LICEO SCIENTIFICO EVANGELISTA TORRICELLI di SOMMA VESUVIANA PIANO LAUREE SCIENTIFICHE – anno scolastico 2013-2014 La bellezza… che gruppo.

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1 LICEO SCIENTIFICO EVANGELISTA TORRICELLI di SOMMA VESUVIANA PIANO LAUREE SCIENTIFICHE – anno scolastico 2013-2014 La bellezza… che gruppo

2 In algebra astratta, i sistemi degni di studio sono quelli che sono stati studiati innumerevoli volte in casi particolari, finchè qualcuno non ha visto qual era il fenomeno generale che li comprendeva.Per tutti i matematici la bellezza e l’importanza della struttura di gruppo sono fuori discussione I. N.Herstein

3 Sia S = { a, b, c } Quante sono le applicazioni biunivoche di S in S? … a pensarci bene la risposta era immediata 6! Quante terne distinte per ordine degli elementi posso scrivere dati tre elementi a, b, c (a, b, c) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) p1

4 Facciamo un gioco… componiamo s 1 0 s 3 s3s3 s1s1 Excel ci aiuta La composizione di due permutazioni di S è ancora una permutazione di S: infatti, se s 1 :X → X e s 2 :X → X sono applicazioni biettive, biettiva è anche l'applicazione composta s 2 o s 1.

5 P(S) l’insieme delle permutazioni di S in S p la composizione di permutazioni p è associativa esiste in S l’elemento neutro rispetto a p per ogni elemento x di S esiste il simmetrico di x rispetto a p … tiriamo le somme

6 Data una figura del piano, chiamiamo simmetria di questa figura ogni isometria del piano che manda la figura in se stessa

7 sia ABC un triangolo equilatero siano a,b,c gli assi dei suoi lati sia P il punto di intersezione dei suoi assi A CB P a b c Quali sono le simmetrie di questa figura?

8 A CB P a b c la simmetria rispetto all’asse a la simmetria rispetto all’asse b la simmetria rispetto all’asse c la rotazione di 60° la rotazione di 120° la rotazione di 360° (l’identità)

9 Facciamo un gioco… componiamo s 1 0 s 3 s3s3 s1s1 Excel ci aiuta La composizione di due simmetrie di S è ancora una simmetria di S: infatti, se s1:X → X e s 2:X → X sono applicazioni biettive, biettiva è anche l'applicazione composta s2 o s1

10 S è l’ insieme delle simmetrie di un triangolo isoscele p prodotto di simmetrie p è associativa esiste in S l’elemento neutro rispetto a p per ogni elemento x di S esiste il simmetrico di x rispetto a p … tiriamo le somme

11 Che strano! Abbiamo parlato di permutazioni di un insieme S in S di simmetrie di un triangolo isoscele e abbiamo detto le stesse cose Quale è il fenomeno generale che le comprende?

12 Il fatto che la stessa struttura possa emergere in teorie molto diverse farà prendere coscienza, in misura sempre maggiore, dell’unità intrinseca della matematica, al di là delle tradizionali divisioni in base alla natura degli oggetti studiati J. Dieudonne