Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 La ricorsione Corso di Informatica 2 a.a. 2003/04 Lezione 2.

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1 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 La ricorsione Corso di Informatica 2 a.a. 2003/04 Lezione 2

2 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Circoli viziosi Se in una definizione ciò che viene definito (definiendum) è usato per definire (nel definiens), la definizione è circolare: Che cos’è un “gavagai”? Un gavagai è un gavagai che salta e balla

3 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Circoli virtuosi: i naturali Tuttavia ci sono definizioni circolari che sono perfettamente accettabili: 1.0  N 2.se n  N allora (n + 1)  N 3.null’altro è in N definisce l’insieme N= {0, 0 +1, 0 + 1 + 1, 0 + 1 + 1 + 1, …} = {0, 1, 2, 3, … }

4 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Circoli virtuosi: le stringhe Sia V = {a, b, c, …} un insieme (finito) di simboli: il vocabolario. Allora l’insieme V* delle stringhe su V è definito: 1.  V* (la stringa vuota) 2.se a  V e   V* allora a   V* 3.null’altro è in V*. V* = {, a, b, c, …, aa, ab, ac, … ba, bb, bc, …}

5 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Circoli virtuosi: le liste Sia T un tipo di dati; definiamo il tipo List(T) delle liste, o sequenze finite, di dati di tipo T: 1.nil : List(T) (la lista vuota) 2.se d : T e l : List(T) allora Cons(d, l) : List(T) 3.null’altro ha tipo List(T). nil, Cons(d 1, nil), Cons(d 2, Cons(d 1, nil)), … : List(T)

6 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Circoli virtuosi Come mai la definizione di N è accettabile? 1.Perché ci fornisce un metodo (il successore) per generare tutti i naturali a partire da un elemento di base (lo zero) 2.Perché ci fornisce un criterio per verificare se un certo oggetto è un numero naturale: “n è naturale se è 0 oppure se è il successore di un naturale”

7 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Definizioni ricorsive Non solo certi insiemi, ma anche certe funzioni sono definite in modo circolare, che diremo ricorsivo:

8 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Definizioni ricorsive Un modo per convincersi che una definizione ricorsiva individui una funzione è di cercare una forma equivalente esplicita (non ricorsiva): definisce la funzione

9 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Definizioni ricorsive Ma questo non è sempre possibile: nel caso del fattoriale il meglio che si sa fare è fornire una formula esplicita approssimata (formula di Stirling):

10 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Regole di calcolo Interpretiamo allora la definizione di n! come una regola di calcolo: 6!= 6  5! = 6  5  4! = 6  5  4  3! = 6  5  4  3  2! = 6  5  4  3  2  1! = 6  5  4  3  2  1  0! = 6  5  4  3  2  1  1 = 720

11 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Alcuni dubbi Perché questa definizione esplicita non è considerata? Qual è il significato algebrico dei puntini? Si se la regola è univoca Può una “regola di calcolo” definire una funzione?

12 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Il programma “fattoriale” long fact (long n) // pre: n intero positivo // post: ritorna n! { if (n == 0) return 1; return n * fact(n - 1); } chiamata ricorsiva caso di base

13 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(3) = ? fact(2) = ? 2 * fact(1) fact(1) = ? 1 * fact(0) fact(0) = ? fact(2) = ? fact(1) = ? fact(0) = ? Pila domande/risposte

14 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(3) = ? fact(2) = ? 2 * fact(1) fact(1) = ? 1 * fact(0) fact(0) = 1 fact(2) = ? fact(1) = ? fact(0) = 1 Pila domande/risposte

15 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(3) = ? fact(2) = ? 2 * fact(1) fact(1) = 1 1 * 1 fact(2) = ? fact(1) = 1 Pila domande/risposte

16 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(3) = ? fact(2) = 2 2 * 1 fact(2) = 2 Pila domande/risposte

17 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = 6 3 * 2 fact(3) = 6 Pila domande/risposte

