Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Cicli ed asserzioni Corso di Informatica 2 a.a. 2003/04 Lezione 1.

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1 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Cicli ed asserzioni Corso di Informatica 2 a.a. 2003/04 Lezione 1

2 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Problema: 1.dati x, y, z, … così e così istanza

3 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Problema: 1.dati x, y, z, … così e così 2.trovare u, v, w.. tali che … criterio per riconoscere la risposta

4 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Esempio (Massimo comun divisore: MCD). Dati due interi positivi non entrambi nulli n ed m, determinare un intero positivo k tale che: 1. k divide sia n che m; 2. per ogni divisore comune h di n ed m, h divide k. istanza criterio per riconoscere la risposta

5 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Esempio (Ordinamento: Sorting) Dato un intero positivo n ed una sequenza di n elementi di un insieme A linearmente ordinato, trovare una permutazione  di ordine n tale che: istanza criterio per riconoscere la risposta

6 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Quindi un problema è una relazione (binaria) R, ossia una collezione di coppie Le cui istanze sono in R è sempre univoca?

7 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 La relazione R è: MCD: univoca, perché se k | h e h | k, allora h = k. Sorting: univoca solo se non ci sono ripetizioni. Ci sono due risposte per l’istanza 7, 5, 22, 5: anche se producono lo stesso 5, 5, 7, 22.

8 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Algoritmo: è un metodo automatico di calcolo, che indica passo passo come ottenere un risultato (output) date certe informazioni di partenza (input).

9 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Un algoritmo è deterministico: se eseguito più volte sullo stesso input, fornisce sempre lo stesso output. Dunque ad ogni algoritmo possiamo associare una funzione input-output:

10 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il “che cosa” ed il “come” Un algoritmo risolve un problema R se la su funzione input-output F associa una risposta ad ogni istanza di R: F sceglie una risposta per ogni istanza (ma le risposte possono essere più d’una se R non è univoca).

11 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Che cosa calcola un algoritmo? La risposta è una specifica dell’algoritmo. Vorrei calcolare valori con la proprietà  Posso farlo purché i dati soddisfino  Pre-condizione Post-condizione Sig. UtenteSig. Algoritmo

12 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Specifica di un algoritmo Pre-condizioni: ipotesi sull’ingresso Post-condizioni: proprietà dell’uscita Esempio: MCD (n, m) Pre: n, m interi positivi non entrambi nulli Post: ritorna k che divide sia n che m e t.c. per ogni divisore comune h di n ed m, h divide k.

13 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Specifica di un algoritmo Pre-condizioni: ipotesi sull’ingresso Post-condizioni: proprietà dell’uscita Una pre-condizione  ed una post-condizione  definiscono una relazione: Se R è un problema ed R  P, allora ogni algortimo che soddisfi la specifica Pre. , Post. , risolve R.

14 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ragionamenti su di un algoritmo Ragionare sulla specifica di un algoritmo data con pre e post-condizioni serve a: (a posteriori) verificare la correttezza dell’algoritmo (a priori) (re)-inventare un algoritmo a partire da un’idea circa la soluzione

15 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Il metodo delle asserzioni (Floyd) Divisione (n, m) Pre. n  0, m > 0 Post. ritorna q, r t.c. n = m q + r, 0  r < m r  n q  0 while r  m do r  r  m q  q + 1 return q, r { n = m q + r, 0  r } { n = m (q+1) + r  m, 0  r  m} { n = m q + r, 0  r < m} Asserzioni: descrivono relazioni tra i valori delle variabili, che devono valere quando il controllo raggiunge un certo punto del codice

16 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Asserzioni per le iterazioni while y > 0 do { ??????? } z  z + x 2 y  y  1 Cosa mettere in un punto attraversato tante volte?

17 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Asserzioni per le iterazioni {x 1  x 2 = x 2  y + z} while y > 0 do {x 1  x 2 = x 2  y + z  y > 0} z  z + x 2 y  y  1 {x 1  x 2 = x 2  y + z  y = 0} {z = x 1  x 2 } Qualcosa che, pur cambiando i valori delle variabili, resti sempre vero!

18 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Asserzioni per le iterazioni {x 1  x 2 = x 2  y + z} while y > 0 do {x 1  x 2 = x 2  y + z  y > 0} z  z + x 2 y  y  1 {x 1  x 2 = x 2  y + z  y = 0} {z = x 1  x 2 } {  } while B do {   B} C {  } {    B} invariante

19 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Gli invarianti di ciclo invariante: asserzione vera prima di ogni esecuzione del corpo dell’iterazione l’invariante deve essere vero anche prima di entrare nel ciclo, dopo ogni esecuzione del corpo, all’uscita dal ciclo L’ invariante è unico?

20 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Gli invarianti di ciclo Un ciclo ha molti (infiniti) invarianti, per lo più triviali: {0 = 0} è invariante di ogni ciclo Qual è allora quello che mi serve?

21 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Gli invarianti di ciclo Un invariante è interessante se mi fa capire cosa avrà fatto il ciclo dopo la terminazione Quindi occorre che implichi la post-condizione del ciclo che desidero dimostrare Trovare un invariante senza conoscere l’idea su cui si basa l’algoritmo è una strada in salita!

22 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Come si inventa un ciclo? inizializzazione while condizione do corpo dell’iterazione 1 2 3 1.Per scrivere l’inizializzazione si deve sapere cosa deve fare il ciclo 2.Per scrivere la condizione (guardia) si deve conoscere cosa farà il corpo L’ordine giusto è l’opposto!

