La predizione o regressione

Presentazione sul tema: "La predizione o regressione"— Transcript della presentazione:

1 La predizione o regressione

2 Definizione di Predizione (1)
Si usa una misurazione per predire un’altra misurazione di comportamento. Le misurazioni sono generalmente dei test mentali (abilità, profitto, personalità, atteggiamenti, temperamenti) o dati fisici o altre rilevazioni comportamentali.

3 Concetto della predizione statistica (regressione):
Se a punteggi alti di un test (predittore) corrispondono punteggi alti di un altro test (comportamento predetto o stimato) e, viceversa, a punteggi bassi del predittore corrispondono punteggi bassi del predetto, si può usare il primo per predire il secondo.

4 Si ricorre al concetto matematico di funzione
Una funzione matematica lega un insieme di numeri, usando costanti e variabili (e anche altre funzioni matematiche). Es y= k+x Y= log 10 (x) Y= a+mx

5 Si deve tenere conto che le predizioni non sono precise, e quindi la funzione dovrebbe essere scritta sempre così Y= mx + a + e dove e indica la parte di errore della predizione. Studieremo solo la relazione lineare

6 Definizione di predizione (2)
Dovremo trasformare il punteggio del test predittore con una equazione di una retta, che predica al meglio (ovvero commettendo meno errori possibili) il punteggio ottenuto dal soggetto nel test predetto. L’equazione per trasformare il punteggio è la seguente:

7 Equazione di regressione
La costante additiva a è chiamata intercetta. Rappresenta il punto in cui la retta incontra l’asse delle ordinate. La costante moltiplicativa m è chiamata pendenza o coefficiente angolare. Rappresenta il cambiamento in y all’aumentare di una unità in x.

8 Esempi di predizione Un test di abilità verbale predice la media dei voti a scuola. Una scala di Stima di sé è usata per predire il Senso di benessere e di salute psicofisica Il punteggio di Coscienziosità predice il livello di efficienza nel lavoro di gruppo.

9 Piccolo esempio numerico
Raccogliamo un piccolo numero di osservazioni: Abilità verbale (un test psicometrico) Profitto scolastico (voto scolastico dato da insegnanti) Supponiamo che entrambe le misurazioni siano delle scale a intervalli

10 Osservazioni per otto studenti
Test abilità verbale Voto scolastico A 12 8 B 10 7 C 14 D 9 5 E 6 F 13 G 11 H

11 Riportiamo in un grafico cartesiano le otto coppie di osservazioni
In ascissa indichiamo la variabile indipendente (Abilità verbale) In ordinata riportiamo il valore della variabile dipendente (Voto scolastico) Osserviamo la distribuzione dei punteggi

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13 La disposizione dei punti indica che c’è una relazione POSITIVA fra le due variabili

14 La relazione POSITIVA fra le due variabili può essere descritta e riassunta con una RETTA

15 Quale retta? Rossa verde o azzurra?

16 Quella che è più vicina a tutti i punti è la migliore

17 Come stabilire i parametri della retta di predizione
Come stabilire i parametri della retta di predizione? Che criterio si può seguire? Stabilendo il criterio dei minimi quadrati: gli errori (ovvero gli scarti tra la retta di predizione e il punteggio realmente ottenuto dal soggetto) devono essere il più possibile piccoli, e il criterio operativo è quello di considerare il quadrato degli scarti, o errori. I metodi dell’analisi matematica forniscono la risposta con un’equazione dei minimi quadrati.

18 l’errore elevato al quadrato e la predizione si chiama
Gli errori positivi devono compensare quelli negativi La loro somma è uguale a zero Perciò, il criterio da minimizzare non può essere l’errore semplice, ma l’errore elevato al quadrato e la predizione si chiama Equazione della retta dei minimi quadrati

19 Errore di previsione negativo
Errore di previsione positivo

20 Quella che è più vicina a tutti i punti, seguendo il criterio dei MINIMI QUADRATI

21 Variabile dipendente, spiegata, valore
osservato intercetta variabile indipendente errore inclinazione Stima di y, valore predetto

22 Il criterio può essere espresso con la formula

23 Formula di calcolo

24 Applicazione della formule

25 abilità voto voto_predetto 8 5 5,15 9 5,78 6 10 7 6,4 11 7,03 12 7,66 13 8,29 14 8,91 somma 86 55 media 10,75 6,875

