Lezione V Teorie metriche della gravitazione e confronti sperimentali TEMPO NECESSARIO: 1 h e 1/2s12.

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1 Lezione V Teorie metriche della gravitazione e confronti sperimentali TEMPO NECESSARIO: 1 h e 1/2s12

2 Contenuto della Lezione V 1) Diverse Teorie Metriche 2) Tests della Relatività Generale 3) Il principio di Equivalenza Forte

3 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale Completa: Dai principi primi devono essere derivate tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando il campo gravitazionale è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è trascurabile e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. (*) LOGICA SPERIMENTALE. (*) L’ultima richiesta può sembrare superflua in quanto la meccanica relativistica, una volta raggiunta nell’ipotesi di campi deboli (vedi terzo punto), di per se stessa, nel limite di basse velocità, si riduce alla meccanica Newtoniana. Non bisogna però dimenticare che le leggi della gravitazione Newtoniana non sono compatibili con la Relatività Speciale. Chiedendo che queste siano verificate, chiediamo qualcosa di aggiuntivo.

4 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. LOGICA SPERIMENTALE Milne (1948) : Nessuna predizione sul Red-Shift Gravitazionale

5 Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. LOGICA SPERIMENTALE Varie teorie (Anni ‘60) : Violano l’esempio indicato Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale

6 Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. LOGICA SPERIMENTALE Newton: Non relativistica Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale

7 Completa: Dai principi primi devono essere derivato tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. (Vago: Quantum gravity, singolarità, etc ?. – Utilizzate per vedere limiti eclatanti) Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando la gravità è trascurabile le leggi della teoria si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. LOGICA SPERIMENTALE Birkoff (1943): Teorie che viola il limite Newtoniano Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale

8 Teorie della Gravitazione AttendibiliNon Attendibili MetricheNon Metriche Abbiamo classificato non attendibili un dato numero di teorie in quanto violano la validità della Fisica Newtoniana e della Relatività Speciale. Il loro grado di validità è stato discusso nelle lezioni precedenti.

9 Teorie della Gravitazione AttendibiliNon Attendibili MetricheNon Metriche Validità del principio di Equivalenza di Einstein (WEP + LLI + LPI) Teorie della Gravitazione

10 L’unico campo che regola le equazioni del moto è la metrica g. Il ruolo degli altri campi che la teoria può contenere è solo quello di contribuire a generare la metrica. La materia crea questi campi che, insieme alla materia generano la metrica, ma la materia risponde solo alla metrica. (*) (*) Per quanto detto fino ad ora riguardo al EEP, le leggi della fisica in forma covariante possono essere formulate prendendo la loro forma della relatività speciale e generalizzarle ad una nuova forma che tenga conto della curvatura dello spazio. La logica è quindi quella di scrivere le leggi della Relatività Speciale derivandole da un’azione, contenente il tensore metrico pseudo-Euclideo. La generalizzazione di cui sopra avverrà attraverso una generica trasformazione delle coordinate x u = x u (x a ). Trasformando in modo generale, vettori, tensori, differenziali, elementi di integrazione (vedi Par..3.2 del libro di Will), uno approda a riscrivere l’azione nel nuovo sistema di riferimento (genericamente curvo). E’interessante osservare che alla fine di questa operazione la forma dell’azione resta la stessa con solo alcune modifiche: rimpiazzare il tensore metrico pseudo-Euclideo con il tensore metrico g, le virgole in semi-colonne e l’elemento differenziale, così come descritto nel paragrafo 3.2 del Will. Questa è la manifestazione del principio di Equivalenza di Einstein: Scrivere le leggi della fisica nella forma della Relatività Speciale, compiere una generica trasformazione delle coordinate e riscrivere l’azione con la semplice regola della sostituzioni di cui sopra. Le diverse teorie si differenziano sul modo in cui la metrica viene generata. Il meccanismo di cui sopra si applica ad una qualunque teoria metrica, è solo la traduzione formale del EEP. Nella teoria della Relatività Generale esiste un unico campo gravitazionale generato dal tensore energia-impulso che contiene sia la materia che gli altri campi. Nella teoria di Branse-Dicke-Jordan la materia ed i campi generano un campo scalare  che insieme a materia e campi generano la metrica. Nella teoria di Ni è supposto che esista una metrica piatta in tutto l’Universo dove esiste un tempo proprio. Il tensore metrico  coopera con la materia ed il campo scalare alla creazione della metrica g a cui la materia è accoppiata. In ogni caso, seguendo il EEP, la materia si accoppia solo alla metrica.

11 Limite Newtoniano All’interno del sistema solare la luce segue traiettorie rettilinee i corpi di test si muovono seguendo le leggi della fisica Newtoniana con approssimazioni di una parte su 10 5 In una teoria Metrica l’accelerazione di un corpo in un campo gravitazionale statico si deduce a partire dall’equazione delle geodetiche dove

12 Limite Newtoniano Per rendere le due espressioni identiche

13 A grandi distanze dalla sorgente vale la metrica di Minkowski Limite Newtoniano

14 In questa approssimazione valgono le equazioni di Eulero della Fluidodinamica valide nella fisica Newtoniana e (con buona approssimazione) nel sistema solare Limite Newtoniano LIMITE NEWTONIANO DI UNA TEORIA METRICA E’ LO SVILUPPO AL PRIMO ORDINE NELLE QUANTITA’ MENZIONATE

15 Il limite Newtoniano è valido per descrivere la fisica nel sistema solare con una precisione dell’ordine di una parte su 10 5. Già l’avanzamento del perielio di Mercurio è un effetto su scala inferiore (5 x 10 -7 rad su ogni orbita)…. Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del viriale, sono piccole La pressione p all’interno dei pianeti è più piccola della densità di energia gravitazionale  U (p/  circa 10 -5 nel sole e 10 -10 sulla terra) In tutto il sistema solare U < 10 -5 Limite Newtoniano

16 In altre parole, negli anni ’70 il limite Newtoniano (cioè lo sviluppo al primo ordine era sufficiente a descrivere le osservazioni), Attualmente per lo studio di fenomeni ove è pi ù forte la gravit à non basta fermarsi al primo ordine ed in casi particolari addirittura va abbandonata la tecnica perturbativa Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del viriale, sono piccole La pressione p all’interno dei pianeti è più piccola della densità di energia gravitazionale  U (p/  circa 10 -5 nel sole e 10 -10 sulla terra) In tutto il sistema solare U < 10 -5 Limite Newtoniano

17 Sviluppo della metrica nei parametri menzionati: U, v 2, p/  e  v ,  U 2  4, Uv  3 Lo Sviluppo Post-Newtoniano 22 Il primo ordine dello sviluppo è associato a termini lineari nella velocit à v ~ O(1) =  L’azione I NG per una singola massa neutra si può scrivere cos ì Newtoniano  2 Il limite Newtoniano corrisponde a A cui corrisponde una langragiana L

18 Correzioni al Primo ed al Terzo ordine nella Lagrangiana sono vietate dalla conservazione dell’energia (Gravitation Par.39.6) Post-Newtoniano (  4 ) Ciascuna teoria deve fornire gli sviluppi a questi ordini della metrica Ciascuna teoria potrebbe presentare la sua “personale versione” Lo Sviluppo Post-Newtoniano

19 Correzioni al Primo ed al Terzo ordine nella Lagrangiana sono vietate dalla conservazione dell’energia (Gravitation Par.39.6) Post-Newtoniano (  4 ) La teoria è però obbligata a rispettare delle regole: ordine dello sviluppo, assenza di dimensioni, termini che vanno a zero almeno per 1/r, le correzioni siano date da prodotti delle grandezze di cui sopra, etc, etc, etc.. (Gravitation Par.39.8) Lo Sviluppo Post-Newtoniano

20 ……

21 I parametri Post-Newtoniani (*) Le teorie si distinguono una dall’altra dai valori assunti dai parametri Post-Newtoniani (*) Si utilizzano come fattori moltiplicativi combinazioni di 10 parametri e non parametri singoli, perchè ad ogni parametro della teoria vogliamo associare un significato fisico.

22 I parametri Post-Newtoniani Termini che regolano la dipendenza dalla metrica dalla velocità del sistema di riferimento rispetto ad un sistema di riferimento Universale Misurano se la teoria predice violazioni del momento COMMENTO:  è non zero in tutte quelle teorie che predicono una dipendenza dalla posizione rispetto ad un sistema di riferimento privilegiato. Questo condurrebbe ad un anisotropia della costante di gravitazione locale indotta dalla distribuzione di massa della galassia. I tre parametri  ci dicono se la metrica possa dipendere dalla velocità rispetto ad un sistema di riferimento privilegiato (Universe-Rest Frame). Nello schema si vedono i valori che i parametri assumono in Relatività Generale, nelle teorie Semi-Conservative (che inglobano una conservazione globale dell’impulso) ed in teorie Totalmente Conservative che, oltre all’impulso, prevedono la conservazione del momento angolare su scala globale. Le teorie Totalmente Conservative prevedono automaticamente la nullità di effetti dipendenti dalla velocità del sistema di riferimento (cioè presnetano termini alfa nulli). In generale infatti si scrivono leggi di conservazione valide nel sistema locale: vengono generalizzate le equazioni nello spazio curvo e localmente vengono a valere le conservazioni dell’energia. Problemi nascono quando si cercano conservazioni su scala globale. Si cerca di costruire una grandezza che si riduce localmente al tensore energia-impulso e la cui divergenza sia nulla (   ). Una volta identificata questa quantità in una data teoria, se certe ipotesi sono soddisfatte e se la grandezza risulta simmetrica (rispetto ad i suoi indici) si può vedere come sia il momento angolare che l’impulso che l’energia si conservino. Se tale grandezza non risulta simmetrica è possibile dimostrare solo la conservazione dell’impulso e dell’energia ma non la conservazione del momento angolare. Nel formalismo Post-Newtoniano l’esistenza di questa quantità a divergenza nulla e che si riconduce al tensore metrico pseudo-euclideo si può dimostrare necessitare della condizione di nullità dei 5 parametri dell’ultima sezione della tabella sottostante che compongono, come visto lo sviluppo della metrica nell’approssimazione post-Newtoniana (vedi Paragrafo 4..4 dello Will). La condizione di simmetria della quantità in questione, necessaria alla conservazione anche del momento angolare, si verifica solo se anche i termini  1 ed  2 sono nulli. Che i termini  1,  2 ed  3 siano quelli che verificano la condizioni di indipendenza della metrica dalla velocità di un sistema di riferimento privilegiato lo si può vedere compiendo le trasformazioni di coordinate da un sistema PPN ad un altro che si muove rispetto ad esso con velocità v, compiendo trasformazioni di Lorentz approssimate nella metrica Post-Newtoniano ed ottenendo una nuova metrica PPN che ha dei termini che dipendono dalla velocità. Questo non viola la relatività speciale perché siamo di fronte comunque a termini gravitazionali che si annullano quando la gravità si spenge. Quello che ci dicono questi termini è che la velocità rispetto all’universo potrebbe cambiare la metrica del sistema PPN in questione. L’annullarsi dei parametri  1,  2 ed  3 rende nulli tali effetti e conduce al significato in discussione.

23 PPN in General Relativity Per i dettagli del calcolo vedereC.Will Par.5.2

24 PPN in Brans-Dicke

25 Per i dettagli del calcolo vedere C.Will,Par.5.3

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27 Equazioni del moto per i fotoni

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29 Deflessione della Luce

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31  b GRAZING PHOTONS Traiettorie dei Fotoni nello sviluppo Post-Newtoniano

32 Deflessione della Luce Very-Long-BaseLine Radio Interferometry Ogni anno il Sole raggiunge la minima distanza dalla linea visiva che congiunge la terra a gruppi di quasar. (Accuratezza di 100  arcsec) Eddington (1919) Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante. 30% di Errore sugli 1.75 secondi d’arco previsti. Misure Ottiche Recenti pongono limiti al 10%

33 Deflessione della Luce Very-Long-BaseLine Radio Interferometry Deflessione della Luce da parte di Giove: 300 microarcsec verificate con accuratezze del 50% Eddington (1919) Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante. 30% di Errore sugli 1.75 secondi d’arco previsti. Misure Ottiche Recenti pongono limiti al 10%

34 Ritardo dell’eco radar

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36 Ritardo Radar 3 Differenti tipi di misure (1+  misurato con accuratezze dello 0.1%

37 Il parametro  Ruolo ridotto del campo scalare

38 Avanzamento del Perielio di Mercurio

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41 che rappresenta un moto armonico per u=r -1 con una piccola perturbazione Avanzamento del Perielio di Mercurio

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43 Precessione del Perielio di Mercurio e parametri PPN

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45 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Terra: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su mille Sole: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su 10 5 Effetto dovuto alla Relatività Generale o teorie alternative Perturbazione dal moto dei pianeti: 500” per secolo Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole Avanzamento del Perielio di Mercurio Sintesi Sottraibile con ottima accuratezza Perturbazione dovuto al rapporto delle masse dei corpi (nullo in teorie puramente conservative)

46 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Avanzamento del Perielio di Mercurio Sintesi Total Mass = m 1 + m 2 Reduced Mass Mean Radius of Sun C ed A sono i momenti di inerzia rispetto all’asse di rotazione e all’asse equatoriale Avanzamento per ciascuna orbita Trascurabile comunque

47 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Avanzamento del Perielio di Mercurio Sintesi L’errore sperimentale dell’osservazione Radar di Mercurio (dal 1966) è circa una parte su mille Avanzamento per secolo Sotto l’errore sperimentale

48 Misure di quadrupolo del campo solare un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento di quadrupolo del sole… Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla superficie  J = Q/2MR 3 = 2 x 10 -5 (errore al 10%) Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni compatibili con la teoria di Brans-Dicke. Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica – smentirono la misura J = Q/2MR 3 = 1 x 10 -6 (errore al 400%)

49 Misure di quadrupolo del campo solare un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla superficie  J = Q/2MR 3 = 2 x 10 -5 (errore al 10%) Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni compatibili con la teoria di Brans-Dicke. Anni ’80: Misura delle oscillazioni solari J = Q/2MR 3 = 2 x 10 -7 (errore al 10%) Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento di quadrupolo del sole…

50 Il principio di Equivalenza Forte

51 L’Effetto Nordvedt Nordvedt: Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale può violare il principio di Unicità del Free-Fall

52 L’Effetto Nordvedt Nordvedt: Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale può violare il principio di Unicità del Free-Fall Laboraty-size objects SunEarth Moon Polarizzazione dell’orbita lunare SunMoon 29.8 gg

53 L’Effetto Nordvedt Polarizzazione dell’orbita lunare SunMoon Apollo 11 ha piazzato nel 1969 dei retro-riflettori sulla superficie lunare. Un laser manda impulsi di 10 18 fotoni della durata di 200 ps. 1 fotone ogni qualche secondo viene rivelato. Accuratezze dell’ordine del cm (50 ps) sull’orbita lunare. Lunar Laser Ranging Experiments Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post-Newtonian Gravitational Effects,….etc.. (Williams et al., 1976) (Shapiro et al., 1976)

54 L’Effetto Nordvedt Polarizzazione dell’orbita lunare SunMoon Apollo 11: piazzati nel 1969 retroriflettori sulla superficie lunare Lunar Laser Ranging Experiments Accuratezze dell’ordine del cm (50 ps) Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post-Newtonian Gravitational Effects,….etc.. Limite sulla WEP accurata a 5 parti su 10 13 Limite recenti su  ad una parte su 10 3

55 Materiale Didattico un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. TESTI FONDAMENTALI Cap.4 dello Will per capire la logica complessiva dello sviluppo Post-Newtoniano e delle diverse teorie metriche. C.Will: “The Confrontation Between General Relativity and Experiment”, sul sito web. Capitolo 39 del Gravitation. TESINE POSSIBILI I 3 test standard della Relatività Generale (problematiche sperimentali) Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-Newtoniani