18 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Insertsort ricorsivo void Insertsort (int v[], int n) // post: v[0..n-1] e’ ordinato in senso non // descrescente { if (n < 2) return; // v[0..n-1] e’ ordinato // n >= 2 Insertsort(v, n-1); // ex ip. ind. v[0..n-2] e' ordinato int i, temp = v[n-1]; for (i = n-1; i > 0 && v[i-1] > temp; i--) v[i] = v[i-1]; v[i] = temp; }

19 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Induzione completa Se  è un ordine ben fondato, possiamo rafforzare il principio di induzione sui naturali nel seguente modo: Base: P(0) Passo:  m[  n < m.P(n)  P(m)] P(m)P(m)  …  P(0) P(h)P(h)  …  m > h

20 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Funzioni ricorsive “induttive” Siano g ed h funzioni totali, ed s tale che 0  s(n) < n per ogni n; allora la funzione f è definita e totale: Per verificare che f sia definita ovunque dimostriamo (facilmente) per induzione completa su n, che

21 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Massimo Comun Divisore int MCD(int n, int m) // pre: n, m positivi non entrambi nulli // post: ritorna il massimo comun divisore di n ed m { if (m == 0) return n; return MCD(m, n % m); // n % m == n mod m // definito per ind. completa sul secondo parametro }

22 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricursione sulla dimensione Un esempio di ricorsione basata sull’induzione completa è quello di funzioni ricorsive sulla dimensione: bool BinSearchRic (int v[], int i, int j, int x) // pre: v[i..j] e’ ordinato in modo crescente // post: ritorna true sse x in v[i..j] {int m; if (i > j) return false; // v[i..j] e’ vuoto m = (i + j)/2; // indice mediano in i..j if (x == v[m]) return true; if (x < v[m]) return BinSearch(v, i, m-1, x); return Binsearch(v, m+1, j, x); // in entrambi i casi le chiamate ricorsive sono // su intervalli < 1/2 dell’intervallo i..j }

23 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione ed iterazione La funzione fact poteva essere iterativa: long factiterativo (long n) // pre: n intero positivo // post: ritorna n! { int r = 1; while (n > 0) { r = r * n; --n; } return r; } Come si fa a ricavarla?

24 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione ed iterazione La ricorsione va all’indietro (risale ai precedenti valori): fact(n)  fact(n-1)  fact(n-2) … e poi in avanti (ricombina insieme i valori ottenuti): 1 * 1  1 * 2  2 * 3  6 * 4 L’iterazione va solo in avanti (accumula il risultato): r = 1 r = r * n // r == n r = r * n-1 // r == n * (n-1)

25 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione in coda Si parla di ricorsione in coda quando vi è una sola chiamata ricorsiva, la quale è l’ultima istruzione che la funzione esegua. void stampavettore(int v[], int i, int n) // pre: v e' un vettore di n interi // post: stampa nell'ordine gli el. di v[i..n-1] { if (i < n) { cout << v[i] << " "; stampavettore(v, i+1, n); } chiamata ricorsiva in coda

26 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Uso della funzione ausiliare La funzione stampavettore ha un parametro in più, i, che andrebbe eliminato: void stampavettoreaux(int v[], int i, int n) // la precedente funzione “stampavettore” ricorsiva { if (i < n) { cout << v[i] << " "; stampavettoreaux(v, i+1, n); } void stampavettore(int v[], int n) // pre: v e' un vettore di n interi // post: stampa nell'ordine gli el. di v[0..n-1] { stampavettoreausiaux(v, 0, n); }

27 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione in coda Poiché procede in un unico verso, una ricorsione in coda è un’ iterazione camuffata: void stampavettoreiterativa(int v[], int n) // pre: v e' un vettore di n interi // post: stampa nell'ordine gli el. di v[i..n-1] { for (int i = 0; i < n; i++) cout << v[i] << " "; }

