b 2a2a  2/   /2 1/ b b

58 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.57 DEVO CERCARE DOVE VALE IN R CERCO E TROVO REGIONE L R POTEVA ESSERE ESTESO TRA  b E   /2 AVREI AVUTO UN’ AREA 4 L. a b

59 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.58 SE CONSIDERO x CON CAMPO DA - b A + b E    /2.

60 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.59 -a +a

61 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.60 DISTRIBUZIONE DELLA FUNZIONE DI 2 V.A. SE L(z) RETTANGOLARE SI PUO’ USARE DIRATTAMENTE INVECE

62 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.61 ES. : TRACCIO RETTE Z=X E Z=Y E X=Y SE x>y SIAMO SOTTO RETTA X=Y (TRATTEGGIO VERTICALE) SE y>x TRATTEGGIO ORIZZONTALE L(Z) TUTTO QUADRANTE Z=Y X=Y Z Y X FISSO Z Max{X,Y}=Y Max{X,Y}=X

63 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.62 d.d.p. DELLA FUNZIONE 2 V.A.  1) METODO 2) METODO PROBLEMA : TROVARE PUNTI TALI CHE :

64 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.63 ES. : z=x+y 1) X+Y  Z L(Z) E’ ZONA SOTTO RETTE X+Y=Z TRATTEGGIATO. RICORDO CHE : X+Y  Z z=x+y  Z Z=X+Y

65 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.64 2) Z<z  Z+dZ E’ LA STRISCIA Area Rettangolo  Integrale

66 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.65 ESEMPIO : 2 RESISTENZE IN SERIE d.d.p. INDIP. UNIFORMI * = 1/500 47505250900 1100 56505850 300 1/500 6350=1100+5250 1/200 6150

67 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.66 ESEMPIO :

68 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.67 2) METODO

69 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.67.1 max 1/2 max SE E’ GAUSSIANA X=ZY

70 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.68 ESEMPIO : 1) 2) Z Z+dZ

71 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.69 ES. (METODO (1)) a) CON : d.d.p. RAYLEIGH

72 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.70 ES. (METODO (2)) b) GAUSS. CON MEDIA  0 dZ isolivello

73 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.71 = FUNZIONE DI BESSEL MODIFICATA ORDINE ZERO (RICE)  =0 RITROVO RAYLEIGH

74 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.72 IN UN CANALE AWGN (V.POI) (RICE) LA d.d.p. RAYLEIGH CARATTERIZZA INVILUPPO RUMORE LA d.d.p. RICE CARATTERIZZA INVILUPPO SEGNALE ES. : Z  min(X,Y) LE RELAZIONI Z=min(X,Y), Z=max(X,Y ) E Z=(X+Y) POSSONO ESSERE VISTE COME TEMPO DI VITA GLOBALE Z DEI SISTEMI (Es. 2 LAMPADINE) = PIANO ( X,Y ) - max min Z=X+Y AB ABBA Z=min(x,y) X<Z Y<Z X>Z Y>Z Se uno dei 2 funziona il tutto funziona Devono funzionare entrambi Mettono in funzione quando si guasta

75 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.73 MOMENTI SE HO “TUTTI” MOMENTI MOMENTO ASSOLUTO ORDINE k+n MOMENTO CENTRALE PUO’ ESSERE <0 (MOMENTI DI  ORDINE)

76 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.74 SE V.A. ORTOGONALI (OLTRE DI SOLITO NON SI VA) SE SONO INDIPENDENTI SCORRELATE COEFFICIENTE CORRELAZIONE DIM. : EQUAZIONE IN a SEMPRE >0. DISCRIMINANTE <0

77 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.75 d.d.p. CONDIZIONATE : SEVONO PER CAPIRE IL LEGAME TRA 2 V.A. ES. : M LEGATO ALLE V.A. X E Y. ES. M  NUM. DIPENDE DA X CHE DIPENDE DA DOVE SI COLLOCA RISPETTO SE PER ES. ALLORA

78 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.76 CONTIENE LE INFORMAZIONI DELLA d.d.p. CONDIZIONATE CURVA DI AL VARIARE DI x  CURVA DI REGRESSIONE

