TRASFORMATA DI FOURIER

Presentazione sul tema: "TRASFORMATA DI FOURIER"— Transcript della presentazione:

1 TRASFORMATA DI FOURIER

2 AUTOFUNZIONI S.L.T.I AUTOFUNZIONE : SI “REPLICA” IN USCITA LA STESSA” FORMA DEL SEGNALE IN INGRESSO A MENO DI UNA COSTANTE. SI DIMOSTRA CHE PER UN S.L.T.I. E’ UNA AUTOFUNZIONE  UTILITA’ : SE POSSO DESCRIVERE UN INGRESSO COME COMBINAZIONE LINEARE DI AUTOFUNZIONI ALLORA E’ SEMPLICE TROVARE L’ USCITA (ANCORA COMB. LIN. DI AUTOFUNZIONI).

3 AUTOFUNZIONI (DIMOSTRAZIONE)
h(t) S.L.T.I. H(S) : FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TRASFORMATA DI LAPLACE DI h(t))

4 TRASFORMATA DI FOURIER
NELLE TLC E’ PIU’ UTILE RAGIONARE CON S=j (=0)  TRASFORMATA DI FOURIER (PERCHE’ NELLA VAR. “S” SOLO LA PARTE IMMAGINARIA HA UN SIGNIFICATO FISICO : FREQUENZA SEGNALE) : TRASFORMATA DI FOURIER DI h(t)=FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL S.L.T.I.

5 TRASFORMATA DI FOURIER (cont.)
TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE) [x(t)] ANTITRASFORMATA  -1 [X()]=  -1 [X(f)]

6 DIMOSTRAZIONE ANTITRASFORMAZIONE
Continua…...

7 ……antitrasformata di Fourier
VEDREMO CHE : (t) 1

8 CONDIZIONI ESISTENZA DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
CONDIZIONI SUFFICIENTI NON NECESSARIE : FUNZIONE MODULO INTEGRABILE OPPURE SEGNALE AD “ENERGIA” FINITA ALTRIMENTI : SEGNALE A “VARIAZIONE FINITE” NON VALE AD ESEMPIO PER LE CURVE FRATTALI Lunghezza finita

9 TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)
NOTA : IN GENERALE L’ ANDAMENTO NEL TEMPO E NELLE FREQUENZE SONO MOLTO DIVERSI (es ) E’ UNA FUNZIONE COMPLESSA. DALLE FORMULE DI EULERO:

10 TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)

11 RICHIAMI DI ANALISI FUNZIONI PARI  FUNZIONI DISPARI 
PRODOTTO DI 2 FUNZIONI PARI  PARI PRODOTTO DI 2 FUNZIONI DISPARI  PARI PRODOTTO DI 1 FUNZIONE PARI CON 1 FUNZIONE DISPARI  DISPARI ES: Sen  FUNZIONE DISPARI Cos  FUNZIONE PARI

12 RICHIAMI DI ANALISI RITARDO t0 > 0 ANTICIPO

13 SEGNALE GENERICO (REALE):
E’ PARI IN  (INFATTI SE SI CAMBIA  IN -  NON CAMBIA NULLA) E’ DISPARI E’ PARI  POSSO STUDIARLO PER >0 E’ DISPARI E’ SUFF. FARE GRAFICI SOLO PER >0

14 TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)
 TRASFORMATA DI FOURIER E’ REALE PARI : DISPARI :  TRASFORMATA DI FOURIER PURAMENTE IMMAGINARIA NOTE : <0 NON HANNO SIGNIFICATO FISICO (MATEMATICAMENTE SI) =0 E’ LA CONTINUA DEL SEGNALE :COMPONENTE CONTINUA SE C’E’ COMPONENTE CONTINUA (DA -  A + )  C’E’  .

15 TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)
DIM : Ponendo

16 PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE (TEMPO-FREQUENZA)
DALLA SI VEDE CHE UNA “COMPRESSIONE” NEL TEMPO CORRISPONDE AD UNA “DILATAZIONE” NELLE FREQUENZE (a>1), E VICEVERSA.

17 PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE
: DURATA NEL TEMPO DEL SEGNALE : DURATA IN FREQUENZA MA ALLORA, IN LINEA DI PRINCIPIO, SOLO I SEGNALI DI DURATA INFINITA POSSONO AVERE DURATA FINITA IN FREQUENZA.

18 BANDA SEGNALE Banda base Passa banda BANDA BANDA
IN PRIMA APPROSSIMAZIONE : DOVE E’ 0 (O COMUNQUE DOVE E’ “SIGNIFICATIVAMENTE”  0). VEDREMO PIU’ AVANTI UNA DEFINIZIONE IN TERMINI ENERGETICI. SOLO 0 Banda base Passa banda BANDA BANDA E’ ANCHE DETTO “SPETTRO DEL SEGNALE”

19 BANDA SEGNALE METODO DI CALCOLO (BANDA BASE)
1) METODO MATEMATICO : CERCO LA BANDA CHE CONTIENE UNA CERTA PERCENTUALE DELL’ ENERGIA DEL SEGNALE (BANDA = ). 2) METODO SPERIMENTALE : Passa alto x(t) 5% della Energia totale Misuratore di Potenza/Energia

20 TRASFORMATA DI FOURIER
 RITARDO ALTERA LA FASE LA FORMULA VALE ANCHE PER “ANTICIPO” MA FISICAMENTE ANTICIPO SPESSO NON HA SENSO (CAUSALITA’).

