Il laboratorio delle Macchine Matematiche

Presentazione sul tema: "Il laboratorio delle Macchine Matematiche"— Transcript della presentazione:

1 Il laboratorio delle Macchine Matematiche
Progetto Mate-Laboratorio Incontro 22 settembre 2011 Cremona

2 Corso nato dalla collaborazione tra
Associazione delle macchine Matematiche Cremona 2011

3 Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it
Nicoletta Nolli Cinzia Galli Francesca Martignone Rossella Garuti Associazione delle Macchine Matematiche Cremona 2011

4 Cosa è stato fatto 2010/2011 Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito Apertura al prestito (Cinzia Galli) Inizio corso di formazione

5 1° parte anno scolastico 2010-2011
Programma del corso 1° parte anno scolastico DATA TITOLO Elementi di contenuto e strumenti Primo incontro 30 marzo 2011 15-18 Sala Puerari e Aula Didattica Presentazione del progetto: intervengono M.L.Beltrami (UST ) e Laura Parazzi (Dirigente Liceo Scientifico Aselli) Il Laboratorio di Matematica nelle Indicazioni per il Curricolo e nel nuovo Obbligo Formativo Il laboratorio di matematica e macchine matematiche: quadro teorico. Un esempio di continuità verticale. Analisi di un caso: costruzioni con riga e compasso. L’idea generale di Laboratorio di Matematica STRUMENTI: riga e compasso Secondo incontro 14 aprile Costruzioni con riga e compasso Il laboratorio di matematica: macchine geometriche (macchine per le trasformazioni) Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e dilatazione STRUMENTI: Pantografi e Biellismi Terzo incontro 28 aprile Trasformazioni geometriche: dilatazione e omotetia Cremona 2011

6 Le macchine analizzate fin ora
IL COMPASSO I PANTOGRAFI PER LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

7 I materiali del corso Presentazioni ppt Schede di lavoro
Animazioni virtuali delle macchine Materiali da sperimentazioni Griglie di progettazione

8 Cosa faremo oggi Ripresa del lavoro
Alcuni estratti da sperimentazioni già svolte Discussione proposte di sperimentazioni

9 Quadro teorico del progetto
Ricerche nazionali ed internazionali Idea di laboratorio di matematica Ricerche storico-epistemologiche e didattiche sulle macchine matematiche Mediazione semiotica Ricerche su aspetti cognitivi legati all’esplorazione delle macchine matematiche

10 La documentazione pubblica del Progetto MMLab-ER
 Progetto regionale Emilia-Romagna  Risultati del progetto Report delle sperimentazioni (insegnanti) Foto e video (insegnanti e centri di doc.) Libro Progetto regionale (Martignone (ed.), 2010) Tesi di dottorato (Garuti, 2011) Diari di bordo delle sperimentazioni (insegnanti) Pubblic. su riviste e comunic. agli atti di congressi naz. e internaz. (insegnanti e ricercatori MMLab) UMI 2011

11 Laboratorio con gli studenti
Metodologia Laboratorio di matematica (curriculi UMI) Laboratorio con gli insegnanti durante il corso di formazione Laboratorio con gli studenti nelle sperimentazioni nelle classi

12 Processi e aspetti culturali coinvolti
Metodologia laboratoriale Lavori di gruppo e discussioni Quali focus? Quali artefatti? Processi e aspetti culturali coinvolti Le Macchine Matematiche

13 Focus Aspetti culturali:
Le macchine come oggetti usati nella storia della matematica e non solo Il ruolo della definizione e dimostrazione nella cultura matematica Processi: Produzione congetture, sviluppo di argomentazioni e costruzione di dimostrazioni

14 Gli ingredienti Metodologia laboratoriale Opportune consegne
Attività in piccoli gruppi Discussioni collettive Macchine Matematiche: Macchine aritmetiche e geometriche Attenzione ai Processi e agli aspetti culturali coinvolti Opportune consegne

15 La prima macchina analizzata: il compasso
Cremona 2011

16 Costruzioni di triangoli isosceli (tenendo presente la disuguaglianza triangolare)
Partendo dall’asse di simmetria… Data la base costruire i lati congruenti… Partendo dagli angoli conguenti Partendo dalla proprietà della crf …

17 Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano…
Rombo o parallelogramma… Perpendicolare alla perpendicolare …. Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti… Triangoli e Talete… E poi variazionidi queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli… 8 aprile 2017 Esempi di costruzioni di rette paralllele ricostruite da Simone Banchelli con un software di DG

18 Nelle diverse costruzioni
Da dove siete partiti? Dalla definizione, da quali proprietà del triangolo? PERCHE’? Quale procedura avete seguito? PERCHE’? Che ruolo hanno avuto gli strumenti in queste scelte? E le conoscenze (pratiche e teoriche)? Cosa abbiamo notato dal confronto tra le diverse costruzioni? Cremona 2011

