Due gruppi : “trattati” e “non trattati” Una variabile dicotomica che rappresenta il “trattamento Una variabile di “risposta” y Vogliamo “isolare” l’effetto.

Presentazione sul tema: "Due gruppi : “trattati” e “non trattati” Una variabile dicotomica che rappresenta il “trattamento Una variabile di “risposta” y Vogliamo “isolare” l’effetto."— Transcript della presentazione:

1 Due gruppi : “trattati” e “non trattati” Una variabile dicotomica che rappresenta il “trattamento Una variabile di “risposta” y Vogliamo “isolare” l’effetto del trattamento sulla variabile di risposta Naturalmente i soggetti appartenenti ai gruppi sono caratterizzati da una serie di caratteristiche X (vettore) che 1.Possono essere correlate sia con l’appartenenza al gruppo Cioè Cov(X,Z) ≠ 0 2.Possono essere correlate con la variabile di misura Cioè Cov(X,Y) ≠ 0 Se queste condizioni si verificano SIMULTANEAMENTE la stima “usuale dell’effetto del trattamento è distorta perché ingloba una parte della diversità legata alle caratteristiche X differenziali tra i gruppi.

2 STUDIO DEGLI EFFETTI DI UN “TRATTAMENTO” Es. Istruzione, formazione, tipologia famigliare, campagna pubblicitaria…. Consideriamo un individuo, in linea teorica siamo interessati a misurare l’effetto di una certa variabile Z=0,1 (dicotomica= trattato/non trattato) su una variabile “di risposta” Y. Se chiamiamo Y 1 e Y 0 i valori di risposta per Z=1 e per Z=0, siamo interessati ad una stima della quantità (relativa a tutto il collettivo): Dove la media è estesa a tutta la popolazione di individui. Ciascun individuo è anche caratterizzato da un vettore di covariate X, che in ipotesi possono avere una correlazione sia con la Y che con la Z, cioè possono influenzare sia la variabile di risposta che la scelta.

3 L’ASSEGNAZIONE CASUALE In generale la quantità   non è osservabile, infatti non è possibile sottoporre e non sottoporre lo stesso individuo ad un trattamento, per cui ogni individuo mostra solo UNO dei valori Y utili per la stima. Abbiamo quindi due collettivi disgiunti e la comparazione “diretta” tra i valori Y cioè la stima di  è corretta solo se la distribuzione delle covariate X è “simile” nei due collettivi, cioè se Corr(X,Z)=0 Se così non è una parte di  cioè della differenza trattati/non trattati dipende dalle X e non dal trattamento. L’assegnazione casuale dei soggetti ai due gruppi ha esttamente questo compito, per definizione (a lungo andare) se l’assegnazione è casuale la distribuzione delle X (o di loro opportune trasformate) nei due sottoinsiemi è statisticamente identica. Quindi la media delle Y nei due collettivi ha la stessa componente “legata” alle X e nella differenza Y1-Y0 si elide e la stima di  è corretta, cioè

4 UNA PICCOLA TRASFORMAZIONE Definiamo come “propensity score” (PS) la probabilità che, dato un insieme di covariate X, un individuo i appartenga al gruppo dei “trattati” (o dei “non trattati”): s(X i ) = P(Z=1/X i ) L’assegnazione casuale ha il compito di rendere il PS indipendente da X, cioè identico nei due gruppi, definiamo questa selezione come IGNORABILE: s(Xi) = P(Z=1/Xi) = P(Z=1) Se l’assegnazione non è “strettamente” casuale questa condizione non è rispettata, ma ha senso chiedersi se esiste una qualche combinazione delle X che “restituisce” la condizione di comparabilità. Ci chiediamo cioè se esiste una trasformazione b tale che: s(Xi) = P(Z=1/b(Xi)) = P(Z=1) In questo caso diversi termini: selezione “RESA IGNORABILE” o anche IGNORABILE tout-court + altri termini Esempio classico: campione stratificato, confronto medie “pesate”

5 ESEMPIO Supponiamo che le donne, solo per il fatto di essere donne, riescano in media ad ottenere 3 voti in più ad un certo esame. In questo caso la X è una dicotomica che indica il genere Poiché in media le performances degli studenti (uomini e donne) a quell’esame sono basse, la Facoltà decide di offrire una serie di esercitazioni integrativa con adesione volontaria. Supponiamo, come al solito, di sapere in anticipo che l’effetto “vero” delle esercitazioni sia di aumentare di 6 punti il voto. La situazione “vera” sia la seguente: UominiDonneTotale Iscritti6040100 Voto medio "prima"212422,2 Voto medio "dopo"273028,2 Differenza=effetto del trattamento6

6 ESEMPIO - continua Nella valutazione ex post dell’effetto, la composizione del sub-collettivo che sceglie di frequentare le esercitazione è cruciale. Indichiamo con n il numero di frequentatori delle esercitazioni e con N il numero di iscritti, con i pedici d e u il genere (uomo/donna), con 1 e 0 la frequenza alle esercitazioni. Ipotesi 1: Sub-collettivo “bilanciato” esito tipico (long-run) SRS: n d /N d = n u /N u. cioè P(Z=1/X)=P(Z=1) SELEZIONE IGNORABILE Diciamo 30 uomini e 20 donne Corretto!

7 ESEMPIO - continua Ipotesi 2 Sub-collettivi di uguale numerosità: n d /N d  n u /N u. cioè P(Z=1/X)  P(Z=1) SELEZIONE NON IGNORABILE Diciamo 20 uomini e 20 donne  P(z=1/X=1) = 1/3 e P(Z=1/X=2) = 1/2 Distorto!

8 In generale:

9 Oppure, più leggibile…

10 ESEMPIO - continua Come interveniamo, di solito? Facile, pesiamo i risultati in modo da correggere la distorsione legata alla diversa probabilità di inclusione, in particolare utilizziamo l’inverso della probabilità Diciamo 20 uomini e 20 donne  P(z=1/X=1) = 1/3 e P(Z=1/X=2) = 1/2 Cioè (media uomini *3 + media donne *2) / 5 (27*3 + 30 *2)/5 = 28.2 Corretto! Stimatore di Horwitz-Thompson e similari Abbiamo trovato un “peso” legato alle probabilità di inclusione (un PS) che ha reso ignorabile il processo La Y di ogni soggetto viene pesata con l’inverso della probabilità di aderire al trattamento. Ammesso di conoscere tale probabilità, l’ignorabilità è ripristinata. s(Xi) = P(Z=1/b(Xi)) = P(Z=1) Che fare se non si conosce questa probabilità, cioè se le adesioni non sono frutto di un disegno, ma di una scelta non controllata?

11 RIEPILOGHIAMO: Obiettivo : Verificare l’effetto di un trattamento Z (1=trattato, 0 =non trattato) su un collettivo di individui in generale diversi tra loro per qualche caratteristica X. Indicatore: Differenza tra una qualche statistica di una variabile di risposta Y Problema: la variabile di risposta Y relativa al singolo individuo i non è osservabile nei due stati di Z Conseguenza: Noi vorremmo stimare Ma possiamo osservare solo A quali condizioni l’inferenza è corretta? In generale se MA…. naturalmente la Y è osservata solo parzialmente, quindi la condizione non è verificabile

12 UN BEL PROBLEMA DI INFERENZA In sé l’ipotesi di indipendenza di Z e Y NON può essere oggetto di inferenza, sappiamo, però, che l’assegnazione “puramente” casuale ai due sottoinsiemi garantisce questa condizione (perché garantisce l’indipendenza da qualsiasi variabile) La garanzia starebbe, quindi, nel meccanismo di assegnazione MA….. 1.In molti (moltissimi) casi l’assegnazione non è per nulla casuale (scelte volontarie di individui, condizioni di tempo e luogo differenti, etc..) 2.Anche quando il meccanismo è progettato per essere casuale, vi sono numerosissime deviazioni dal progetto iniziale (non risposte, errori di lista, sostituzioni di intervistati indisponibili, etc…) 3.E’ possibile, pur con un SRS puro, che il gioco del caso nella singola fattispecie formi insiemi diversissimi (siamo stati sfortunati) In generale il SRS “puro” è una condizione difficilmente conseguibile

13 INFATTI, OGNI TANTO ABBIAMO DEI DUBBI Per esempio quando osserviamo che per le caratteristiche note X, i due sottoinsiemi definiti da Z appaiono “troppo” diversi, perché questo ci fa venire sospetti circa la casualità (valutata ex-post) del processo di assegnazione. Siamo portati a credere che, per un qualche motivo, la formazione dei due insiemi sia stata effettivamente influenzata da qualche altro fattore che non sia la pura casualità (che dovrebbe generare insiemi simili per le X) In realtà questa posizione è legata ad una ipotesi “a priori”, infatti la preoccupazione sarebbe infondata se non avessimo il sospetto che “potrebbe” esserci una correlazione tra le X e la Y. Anzi ci insospettiamo solo per le differenze in “alcune” X. Per esempio consideriamo poco preoccupante nella misura delle differenze di reddito, il colore degli occhi. Tanto che non lo rileviamo neppure (per quanto.....) D’altra parte, se avessimo due insiemi “identici” per “tutte” le possibili caratteristiche X, allora anche in presenza di correlazione l’ipotesi di indipendenza di Z e Y sarebbe verificata.

14 UNA INFERENZA “INDIRETTA” Ma se l’idea (o il sospetto) è che le X siano correlate con le Y, l’ipotesi di indipendenza tra Z e X può essere verificata (naturalmente per le X osservate). Anzi, di più: abbiamo metodi per stimare P(Z=1/X) e per fare inferenza sulle stime. Ad esempio i modelli del tipo logit/probit, ma anche i modelli per dati Troncati e censurati che abbiamo visto in precedenza. Sia pure sotto diverse forma, ciò che facciamo è: 1.Ipotizzare un modello per la probabilità di assegnazione (o di scelta) al trattamento 2.Utilizzare una combinazione (non lineare) delle X per stimare questa probabilità 3.Sfruttare questa stima come “correttore” della distorsione nel confronto tra i livelli della variabile di risposta Y Nell’esempio abbiamo stimato P(Z=1) come funzione del genere, mediante uno stimatore “naif” (frequenza relativa) e poi abbiamo utilizzato la stima come “peso” per correggere la media dei trattati. La stima della probabilità in questo contesto è il “PROPENSITY SCORE”

15 UN APPROCCIO MOLTO GENERALE Naturalmente vi sono molti metodi in cui il percorso descritto può essere compiuto tuttavia è importante sottolineare che questo modo di affrontare il problema: Pone al centro dell’inferenza NON il meccanismo di selezione dei soggetti, MA il processo di generazione dei dati, di cui la selezione è SOLO un elemento Da questo punto di vista, il problema non è se la selezione è casuale, na se disponiamo di un modello che è in grado di rappresentare il processo di misura Cade la distinzione tra campioni casuali e sottoinsiemi non casuali, la legittimità dell’inferenza sta nelle ipotesi del modello di misura, NON nel meccanicismo del processo di selezione Dal punto di vista teorico il modello di misura acquista importanza e dignità come momento di conoscenza, non solo come “buona prassi” spesso impossibile da rispettare fino fino in fondo Si aprono possibilità enormi e non convenzionali per l’utilizzo di dati tradizionalmente trascurati (es.: dati parziali, di origine amministrativa, su base volontaria etc..)