26 Predizione usando i punti standardizzati

27 Predizione con punti zeta
ẑyi = zeta predetto zxi = zeta predittore rxy = coefficiente di correlazione

28 soggetti Test R Test T Test R zeta test T zeta p1 37 50 1,33 0,45 p2 39 75 1,49 1,58 p3 9 24 -0,86 -0,72 p4 8 11 -0,94 -1,31 p5 6 25 -1,09 -0,68 p6 78 1,71 p7 18 -0,16 p8 16 20 -0,31 -0,90 p9 40 0,00 p10 53 0,59 somma 200 400 dev stan 12,79 22,17 1,00 varianza 163,60 491,60 media PREDIZIONE DEL PUNTEGGIO OTTENUTO AL TEST T TRAMITE IL PUNTEGGIO AL TEST R CON I PUNTI Z. PRIMO PASSAGGIO: TRASFORMAZIONE DEI PUNTEGGI IN PUNTI Z.

29 Sogg. Test R zeta Test T zeta 0,847
PREDIZIONE DEL PUNTEGGIO OTTENUTO AL TEST T TRAMITE IL PUNTEGGIO AL TEST R CON I PUNTI Z. SECONDO PASSAGGIO: CALCOLO DELLA PREDIZIONE DI T CON LA FORMULA: Sogg. Test R zeta Test T zeta prediz di T p1 1,33 0,45 1,13 p2 1,49 1,58 1,26 p3 -0,86 -0,72 -0,73 p4 -0,94 -1,31 -0,79 p5 -1,09 -0,68 -0,93 p6 1,71 p7 -0,16 -0,13 p8 -0,31 -0,90 -0,26 p9 0,00 p10 0,59 somma 0,000 dev stan 1,00 0,847 varianza 0,718 media

30 VARIANZA SPIEGATA Correlazione Varianza spiegata SOGGETTO TEST R ZETA
TEST T ZETA PRODOTTI ZETA PREDIZIONE DI T P1 1,33 0,45 0,6 1,13 P2 1,49 1,58 2,34 1,26 P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 P6 1,71 2,55 P7 -0,16 0,11 -0,13 P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 P9 P10 0,59 SOMMA 8,473 DEVIAZIONE STD 1 0,877 0,847 VARIANZA 0,769 0,718 MEDIA Correlazione Varianza spiegata

31 VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTO TEST R ZETA TEST T ZETA PRODOTTI ZETA PREDIZIONE DI T P1 1,33 0,45 0,6 1,13 P2 1,49 1,58 2,34 1,26 P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 P6 1,71 2,55 P7 -0,16 0,11 -0,13 P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 P9 P10 0,59 SOMMA 8,473 DEVIAZIONE STD 1 0,877 0,847 VARIANZA 0,769 0,718 MEDIA La varianza spiegata è la varianza dei predetti, cioè la varianza spiegata dalla regressione. 31 31

32 VARIANZA SPIEGATA E RESIDUA
SOGGETTO TEST R ZETA TEST T ZETA PRODOTTI ZETA PREDIZIONE DI T P1 1,33 0,45 0,6 1,13 P2 1,49 1,58 2,34 1,26 P3 -0,86 -0,72 0,62 -0,73 P4 -0,94 -1,31 1,23 -0,79 P5 -1,09 -0,68 0,74 -0,93 P6 1,71 2,55 P7 -0,16 0,11 -0,13 P8 -0,31 -0,9 0,28 -0,26 P9 P10 0,59 SOMMA 8,473 DEVIAZIONE STD 1 0,877 0,847 VARIANZA 0,769 0,718 MEDIA Correlazione 32 32

33 Notiamo che… La varianza spiegata è la varianza dei predetti, cioè la varianza spiegata dalla regressione.

34 Proprietà della regressione
La varianza dei predetti è uguale al coefficiente di determinazione: r2 La deviazione standard dei predetti è uguale al coefficiente di correlazione (in quanto radice quadrata della varianza) 34 34

35 Per passare dai punti zeta ai punti grezzi
Si può costruire o calcolare l’equazione di regressione usando i punti grezzi, senza passare per i punti standardizzati: Ottengo questa formula applicando la formula per passare dai punti zeta al punteggio grezzo: x = z · s + m dove: s = dev. std. m = media

