La retta Equazione (rette parallele agli assi, passanti per l’origine e generiche) Forma esplicita e implicita Condizione di parallelismo e perpendicolarità.

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1 La retta Equazione (rette parallele agli assi, passanti per l’origine e generiche) Forma esplicita e implicita Condizione di parallelismo e perpendicolarità Fasci di rette Retta per due punti Retta per un punto con coefficiente angolare Distanza punto retta

2 RETTE PARALLELE AGLI ASSI
Equazione della retta In un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy una retta è un luogo geometrico rappresentato analiticamente da una equazione lineare ovvero del tipo ax + by + c = 0 a,b,c  R Viceversa ogni equazione del tipo precedente (posto a  0 e b  0) rappresenta una retta. RETTE PARALLELE AGLI ASSI Asse delle ascisse. Si tratta di un insieme di punti P(x;0) ad ordinata nulla quindi l’equazione è y = 0 Asse delle ordinate. Si tratta di un insieme di punti Q(0;y) ad ascissa nulla quindi l’equazione è x = 0 Retta parallela all’asse delle ascisse. La retta parallela all’asse delle ascisse passante per il punto (0;k) sarà costituita da punti P(x;k) tutti di ordinata k e quindi avrà equazione y = k. Retta parallela all’asse delle ordinate. La retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto (h;0) sarà costituita da punti Q(h;y) tutti di ascissa h e quindi avrà equazione x = h.

3 RETTE PASSANTI PER L’ORIGINE DEGLI ASSI
Retta passante per l’origine. In una retta passante per l’origine le ordinate dei punti sono proporzionali alle ascisse ( ciò dipende dalla similitudine dei triangoli rettangoli che si ottengono attraverso la proiezione dei punti)   By B Ay A Ax Bx  e quindi l’equazione della retta diviene y = mx OSS. Il parametro m si dice coefficiente angolare e la sua variazione determina la pendenza della retta rispetto all’asse delle x. La pendenza di una retta viene definita come rapporto tra il cateto parallelo all’asse y e quello parallelo all’asse x di un qualsiasi triangolo con l’ipotenusa sulla retta. In seguito chiameremo inclinazione della retta l’angolo formato dalla retta con il semiasse positivo delle ascisse. Dalla similitudine dei triangoli OAAx , OBBx si ha la proporzione OAx : AxA = OBx : BxB da cui x1 : y1 = x2 : y2 ovvero il rapporto tra le coordinate di un punto è una quantità costante Quindi, in generale, il coefficiente angolare di una retta si può determinare come m = y/x conoscendo due punti di passaggio A(x1;y1) , B(x2;y2) si ha la formula y2-y1 m x2-x1

4 RETTA GENERICA Retta generica. Una retta non passante per l’origine attraversa l’asse y in un punto di coordinate Q(0;q) . Una tale retta r può essere studiata attraverso un sistema di riferimento opportuno con origine in Q. Rispetto a tale sistema l’equazione della retta sarà Y = m X (retta passante per l’origine del sistema secondario). y yY Q(0;q) X x x Le equazioni di collegamento tra i due sistemi di riferimento sono: x = X y = Y + q Quindi l’equazione della retta r rispetto al sistema xOy sarà si otterrà sostituendo le coordinate X = x e Y = y-q nell’equazione Y = mX: y – q = mx Ovvero y = mx + q OSS. Una retta generica ha quindi equazione y = mx + q ma tale equazione non rappresentano le rette verticali (cui corrisponderebbe un coefficiente angolare infinito)

5 Equazione generale della retta
OSS. q si dice termine noto e è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate. OSS. valgono per m considerazioni analoghe a quelle espresse nel caso di rette passanti per l'origine (m= 0 la retta è parallela all'asse x, m >0 la retta è crescente, m<0 la retta è decrescente). Equazione generale della retta Si è dimostrato che ogni retta del piano è rappresentata da una equazione di primo grado in x e y ma nessuna delle equazioni introdotte è in grado di rappresentare tutte le possibili rette. Dimostreremo ora che un'equazione lineare a x + b y + c = 0 con a,b,c  R e a,b non entrambi nulli rappresenta ogni possibile retta. tale equazione si dice anche equazione della retta in forma implicita. ( a differenza della forma y = mx + q che si dice esplicita) OSS. in generale l'equazione esplicita facilita i calcoli anche se è necessario tenere a mente che essa non rappresenta tutte le rette, inoltre la forma implicita non è univoca ovvero la stessa retta ha più equazioni implicite ma una sola esplicita 1)     

6 condizione di parallelismo e perpendicolarità
 Due rette parallele avranno certamente stessa inclinazione rispetto all’asse delle x e quindi le loro equazioni saranno caratterizzate dal ripetersi del coefficiente angolare. Viceversa due rette avente stesso coefficiente angolare hanno stessa inclinazione e quindi sono parallele (fanno eccezione le rette parallele all'asse y )  r // r’  m = m’ si può dimostrare che due rette perpendicolari sono caratterizzate da coefficienti angolari che sono l’uno il reciproco dell’opposto dell’altro.    r  r’  m = -1/m’

7 Determinazione dell’equazione di una retta
 L’equazione di una retta si ottiene in modo diverso a seconda dei dati a disposizione: -         se si dispone delle coordinate di un punto di passaggio (x1 ; y1) e del coefficiente angolare m allora si scrive l'equazione del fascio con centro (x1 ; y1) e si seleziona la retta cercata sostituendo il coefficiente angolare assegnato. In definitiva si applica la formula y - y1 = m ( x - x1 ) -         se si dispone delle coordinate di due punti di passaggio (x1 ; y1) e (x2 ; y2) allora si stabilisce il fascio con centro in (x1 ; y1) quindi si calcola m imponendo alla retta il passaggio per il punto(x2 ; y2) y2 - y1 = m x2 - x1 sostituendo m nell'equazione del fascio si ottiene l'equazione cercata y - y x - x1 = y2 - y1 x2 - x1

8 d = --------------------
distanza punto retta   volendo stabilire la distanza del punto (x0 ; y0) dalla retta di equazione ax + by +c = si può applicare la formula | ax0 + by0 +c | d =  a2 + b2