Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’

Presentazione sul tema: "Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’"— Transcript della presentazione:

1 Termodinamica: ENTROPIA E PROBABILITA’
Modello statistico di Boltzmann

2 Microstati e Macrostati
La Termodinamica Classica classifica gli stati in base alle caratteristiche macroscopiche (P,V,T) La Termodinamica Statistica utilizza i microstati cioè stati microscopici in cui possono trovarsi le molecole (posizione e quantità di moto di ogni molecola)

3 Ipotesi fondamentale Ogni microstato ha la stessa probabilita’ di esistere Come nel lancio dei dadi

4 Probabilità Lanciando un dado le possibilità di ottenere sono egualmente probabili; si definisce probabilità P: P = N° casi favorevoli/ N° casi possibili Lanciando due dadi la probabilità di ottenere due facce uguali é 1/36 che può considerarsi come prodotto di 1/6 per 1/6 cioè il prodotto delle singole probabilità di ottenere una faccia su un dado.

5 Microstati e Probabilita’
Consideriamo 2 molecole da distribuire in due recipienti collegati A B RECIPIENTE I RECIPIENTE II

6 Possibili distribuzioni:
A A B B B A A B P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 4 = 25% P(metà molecole in ciascun recipiente) = 1 / 2 = 50 %

7 Microstati e Probabilita’
Consideriamo 3 molecole da distribuire in due recipienti collegati A B C

8 Altre possibili distribuzioni:
C B B A C P(tutte nel recipiente I) = 1 / 8

9 Possibili distribuzioni:
C A B A C B A B A C C B A A C C B B P(2 nel recipiente I) = 3 / 8

10 Microstati e Probabilita’
Consideriamo 4 molecole da distribuire in due recipienti collegati A B C D

11 Possibili distribuzioni:
P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 16 = 6 % A B C D

12 Altre possibili distribuzioni:
Con 3 molecole nel I recipiente ed 1 nell’altro: Puo’ essere ottenuto in 4 modi diversi: A B C D A B C D A B C D A B C D

13 Ovviamente abbiamo anche le altre 4 possibilità:
Con 3 molecole nel II recipiente ed 1 nel recipiente I: A B C D A B C D A B C D A B C D

14 Infine altre possibili distribuzioni:
Possono essere ottenute in 6 modi diversi: A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

15 Microstati e Probabilita’
In sintesi con 4 molecole da distribuire nei due recipienti collegati: A B C D Abbiamo in totale 16 casi possibili : P(tutte le molecole nel recipiente I) = 1 / 16 P(2 molecole in ciascun recipiente) = 6 / 16 = 3 / 8 = 40%

16 Analogamente se si lanciano 4 monete simultaneamente si ha:
Macrostato Possibili microstati (T=teste, C=croci) Numero di microstati 4 teste TTTT 1 3 teste, 1 croce TTTC, TTCT, TCTT, CTTT 4 2 teste, 2 croci TTCC,TCTC,CTTC,TCCT,CTCT,CCTT 6 1 testa, 3 croci CCCT, CCTC, CTCC, TCCC 4 croci CCCC

17 Probabilità dei vari macrostati per un lancio di 100 monete
MACROSTATO Numero di microstati Probabilità TESTE CROCI 100 1 8.0·10-31 99 1.0·102 8.0·10-29 90 10 1.7·1013 1.0·10-17 80 20 5.4·1020 4.0·10-10 60 40 1.4·1028 0.01 55 45 6.1·1028 0.05 50 1.0·1029 0.08

18 Microstati e Probabilita’
Con N molecole da distribuire nei due recipienti collegati: Abbiamo in totale 2N casi possibili : P(tutte le molecole restano nel recipiente I) = 1 / 2N (Considerando il numero di molecole in una mole questo numero é praticamente ) P(N/2 molecole siano in ciascun recipiente) = 50 %

19 Entropia Boltzmann defini’ una grandezza che misura la probabilita’ di un stato: l’Entropia. Le molecole tendono a raggiungere lo stato piu’ probabile. E’ necessario calcolare il numero di microstati possibili per delineare uno stato macroscopico, per questo si utilizza la statistica. Accade sempre ciò che é più probabile che possa accadere!

20 Entropia Per arrivare all’equazione di Boltzmann con la quale viene definita l’entropia in termini statistici partiamo da un esempio fisico concreto: l’espansione isotermica di un gas da un recipiente I ad un altro recipiente identico II … Stavolta però consideriamo n moli e quindi praticamente un numero molto grande di molecole …

21 Entropia Pertanto si ha: S = k (lg(VN) ;
ΔS = n R lg (V2/V1) = N K (lg(V2) – lg(V1))= k (lg(V2N) – k (lg(V1N) = S2 - S1 Pertanto si ha: S = k (lg(VN) ; Più in generale possiamo definire l’entropia S dello stato A = k (lg(P(A)). L’Entropia S(A) dello stato A di un sistema termodinamico è una funzione della probabilità dello stato A.

22 Diavoletto di Maxwell Inizialmente le molecole sono distribuite equamente nei 2 recipienti … Il diavoletto fa in modo da far passare solo le molecole dal recipiente II al recipiente I …e dopo un tempo abbastanza lungo accade che tutte le molecole saranno nel recipiente I …? Con quale probabilità ciò può accadere? Abbiamo visto che P = 1 / 2N considerando il numero di molecole questo numero é praticamente 0 !)

23 Probabilita’ ed Equilibrio
Le molecole si muovono casualmente nei due recipienti Dopo un certo tempo, ogni molecola ha probabilita’ ½ di trovarsi in uno dei due La distribuzione piu’ probabile e’ quella con circa il 50% delle molecole in ogni recipiente Estremamente probabile!

24 Entropia Un ragionamento analogo spiega perche’ due gas si mescolano
Lo stato finale e’ piu’ probabile anche se più disordinato !

25 Secondo Principio della Termodinamica
Versione microscopica: Un sistema isolato con molte molecole interagenti, evolvera’ verso lo stato con maggiore probabilità e rimarra’ in quello stato macroscopico! Durante la sua evoluzione la variazione di entropia dell’ universo (sistema+ambiente) cresce sempre !!