28 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione non in coda 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …. long coeffbin(long n, long k) // pre: n,k interi positivi con n >= k // post: calcola il coefficiente // binomiale (n k) { if (k == 0 || k == n) return 1; return coeffbin(n-1,k-1) + coeffbin(n-1,k); }

29 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) Dati tre pioli, su cui sono inseriti n dischi di diametro crescente, spostare la torre da un piolo sorgente (A) ad uno destinazione (B), sfruttando un piolo d’appoggio (C), muovendo un disco alla volta, senza mai sovrapporre un disco più grande ad uno più piccolo. ABC

30 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

31 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

32 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

33 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

34 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

35 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

36 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC

37 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) n = 3 ABC Ci vogliono 2 n – 1 mosse per spostare l’intera torre: e se n = 64?

38 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) ABC n – 1 dischi 1. Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B

39 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) ABC 1.Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B 2.Sposta il disco in A su B

40 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) ABC 1.Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B 2.Sposta il disco in A su B 3.Sposta la torre in C (di n – 1 dischi) su B usando A

41 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) ABC 1.Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B 2.Sposta il disco in A su B 3.Sposta la torre in C (di n – 1 dischi) su B usando A

42 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Le torri di Hanoi (Lucas 1883) void Hanoi (Torre sor, Torre des, Torre aux) // sor == sorgente, des == destinazione, // aux == ausiliaria {if (Sopra(sor) == NULL) // Sopra(t)== la torre su t – la base muovidisco(sor, des); else { Hanoi (Sopra(sor), aux, des); muovidisco(sor, des); Hanoi (aux, Sopra(des), sor); }

43 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione mutua (indiretta) void f() {... g();... } void g() {... f();... } Nota: in C++ il protipo di g() deve precedere la definizione di f(). Sono mutuamente ricorsive quelle definizioni in cui due o più funzioni dipendono le une dalle altre:

44 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione mutua (indiretta) Per il caso di base, quando x è abbastanza piccolo

45 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Ricorsione annidata Infrequente (ed insensata) in pratica, consente di definire funzioni con tasso di crescita molto elevato: long Ackermann (long n, long m) { if (n == 0) return m+1; if (n > 0 && m == 0) return Ackermann(n-1, 1) return Ackermann(n-1, Ackermann(n, m-1)); } Questa funzione ha un tasso di crescita iperesponenziale, ossia cresce circa come

46 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Quando la ricorsione non serve Consideriamo la sequenza di Fibonacci: Questa è generata dalla funzione ricorsiva: int FibRec(int n) {if (n < 2) return n; return FibRec(n-2) + FibRec(n-1); } Quante sono le addizioni? Quante le chiamate?

47 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 L’albero dei computi di FibRec Fib(6) Fib(4)Fib(5) Fib(2)Fib(3) Fib(0)Fib(1) 01 1 Fib(2) Fib(0) 01 Fib(1) Fib(4) Fib(2)Fib(3) Fib(1) 01 1 Fib(2) Fib(0) 01 Fib(1) Fib(0) Fib(3) 1 Fib(2) Fib(0) 01 Fib(1)

48 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Quante addizioni in FibRec(n)? nFib(n)AddizioniChiamate 681225 8213367 105588177 156109861973 2067651094521891 3083204013462682692537

49 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Una versione iterativa La sequenza di Fibonacci si calcola in modo più efficiente iterativamente: int FibIter (int n) {int a, b, c, i; if (n < 2) return n; a = 1; b = 0; for(i = 2; i <= n; i++) // inv. a = Fib(i-1), b = Fib(i-2) {c = a; a = b + a; b = c;} return a; }

50 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2 Riassumendo Una definizione circolare è sensata se induttiva Linguaggi come il C++ ammettono definizioni ricorsive di funzioni La ricorsione è riducibile all’iterazione: direttamente se di coda, con l’uso di una pila nel caso generale La ricorsione è spesso più chiara (e astratta) dell’iterazione, ma può essere molto inefficiente