23 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 La generica iterazione Per individuare correttamente l’invariante non ci si deve porre agli estremi (inizio o fine del ciclo) ma in un ideale punto medio: la generica iterazione

24 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione parte ordinata tutti gli el. di questa parte sono maggiori di quelli nella parte ordinata i indice del primo elemento della parte da ordinare Idea V [1..n]

25 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione i Invariante V [1..n] V [1.. i  1] ordinato se x in V [i.. n] ed y in V [1.. i  1] allora x  y

26 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione i Passo V [1..n] V [k] sia il minimo valore in V [i.. n] k Scambiando V[i] con V[k] l’invariante si mantiene con i  i + 1:

27 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione i Passo V [1..n] V [k] sia il minimo valore in V [i.. n] k Scambiando V[i] con V[k] l’invariante si mantiene con i  i + 1: V [1.. i] ordinato se x in V [i + 1.. n] ed y in V [1.. i ] allora x  y

28 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione i+1 Passo V [1..n] Inoltre la lunghezza della porzione ordinata è aumentata, mentre la lunghezza di quella da ordinare è diminuita

29 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione i Guardia (test di controllo) V [1..n] L’iterazione deve proseguire fintanto che i < n.

30 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione i = 1 Inizializzazione V [1..n] La parte già ordinata è vuota: V[1.. 0]

31 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione Pseudocodifica SelectSort (V) Pre. V[1..n] vettore di valori su un insieme linearmente ordinato (es. gli interi) Post. permuta sul posto gli elementi di V in ordine non decrescente i  1 while i < n do {inv. V[1..i  1] ordinato, gli el. in V[i..n] maggiorizzano quelli in V[1..i  1]} k  indice del minimo in V[i..n] scambia V[i] con V[k] i  i + 1

32 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione Codice C++ void SelectSort (int v[], int n) // post: ordina distruttivamente ed in // senso non decrescente v[0..n-1] { for (int i = 0; i < n; i++) // inv. v[0..i-1] ordinato, gli el.in v[i..n-1] // maggiorizzano quelli in v[0..i-1] { int k = IndiceDelMin (v, i, n); Scambia (v[i], v[k]); } C++: dichiarazioni nei blocchi

33 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Ordinamento per selezione Codice C++ int IndiceDelMin (int v[], int i, int n) // pre: i < n, quindi v[i..n-1] non e' vuoto // post: ritorna l'indice del minimo in v[i..n-1] { int indmin = i; for(int j = i + 1; j < n; j++) if (v[j] < v[indmin]) indmin = j; return indmin; } void Scambia(int& a, int& b) // post: scambia distruttivamente i valori dei par. {int temp = a; a = b; b = temp; } C++: passaggio parametri per riferimento

34 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Accumulatori ed invarianti Quello iterativo è un metodo di calcolo incrementale: ci si avvicina al risultato un passo dopo l’altro Un accumulatore è una variabile il cui valore rappresenta l’approssimazione corrente L’invariante deve allora spiegare in che senso l’accumulatore approssima il risultato

35 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Accumulatori ed invarianti int Molt (int x, int n) // Pre. n intero positivo // Post. ritorna x  n { int z = 0, y = n; while (y > 0) {z = z + x; y = y  1; } return z; } 2 X 3 = 2 + 2 + 2 A scuola: moltiplicandi e moltiplicatori

36 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Accumulatori ed invarianti z x  y z + x x  (y – 1 )

37 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Accumulatori ed invarianti int Molt (int x, int n) // Pre. n intero positivo // Post. ritorna x  n { int z = 0, y = n; while (y > 0) {z = z + x; y = y  1; } return z; } accumulatore contatore {inv. x  n = z + x  y} z + x  y = (z + x) + x  (y – 1)

38 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Moltiplicazione alla russa 1356 61120 3224 1448 0-728 13  56 div 2 raddoppio +++=+++= Risultato = somma val. della seconda colonna quando quelli sulla prima sono dispari

39 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Moltiplicazione alla russa

40 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Moltiplicazione alla russa int MoltRussa (int m, int n) // Pre. n, m interi positivi // Post. ritorna n  m { int a = n, b = m, z = 0; while (a > 0) {if (a % 2 == 1) z = z + b; a = a / 2; b = b + b; } return z; } {inv. n  m = z + a  b} contatore accumulatore

41 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Dimostrare proprietà di cicli (1) Divisione (n, m) Pre. n  0, m > 0 Post. ritorna q, r t.c. n = m q + r, 0  r < m r  n q  0 while r  m do r  r  n q  q + 1 return q, r { n = m q + r, 0  r < m} {inv. n = m q + r, 0  r } Come dimostrare che l’invarinte vale? Per induzione sul numero delle iterazioni

42 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Lo schema dell’induzione Una dimostrazione per induzione si suddivide in due parti: 1.Il caso di base: P(0) (ma potrebbe essere P(k), e allora la conlcusione sarebbe  n  k.P(n)) 2.Il passo induttivo: P(n)  P(n+1). L’ipotesi P(n) si chiama ipotesi induttiva. P(m)P(m) P(m-1)  …  P(0)

43 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Una dimostrazione per induzione Tesi: Base: P(0). Passo: P(n)  P(n+1). Per ipotesi induttiva quindi:

44 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Dimostrare proprietà di cicli (2) Base: Tesi: Passo: ipotesi induttiva

45 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 1 Riassumendo La specifica (pre e post condizioni) definisce cosa fa una procedura (algoritmo) Le asserzioni sono un metodo per verificare la correttezza di un algoritmo Per trattare i cicli occorre individuare i loro invarianti Gli invarianti sono fondamentali per progettare o capire un ciclo La prova che un’asserzione è un invariante è per induzione