79 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.77 ES. : x,y v.a. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE. TROVO CHE : RETTA DI REGRESSIONE SVILUPPO I CALCOLI E TROVO CHE E’ GAUSSIANA

80 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.78 STIMA MEQM STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO VALORE STIMATOOSSERVABILE ES. X = PESO Y = ALTEZZA STIMA CON UNA COSTANTE STIMA LINEARE STIMA DI Y

81 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.79 EQUIVALE A STIMARE CON RICORDO

82 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.80 POICHE’, MIN SI HA CON LA g(x) CHE RENDE MINIMO IL SECONDO INTEGRALE : DERIVO RISPETTO g(x) STIMA CON UNA FUNZIONE QUALSIASI (OTTIMA MEQM) 1 CURVA DI REGRESSIONE (v. 10.76)

83 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.81 PER V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE STIMA OTTIMA E’ STIMA LINEARE. CIOE’ CURVA REGRESSIONE  RETTA REGRESSIONE v.pag. 10.77 CASO NON GAUSSIANO CASO GAUSSIANO

84 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.82 STIMA LINEARE (MEQM) SE STIMA LINEARE SODDISFA IL PRINCIPIO DI ORTOGONALITA’ TRA ERRORE STIMA E OSSERVAZIONE x OSSERVAZIONE E{x,y}=0  x,y SONO ORTOGONALI (v. MOMENTI).

85 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.83 N. V.A. STIMA LINEARE OTTIMA (MEQM) DEVO CONOSCERE I LEGAMI (COVARIANZE) TRA LE V.A. OSSSERVABILI E E LA COVARIANZA TRA LA V.A. INCOGNITA E LE OSSERVABILI.

86 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.84 TEOREMA LIMITE CENTRALE V.A. INDIPENDENTI SE IN GENERALE  SIANO LE, PER N SUFFICIENTEMENTE GRANDE (CRESCENTE) LA CONVOLUZIONE FINALE PORTA AD AVERE UNA CHE TENDE A DIVENTARE GAUSSIANA (TEOREMA LIMITE CENTRALE). (ES. VEDI CON DI TIPO UNIFORME  TGR  PARABOLICA). FENOMENI CON TANTE CAUSE FRA LORO INDIPENDENTI TENDONO AD ESSERE GAUSSIANI.

87 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.85 STIMA V.A. y DA N MISURE INDIPENDENTI x i (o anche solo scorrelate) SE E V.A. SCORRELATE

88 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.86 NUOVA V.A. STESSO VALOR MEDIO MA N VOLTE PIU’ PICCOLA DIS. CEBYCHEFF : INVECE DI x OSSERVO y ESEGUENDO GRUPPI DI N MISURE DIVERSE. ARRIVO, CON N >>, VICINO AL VALORE MEDIO QUANTO VOGLIO. ES. APPLICAZIONE AD UNA MISURA CHE MI DA’ RISULTATO ALEATORIO: Y MI CONSENTE DI AVVICINARMI AD QUANTO VOGLIO, IN PROBABILITA’.

89 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.87 STIMA DELLA MEDIA DI UNA V.A. CON LA “MEDIA CAMPIONE = MEDIA CAMPIONE NON VOGLIO STIMARE LA V.A. x MA LA SUA MEDIA. OGNI VOLTA CHE RIPETO L’ ESPERIMENTO USANDO SEMPRE n CAMPIONI. CIOE’ OTTENGO L’ USCITA DELLA v.a. STIMA NON POLARIZZATA STIMA ASINTOTICAMENTE STABILE AL CRESCERE DI n LA STIMA SI STRINGE SEMPRE PIU’ ATTORNO AL VALOR MEDIO VERO.