19 Pantografi Meccanismi che stabiliscono
una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate collegandole fisicamente attraverso sistemi articolati e che incorporano le proprietà che caratterizzano la trasformazione geometrica del piano

20 Le quattro domande chiave
che hanno strutturato tutte le attività con le macchine (nelle attività con gli insegnanti e con gli studenti) ESPLORAZIONI Come è fatta? Cosa fa? Perché lo fa? Cosa succederebbe se …? ARGOMENTAZIONI DIMOSTRAZIONI CONDIZIONALITA’ PROBLEM POSING E PROBLEM SOLVING

21 Il pantografo per la simmetria assiale
x'=x y'=-y Come è fatto? Cosa fa? Perché? Cosa succederebbe se…? Due vertici di un rombo articolato sono vincolati a muoversi su una guida rettilinea (r) e quindi gli altri due vertici (P e Q) si corrispondono in una simmetria assiale di asse r UMI 2011

22 Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste?
Variazioni del pantografo: quadrilateri con due lati congruenti PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale? Che cosa fa? Perché? a= AP B= AQ P(x,y) Q(x’,y’) x’=x A C B Associazione delle Macchine Matematiche

23 Stiramento Equazioni: x'=-kx y'=y I triangoli FQG e MPN sono simili:
QH:PH=QF:PM QH:PH=(QB+BM):PM QB=l PM=d QH:PH=(2l-d):d K=(2l-d)/d 8 aprile 2017

24 Idee di percorsi didattici
Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche Idee di percorsi didattici Indicazioni metodologiche Alcune linee guida e materiali di lavoro Idee di percorsi 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

25 Indicazioni metodologiche
Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso. Lavoro a piccoli gruppi. Verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

26 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quanto tempo? Almeno 3 ore (2+1) per introdurre la prima macchina: esplorazione e successiva discussione con focus sui processi e sugli aspetti culturali coinvolti A seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

27 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi? Aspetti legati Alla geometria: analisi delle proprietà delle figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)… All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure… 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

28 Quali possibili obiettivi?
Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui: vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

29 Per questo, durante le attività laboratoriali
Si vuole dare spazio a: Attività di esplorazione Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici Verbalizzazione (orale e scritta) Discussioni collettive

30 Cosa è stato fatto 2010/2011 Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito Apertura al prestito (Cinzia Galli) Inizio corso di formazione Progettazione sperimentazioni

31 Griglia per la progettazione
8 aprile 2017

32 I vostri progetti Discussione

33 Possibili percorsi di sperimentazione
I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo! 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

34 Percorso 1: simmetria assiale e stiramento
Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso) Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

35 Come è fatta la macchina?
Produzione di testi descrittivi e argomentativi Discussioni matematiche Cosa fa? Perché lo fa?

36 Indicazioni metodologiche
Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti) Strumenti: pantografi e fogli bianchi Richiesta di verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) dell’attività con la macchina Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

37 Linee guida per le attività degli studenti
Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?) Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?) Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?) Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

38 Autori: R. Garuti e F. Martignone
Cosa succederebbe se… 8 aprile 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

39 L’ultimo pantografo analizzato pantografo di Scheiner
Come è fatto? Cosa fa? Perché lo fa?

40 Ricominciamo da qui… Come è fatto? Cosa fa? Perché lo fa?

41 Per dimostrare… Nel piano cartesiano:
Per dimostrare l’allineamento di O, Q e P e il rapporto costante tra le distanze dei tracciatori (Q e P) dal punto fisso O, si possono considerare il triangoli simili OQA e OPB oppure i triangoli OQA, QPC e il parallelogramma AQCB… 8 aprile 2017

42 Confronto di dimostrazioni
8 aprile 2017

43 Omotetia di rapporto negativo (simm centr.)
Cosa succederebbe se …? Omotetia di rapporto 1:3 Omotetia di rapporto negativo (simm centr.) Animazioni costruite con Geogebra o Cabri Costruzione di nuove macchine con materiali poveri: aste di plastica, bastoncini di legno…

44 Materiali ora presenti sul sito
Presentazione PPT degli incontri Schede di lavoro per gli insegnanti Materiali analizzati Linee guida per percorsi didattici Griglie per la progettazione di sperimentazioni

45 Materiali presto sul sito
Presentazioni PPT e schede di lavoro dei prox incontri Schema di diario di bordo Modulo prenotazione macchine Pdf di articoli e libri in cui sono raccolte esperienze svolte da insegnanti dell’Emilia Romagna