36 Predizione con misure sintetiche di x e y

37 ESEMPIO DI PREDIZIONE CON PUNTI GREZZI
SOGGETTI TEST R TEST T PRODOTTI R · T R2 T2 STIME P1 37 50 1850 1369 2500 64,97 P2 39 75 2925 1521 5625 67,91 P3 9 24 216 81 576 23,84 P4 8 11 88 64 121 22,37 P5 6 25 150 36 625 19,44 P6 78 3042 6084 P7 18 432 324 37,06 P8 16 20 320 256 400 34,12 P9 40 1600 P10 53 1060 2809 40,00 SOMMA 200 10403 5636 20916 DEVIAZIONE STD 12,79 22,17 18,79 VARIANZA 163,60 491,60 352,96 MEDIA 20,00 COEFF ANGOLARE (m) 1,469 INTERCETTA (a) 10,632 CORRELAZIONE 0,847

38 Riassumendo dalla tabella
Il soggetto p1 ha avuto punteggio 37 nel test R e 50 nel test T. Il test R è usato per predire il test T. Per predire il punteggio di p1 si utilizza l’equazione di regressione: T = R · m + a se m = e a = T= 37 · = 64.97

39 Ricordiamo la correlazione fra le due misurazioni

40 Regressione con SPSS...

41 Costante additiva. E’ il valore della VD quando la VI è uguale a zero
Costante additiva. E’ il valore della VD quando la VI è uguale a zero. In psicologia ha un senso relativo, dovuto all’arbitrarietà delle unità di misura (per i test mentali)

42 t di Student e sua significatività
t di Student e sua significatività. Se non significativo, può essere omesso nell’equazione di regressione.

43 Errore standard della distribuzione campionaria della costante additiva. Serve per calcolare t e la significatività. In questo caso è molto grande in rapporto a B. La stima di B dà un valore non significativo

44 Perché non c’è niente qui?

45 Ecco la costante moltiplicativa: è il valore che moltiplica il punteggio dell’abilità verbale

46 Cefficiente beta standardizzato: con una sola VI, è uguale a r.
Indica l’ammontare di cambiamento della VD per ogni unità della VI.

47 t di Student: se è significativa, si interpreta come valore diverso da zero, utile perciò nella predizione della VD

48 Significativià di t: se inferiore a 0,05, indica significatività del parametro b nella popolazione.

49 Errore standard (=deviazione standard della distribuzione campionaria del parametro moltiplicativo nella popolazione). Serve per calcolare la significatività

50 Errore standard (=deviazione standard della distribuzione campionaria del parametro moltiplicativo nella popolazione). Serve per calcolare la significatività

51 È un valore sempre positivo, anche quando r è negativo.
R multiplo: indica la precisione della predizione. Importante nella regressione multipla. In quella semplice, R = r. È un valore sempre positivo, anche quando r è negativo.

52 Quadrato di R multiplo. Se moltiplicato per 100, dà la percentuale di varianza spiegata dalla VI

53 Perché stimare dei valori che abbiamo già in realtà?
Per testare le capacità del test di predizione, per poterlo poi usare in situazioni reali, dove non si conosce il punteggio da predire.

54 Parametri Le rilevazioni eseguite su un campione forniscono dei riassunti (variabili casuali) che stimano i parametri della popolazione. I parametri della popolazione possono essere uguali a zero (e non influenzano la regressione) o diversi da zero (e allora la influenzano).

55 PRECISIONE DELLA STIMA
Il punteggio predetto 30 è vicino a quello osservato, o reale, che non è conosciuto, ma è stimabile: c’è il 90% di probabilità che il valore esatto o osservato si situi entro l’intervallo e , ossia fra e 49.03 Il punteggio predetto 90 è vicino a quello osservato, o reale, che non è conosciuto, ma è stimabile: c’è il 90% di probabilità che il valore esatto o osservato si situi entro l’intervallo e , ossia fra e

56 Riassumendo La regressione statistica permette di stimare (o predire) il punteggio di un test (o di un’altra misurazione). Nella predizione del singolo caso non è mai possibile sapere se la predizione è esatta o molto sballata. Si può quantificare la predizione totale, fatta su tutti i casi (presenti e futuri): la quota di varianza spiegata (r2) è un utile indice per definire la precisione della predizione.

57 Meccanismo della predizione o della stima
Per ogni individuo, l’equazione della regressione predice un valore di Y, indicato con Ŷ, simile ma non uguale al valore osservato Y Y sta vicino a Ŷ, con alta probabilità è molto vicino, con bassa probabilità è molto lontano dal valore vero Perciò, se non si può calcolare il punteggio reale, si può affermare che esso deve trovarsi con il 90 % (o altri livelli) di probabilità entro un certo intervallo calcolabile.