90 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.88 VARIANZA CAMPIONE VOGLIO STIAMARE VARIANZA CAMPIONE DOVRO’ AVERE : LA VARIANZA DI UNA V.A. NON POLARIZZATA (OCCORRE n-1 ) STABILITA’ ASINTOTICA (SE CONOSCESSI DI UN v.a. x E DOVESSI STIMARE )

91 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.89 COSTRUZIONE d.d.p. SI CREA UN ISTOGRAMMA CON PASSO  E Nr. LETTURA DELLA V.A. MOLTO ELEVATO. SE   0 L’ ISTOGRAMMA NORMALIZZATO (AREA=1) TENDE A DIVENTARE d.d.p. ORDINATA ISTOGRAMMA  AL Nr. VOLTE CHE x CADE NELL’ INTERVALLO . Frequenza relativa x nn (n+1)   N= NUM. OSSERVAZIONI DI x K i = NUM. DI VOLTE CHE TROVO i<x  (i+1) .

92 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.90 STIMA DEL PARAMETRO TEORIA DECISIONE : SCELTA TRA N STATI POSSIBILI (N FINITO). TEORIA STIMA : SCELTA TRA N  POSSIBILI. a) STIMA MAX PROB. A POSTERIORI (MAP) b) MEQM SE =COST.

93 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.91  MEQM (V.MEDIO)  MAP

94 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.92 CANALE AWGN ES. : PARAMETRO CONTINUO a) MV SE

95 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.93 b) MAP SEHO :

96 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.94 (a) PAM CONTINUA (a 1 ) (a 2 ) SE

97 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.95 CIRCUITO : OPPURE CON FILTRO ADATTATO :

98 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.96 STIMA PIU’ PARAMETRI ( ES. FREQUENZE, AMPIEZZE DI UN IMPULSO : CANALE AWGN : HO M EQUAZIONI

99 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.97 SE SI OTTENGONO EQUAZIONI DEL TIPO :

100 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.98 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA NELLO SPAZIO DELLE FUNZIONI BASE, LUOGO DEI PUNTI AL VARIARE DI  (LA COSTELLAZIONE DIVENTA UNA CURVA ). HYP : 1) RUMORE DEBOLE 2) CRITERIO MV : O ’ R = MIN DISTANZA PER EFFETTO DEL RUMORE O  O ’ CONFONDO CURVA CON TANGENTE

101 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.99 SEGMENTO OO ’ = PROIEZIONE DI SU tg =V.A. GAUSSIANA

102 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.100 ERRORE MEDIO SULLA STIMA SE VARIA DA IL PUNTO SI SPOSTA DA A ALLORA SE PER CASO = COSTANTE E SE L = LUNGHEZZA TOTALE CURVA

103 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.101 NELLA PAM SONO SU UN ASSE IN TEORIA PER AVERE PICCOLO  CURVA MOLTO DILATATA O LUNGHE.  a) BANDA DEL CANALE LIMITATA IMPONE MAX. FUNZIONI BASE b) E p = ENERGIA IN Tx E’ FINITA E’ UNA IPERSFERA.

104 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.102 ES. : PERCORSI A LABIRINTO L = GRANDE. HO PUNTI PERO’ MOLTO VICINI CON DIVERSI  FORTE ERRORE ANCHE PER PICCOLO NOISE. STIMA BUONA SE AUMENTO L CIOE’ SPAZIO SEGNALI (A PARI S/N )  AUMENTO DI BANDA OCCUPATA DAL SEGNALE. = ERRORE DI STIMA

105 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.103 MOD. FASE + AWGN SE  UNIFORME TRA 

106 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.104

107 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.105 CIRCUITALMENTE : = ENERGIA SEGNALE =

108 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.106 MODULAZIONE FREQUENZA NON E’ SVILUPPABILE ANALITICAMENTE. HO BANCO DI FILTRI ADATTATI CHE REALIZZANO

109 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.107 0 SE

110 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.108 STIMA RITARDO = DURATA SEGNALE REALIZZO CON UN FILTRO ADATTATO AL SEGNALE Correlazione incrociata segnale rumore

111 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.109 u(t) E’ MAX PER  -  =  -t+  t max =  +   CIOE’ PRENDO u(t) ALLA ASCISSA PER LA QUALE HO IL MAX, SOTTRAGGO  HO COSI’

112 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.110 INFATTI POICHE’ PRECISIONE CRESCE CON ENERGIA E BANDA

113 Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.111 USO CON PICCOLO (TIPO RUMORE BIANCO). NON CONVIENE RIDURRE PERCHE’ SI RIDUCE ANCHE