R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1 S27 Stima degli effetti (Wald) Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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1 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1 S27 Stima degli effetti (Wald) Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

2 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2 Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Descrizione di un sistema incerto

3 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3 Descrizione dei disturbi Nel problema di Laplace  t+1 ~  t 1 Descrivo  t tramite un vettore (avente dimensione pari al numero di valori che il disturbo può assumere) in cui l’i-esimo elemento vale 1 se il corrispondente disturbo è realizzabile, 0 in caso contrario. Insieme dei disturbi realizzabili. tt  t+1 Nel problema di Wald  t+1   t

4 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4 Modello di un sistema incerto xtxt x t+1 1 2 3 1 2 3 4 Quando il sistema è incerto, non sappiamo con che probabilità un dato stato si realizzi, ma solo se può realizzarsi o meno, cioè se è raggiungibile. Descriviamo gli stati raggiungibili tramite un vettore  t booleano.

5 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 5 D 0.6 0.4 0 D 1 1 0 Sistema stocastico e sistema incerto Sistema con disturbo stocastico (sistema stocastico) Sistema con disturbo incerto (sistema incerto) tt+1 1 2 3 1 2 3 t 1 2 3 1 2 3 G 0 0.8 0.2 0 1 G 1

6 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6 S 1 0 01 0 1 D 0 0 1 G Fissata la politica Le transizioni possibili tt+1 1 2 3 1 2 3 4 x t+1 = 1x t+1 = 2x t+1 = 3 x t = 1ut = Sut = S100 u t = D110 u t = G011 x t = 2u t = S101 ut = Dut = D101 ut = Gut = G111 x t = 3ut = Sut = S010 ut = Dut = D001 ut = Gut = G001 x t = 4ut = Sut = S111 ut = Dut = D001 ut = Gut = G101 u t = S100u t = D101ut = Gut = G001ut = Gut = G101 1 0 1 G

7 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 7 Le transizioni possibili a politica data x t+1 = 1x t+1 = 2x t+1 = 3 x t = 1u t = S100 u t = D011 u t = G101 x t = 2u t = S101 u t = D101 u t = G111 x t = 3u t = S010 u t = D001 u t = G001 x t = 4u t = S111 u t = D001 u t = G101 u t = S100u t = D101u t = G001 101 Fissata la politica

8 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8 Le transizioni possibili a politica data

9 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 9 La funzione di transizione xtxt x t+1 1 2 3 1 2 3 4

10 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10 La funzione di transizione xtxt x t+1 1 2 3 1 2 3 4

11 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 11 La funzione di transizione L’operatore  effettua una moltiplicazione riga per colonna tale che: quando lo stato x j è raggiungibile al tempo t+1, quando cioè esiste almeno un disturbo ε t+1 che realizza. la transizione da almeno uno stato x i, raggiungibile al. tempo t, allo stato x j in presenza del controllo. cioè: 

12 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 12 3 2 1 4 t= 0 1 2 3 t=1 1 1 00 0 01 1 10 01 Esempio

13 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13 3 2 1 4 t= 0 1 2 3 t=1 1 1 00 0 01 1 10 01 1 2 3 t=2 1 1 10 10 011 Esempio

14 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14 Esempio 00 1 0 0 0 3 2 1 4 t= 0 1 2 3 t=1 1 2 3 t=2 11 ? ? ?

15 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 15 0 0 0 max [ ] = 10 1 0 0 101  Esempio 00 1 0 0 0 0 1 0 01 11 0 1 1 3 2 1 4 t= 0 1 2 3 t=1 1 2 3 t=2

16 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16 0 0 1111 0 1 111  Esempio 11 0 1 1 3 2 1 4 t= 0 1 2 3 t=1 1 2 3 t=2 1 0 01 max [ ] = 22 1 1 1

17 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17 Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Analogie col problema di Laplace

18 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18 Analogie Si notino le analogie con il problema di Laplace Vettore delle probabilità  t Matrice di transizione B t Vettore degli stati raggiungibili Matrice di transizione W t E’ un sistema non lineare il cui stato è e il controllo è m t ().  LaplaceWald

19 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 19 Analogie Si osservi in particolare che  t può essere pensato come una quantizzazione booleana di  t. Così pure  t è una quantizzazione di π t. Gli 1 individuano i valori realizzabili o raggiungibili.

20 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20 Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Calcolo dei singoli obiettivi

21 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 21 Calcolo dei singoli obiettivi orizzonte finito Si noti che la formula esprime l’ovvio fatto che il massimo costo è il massimo tra i costi massimi di tutte le transizioni che possono realizzarsi e i costi negli stati finali raggiungibili. È sufficiente simulare il sistema incerto per ottenere la traiettoria  0   1,…, degli insiemi raggiungibili. L’insieme    è l’insieme in cui è raggiungibile il solo stato Il valore del j-esimo obiettivo in un problema su orizzonte finito è:

22 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22 3 4 2 5 3 Esempio a 10 t 3 4 6 3 1  3 5 9 2 4 6 2

23 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 23 32 4 2 5 3 Esempio b 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 0 t 3 4 6 3 1

24 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 24 3 Esempio c 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 0 t 3 4 6 3 1 2 4 2 5 3 5

25 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25 Esempio d 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 30 t 3 4 6 3 1 2 4 2 5 3 5 3 max

26 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 26 Esempio e 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 30 t 3 4 6 3 1 2 4 2 5 3 5 3 max 9

27 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27 Esempio f 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 30 t 3 4 6 3 1 2 4 2 5 3 5 3 max 9 5

28 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 28 Esempio g 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 30 t 3 4 6 3 1 2 4 2 5 3 5 3 9 5 9

29 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 29 Esempio h 5 3 9 2 4 6 1 5 4 9 3 0 t 3 4 6 3 1 2 4 2 5 3 5 3 9 5 Si comprende, quindi, che la formula esprime l’ovvio fatto che il massimo costo è il massimo tra i costi massimi di tutte le transizioni che possono realizzarsi e i costi negli stati finali raggiungibili. 9 9

30 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30 Calcolo dei singoli obiettivi orizzonte infinito Ne consegue che non è necessario simulare il sistema su un orizzonte infinito, ma è sufficiente determinare il ciclo degli insiemi raggiungibili. Il massimo costo per passo del j-esimo obiettivo è quindi dato dalla seguente formula: Se l’orizzonte temporale è infinito e il sistema è periodico, è possibile dimostrare che, sotto ipotesi molto ampie, la traiettoria... converge in tempo finito a un ciclo 

31 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31 Descrizione di un sistema incerto Analogie col problema di Laplace Calcolo dei singoli obiettivi Rappresentazione delle traiettorie Calcolo degli obiettivi (caso di Wald) Rappresentazione delle traiettorie

32 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32 x t T 120 Per ogni passo temporale ho un insieme di stati raggiungibili, Tutte le traiettorie saranno contenute all’interno del tubo In questo modo, dato che il tubo comprende tutti e soli gli stati raggiungibili, è come se si fosse eliminata l’incertezza. che nel complesso costituiscono un “tubo” N.B.: Si comprende che il sistema controllato avrà una prestazione garantita (prestazione massima certa): il caso peggiore in tutto il tubo.

33 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 33 Leggere MODSS Cap. 18 VERBANO Cap. 8

34 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 34 Si noti la dualità Laplace + max Wald Vettore di stato