TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Se una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo punto è diretta dal terzo al primo quadrante, quindi ha coefficiente angolare positivo

Poiché il coefficiente angolare è la derivata della funzione, allora ne potremmo concludere che: se una funzione è crescente la sua derivata è positiva Xo

Ciò non è sempre vero, però: la funzione int(x) è crescente su tutto il dominio ma ha derivata nulla, essendo a tratti costante

Viceversa la funzione fraz(x) ha derivata sempre uguale a 1 ma non è crescente su tutto il dominio, essendo periodica

Se si aggiunge l’ipotesi che f sia derivabile in un dato intervallo I, allora: se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo

Viceversa: se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente in I se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I

Sia f crescente in I, Xo un punto di I e h un incremento positivio. Poiché: Allora, per definizione di funzione crescente: Dimostrazione X0+h X0

Portando a primo membro E, dividendo per h, numero positivo: Passando al limite per h->0, per il teorema della permanenza del segno:

Poiché f è derivabile in I allora questo limite è uguale alla derivata E quindi: cvd

La seconda parte si dimostra ripercorrendo al contrario i passaggi, salvo il fatto che il teorema della permanenza del segno, nella seconda parte, non prevede il segno =, quindi stavolta l’ipotesi deve essere: E la conclusione:

TEOREMA DI FERMAT Pierre de Fermat ( )

TEOREMA DI FERMAT Definizione: si dice punto stazionario un punto in cui la derivata si annulla Teorema: se Xo è un punto di estremo relativo e se f è derivabile in un intorno di Xo, allora Xo è un punto stazionario

TEOREMA DI FERMAT La cosa è abbastanza intuitiva: in un punto di massimo relativo la tangente è orizzontale, quindi il suo coefficiente angolare è nullo tangente curva Punto di massimo relativo a b

TEOREMA DI FERMAT Dimostrazione Sia f derivabile in [a,b]. Poiché f è crescente in [a,Xo], per quanto dimostrato prima su tale intervallo risulta: tangente curva a Xo b

TEOREMA DI FERMAT Viceversa, nell’intervallo [Xo,b] la funzione è decrescente e quindi su tale intervallo: tangente curva a Xo b

TEOREMA DI FERMAT Poiché il punto Xo appartiene a entrambi gli intervalli, in esso risulta contempo-raneamente L’unico possibile valore di f’ è quindi 0 cvd

TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle ( )

TEOREMA DI ROLLE Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontale tangente curva Punto a tangente orizzontale a b

TEOREMA DI ROLLE Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo tangente curva Punto a tangente orizzontale a b

TEOREMA DI ROLLE Senza salti = funzione continua Senza spigoli = funzione derivabile Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0

TEOREMA DI ROLLE Quindi: Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al più agli estremi e sia f(a)=f(b) Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0

TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 1: sia f una funzione costante In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo

TEOREMA DI ROLLE Caso f costante curva tangente Punti a tangente orizzontale: TUTTI! a b

TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 2: sia f non costante Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

TEOREMA DI ROLLE Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo M curva F(a)=F(b) a b

TEOREMA DI ROLLE Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa f(c)=M In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo

TEOREMA DI ROLLE Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi f’(c)=0 CVD

TEOREMA DI ROLLE Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

TEOREMA DI ROLLE Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari y=fraz(x) [0,1] y=|x| [-1,1] y=x [0,1]

TEOREMA DI ROLLE Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari y=D(x) [0,1] y=|x2-1| [-2,2] y=x2 [-1,2]

TEOREMA DI ROLLE Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle Y=√(1-x2) [-1,1]

TEOREMA DI CAUCHY Augustin Louis Cauchy ( )

TEOREMA DI CAUCHY Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] continue su tale intervallo derivabili salvo al più agli estremi e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita: Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

TEOREMA DI CAUCHY Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia: F(a)=F(b) Sostituendo:

TEOREMA DI CAUCHY Con qualche calcolo si ricava il valore di K

TEOREMA DI CAUCHY Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta: F’(c)=0

TEOREMA DI CAUCHY Ma poiché F è: Derivando: E uguagliando a zero:

TEOREMA DI CAUCHY Ovvero: E ricordando che K è: Sostituendo: CVD

TEOREMA DI LAGRANGE Giuseppe Luigi Lagrange ( ) Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy

TEOREMA DI LAGRANGE Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al più agli estremi Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Basta ricordare la formula di Cauchy E prendere g(x) = x

TEOREMA DI CAUCHY Infatti se g(x)=x allora: E inserendo questi risultati nella formula: CVD

Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico tangente F(b) corda curva F(a) a c b

Infatti: È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curva tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b A(a,f(a)) B(b,f(b))

Mentre: È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco tangente B C F(b) corda curva F(a) A a c b

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