21 TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)
DIM : ponendo

22 ( ) TEOREMA DUALITA’ 1 2 PER DUALITA’ d pd w t « 1 ES :
LA DIMOSTRAZIONE E’ “INTUIBILE” DALLE DEFINIZIONI DI TRASFORMATA ED ANTITRASFORMATA (CAMBIA IL SEGNO E ABBIAMO UN FATTORE 2). ES : ( ) 1 2 PER DUALITA’ d pd w t 1

23 TEOREMA CONVOLUZIONE E’ MOLTO IMPORTANTE!! NEI S.L.T.I. POSSO FARE PRODOTTO IN FREQUENZA INVECE DI CONVOLUZIONE NEL TEMPO. CIOE’ “LAVORO’ IN FREQUENZA E POI TORNO NEL TEMPO (ANTITRASF.)

24 TEOREMA CONVOLUZIONE DIM :

25 TEOREMA CONVOLUZIONE (DIMOSTRAZIONE)
 “ INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE” 

26 TEOREMA CONVOLUZIONE (DIMOSTRAZIONE)
POICHE’ : (NON DIMOSTRATA)

27 TEOREMA CONVOLUZIONE PER IL TEOREMA DUALITA’ : NB : TEOREMA CONVOLUZIONE E’ FONDAMENTALE PER LO STUDIO DI SEGNALI E SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE (MA ANCHE IL DUALE E’ IMPORTANTE).

28 TRASFORMATA DI FOURIER
HP : x(t) A MODULO INTEGRABILE E A VARIAZIONI LIMITATE.

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30 UTILITA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER  CONSENTE DI
STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA L.T.I. SENZA CALCOLARE LA CONVOLUZIONE. Anziché un integrale di convoluzione, si eseguono 2 trasformate + 1 prodotto + 1 antitrasformata. E’ conveniente se le trasformate di x(t), h(t) e l’antitrasformata del prodotto X()H() sono note (o comunque semplici).

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32 COMPOSIZIONE DI BLOCCHI
L.T.I. X Y L.T.I. X Y L.T.I. L.T.I. DIM. BLOCCO TOTALE ANCORA L.T.I. ; h(t), H()

33 TRASFORMATE NOTEVOLI TRASFORMATA DEL RETTANGOLO :
SARA’ REALE PERCHE’ x(t) PARI.

34 TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)
POICHE’ :

35 TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)

36 TRASFORMATA “RETTANGOLO”
w AT 2 4 6 __ p T INVILUPPO ZERI : N.B. : FASE NULLA (x(t) PARI).

37 TRASFORMATA SENO : N.B. PURAMENTE IMMAGINARIA

38 TRASFORMATA COSENO : DIM :

39 TRASFORMATA TRENO DI IMPULSI :
…….. ……. ……. ……. t N.B. : IMPULSI VICINI NEL TEMPO  DISTANTI IN FREQUENZA (PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE)

40 TRASFORMATA COSENO “FINESTRATO” :
1 t

41 COSENO FINESTRATO HP : T>>T0 AFFINCHE’ LE DUE SINC NON INTERFERISCANO

42 TRASFORMATA DELLA DERIVATA :
x(t)  X() N.B : NON VALE L’INVERSA. DIM :

43 TRASFORMATA DELL’ INTEGRALE :
N.B. : USANDO LE TRASFORMATE E LE PROPRIETA’ GIA’ VISTE SE NE POSSONO RICAVARE MOLTE ALTRE. ES : PUO’ ESSERE VISTO COME * t Convoluzione di due rettangoli.

44 TRASFORMATE DI FOURIER
+1 t -1 +1 “Gradino unitario” t

45 TRASFORMATE DI FOURIER
 > 0 t

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47 TRASFORMATE DI FOURIER
? T -T 1 1 = * PER IL TEOREMA DELLA CONVOLUZIONE :

48 FILTRO DI HILBERT (QUADRATURA)

49 FILTRO DI HILBERT 1 2

50 Trasformata di Hilbert
Filtro di Hilbert Trasformata di Hilbert NON CAUSALE DIVERGE NELL’ ORIGINE

51 AREA DELLA FUNZIONE “SINC”
DIM : SI SFRUTTA LA RELAZIONE DELLA NEL CASO DEL RETTANGOLO. LA DEFINIZIONE DI ANTITRASFORMATA E’:

52 IL VALORE PER t=0 E’ : DA CUI: