Teoria dei numeri 4 0,xxx…xxxxxxxxx 2013-esima cifra Suggerimento: prova con 1/3, 1/11, 1/7, poi con 1/2013.

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2 Teoria dei numeri

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4 4 0,xxx…xxxxxxxxx 2013-esima cifra Suggerimento: prova con 1/3, 1/11, 1/7, poi con 1/2013

5 TEORIA DEI NUMERI La teoria dei numeri si occupa di: studio delle proprietà dei numeri interi, divisibilità, primalità (MCD, mcm, CONGRUENZE) equazioni a valori interi (EQUAZIONI DIOFANTEE)

6 Affronteremo: Dividere e essere multiplo: divisione con resto Moduli Primalità: due definizioni. Fattorizzazione. MCD e mcm: algoritmo di Euclide Teorema di Bezout: dati (a, b), h *a +k *B sono tutti e soli i multipli dell’MCD. Segue: se (a, b) multipli di d…

7 Inoltre: Criteri di congruenza: 2^n, 5^n, 3, 9, 11 Congruenze modulo n Somma e prodotto di moduli Inversi Semplificazione SSE MCD=1. Altrimenti, semplifico anche i moduli. Sistemi

8 Esempio Alberto, Beppe e Carlo vogliono trovarsi dopo il capodanno una sera per rievocare i bei vecchi tempi. Alberto ha una serata libera ogni 6 giorni a partire dal 2 di Gennaio, Beppe ha invece una sola serata libera ogni 15 giorni a partire dall’11, e Carlo ne ha una libera ogni 8 giorni a partire dal 5. Quando riusciranno a incontrarsi tutti e tre? E se invece Alberto e Beppe vogliono incontrarsi da soli?

9 Soluzione di un sistema Si può: Ridurlo (moduli coprimi tra loro) e andare per tentativi; Usare: n1*k + a1 = n2*h + a2 e risolvere la DIOFANTEA.

10 Esempi Calcolare 4931^4931 mod 9 Calcolare 2^546321 mod 12 (residui quadratici) Trovare la cifra delle unità di 2007^2007 Calcolare le ultime due cifre di 2007^2007^2007 Quanto vale la somma delle cifre di 999.999.999.999.995^2? Quanto vale la somma delle cifre di (10^2012 + 1)^3?

11 Note Trovare la cifra delle unità di una certa espressione, o le due cifre più a destra, o simili, significa in realtà calcolare il valore dell’espressione data modulo 10, o 100, o altre potenze di 10. Esempio: 2007^2007= 7^2007 =7^3 =3 (mod 10) Alcuni problemi riguardano la divisibilità di un numero per un altro, e possono efficacemente essere schematizzati con una relazione del tipo x 0 (mod d ).

12 Feb 2012 * Dato un qualsiasi intero positivo n, chiamiamo ciclostilato di n il numero che si ottiene concatenando 2012 scritture di n (in base 10). Per esempio il ciclostilato di 314 `e 314314314... 314, dove le cifre “314” si ripetono 2012 volte. Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m sia multiplo di 9. Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m sia multiplo di 11.

13 Feb 2011 * Dimostrare che tutte le potenze di 3 hanno la cifra delle decine pari. Arch 2012 ** Qual è il più grande numero che divide n 5 -5n 3 +4n qualsiasi sia il numero naturale n ≥ 3?

14 2012 Il primo esercizio di Dotto * Dotto si sta esercitando con i numeri. Ha preso la funzione f(n) = 200 - 2n / n e ha calcolato le ultime due cifre (cioè le due più a destra) del prodotto f(1) * f(2) * … * f(99). Che cosa ha trovato?