46 Da alcune sperimentazioni svolte in classe
Progetto MMLab-ER

47 Sperimentazioni In tutte le sperimentazioni svolte dagli insegnanti coinvolti nel progetto MMLab-ER si ritrovano le linee guida del corso di formazione: La metodologia laboratoriale L’elaborazione di percorsi e di consegne cruciali L’attenzione ai processi Il focus sugli aspetti culturali

48 Come è fatta? Cosa fa? Perché?

49 Nuove consegne… lo Scheiner sbagliato
Perché non funziona?

50 Giustificare la risposta Provare che…
Descrivere il compasso … Costruire con riga e compasso … Scrivere la procedura Giustificare la risposta Provare che…

51 La voce degli insegnanti alcune riflessioni dai report finali
“È stato interessante osservare i ragazzi all’opera non solo per la qualità degli elaborati finali prodotti, ma anche per l’opportunità di poterli ascoltare nel momento in cui le loro idee venivano alla luce, esposte e concretizzate”. [Banchelli- Liceo scientifico] “E’ importante anche sottolineare, che la lezione di geometria in laboratorio non richiede più tempo rispetto all’insegnamento classico, anzi, lo riduce, poiché suggerimenti, osservazioni e congetture fanno parte di una scoperta e di una crescita culturale di ognuno, nel rispetto dei propri modi e tempi di apprendimento” [Silvegni- IPSIA] UMI 2011

52 ricostruzioni virtuali con software di DG www.macchinematematiche.org
Altre macchine ricostruzioni virtuali con software di DG

53 Pantografo di Kempe P Questo pantografo si ottiene assemblando due sistemi articolati BCP e ADQ (ove BC=AD e CP=DQ) mediante tre aste uguali di lunghezza assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al piano. ABCD e CPQD sono quindi due parallelogrammi articolati. Il punto P (tracciatore) ha due gradi di libertà. B C Q A D 8 aprile 2017

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55 Pantografo di Kempe Si può osservare che:
Quando il puntatore percorre un segmento, il tracciatore descrive un segmento parallelo e uguale: in ogni posizione di R sul segmento a, PQRS è un parallelogramma (lati PQ ed RS paralleli e uguali) Viene conservato il verso di percorrenza delle figure Non esistono punti uniti , esiste un fascio improprio di rette unite. 8 aprile 2017

56 Pantografo di Kempe Questo pantografo si ottiene assemblando due sistemi articolati BCP e ADQ (ove BC=AD e CP=DQ) mediante tre aste uguali di lunghezza assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al piano. ABCD e CPQD sono quindi due parallelogrammi articolati. Il punto P (tracciatore) ha due gradi di libertà. 8 aprile 2017

57 Pantografo di Kempe x'=x Equazioni della trasformazione
Sia h la lunghezza di AB. x'=x y'=y-h 8 aprile 2017

58 Rotazione 8 aprile 2017

59 Rotazione Costruzione: AP=AB=OC OA=CB=CQ triangoli PAB e BCQ simili
Dimostrazione: 1) 2) relazione fra angoli:

60 Nei prossimi incontri Esplorazione di altre macchine matematiche: ancora un pantografo e poi curvigrafi e macchine aritmetiche Discussione progetti di sperimentazione Testimonianze dalle classi

61 2° parte anno scolastico 2011-2012
Programma del corso 2° parte anno scolastico Data TITOLO Elementi di contenuto e strumenti Quarto incontro 22 settembre 2011 15 – 18 Analisi delle prime sperimentazioni in classe Il laboratorio di matematica: macchine geometriche (macchine per le trasformazioni geometriche del piano) Discussione dei progetti Trasformazioni geometriche STRUMENTI: Pantografi e Biellismi Quinto incontro 13 ottobre 2011 Macchine geometriche: pantografi Macchine aritmetiche: costruzione e analisi Notazione posizionale, algoritmi, regolarità numeriche STRUMENTI: pantografi e pascalina, Sesto incontro 27 ottobre 2011 macchine geometriche (curvigrafi) Coniche e costruzioni di animazioni virtuali STRUMENTI: curvigrafi Settimo incontro 10 novembre 2011 I progetti di sperimentazione nelle classi Discussione dei progetti di sperimentazione con particolare attenzione alla metodologia laboratoriale Cremona 2011

62 Per la prox volta Compilare la griglia per la progettazione delle sperimentazioni Spedire la griglia ai formatori via e- mail Nicoletta Nolli Francesca Martignone Per facilitare il prestito, comunicare il periodo in cui si pensa di svolgere la sperimentazione

63 Il diario di Bordo 8 aprile 2017

64 VIDEO DI ESEPRIENZE SVOLTE IN CLASSE
MODENA DAL MIN

65 Grazie!