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113 Rappresentazione dei numeri in virgola fissa
Il numero complessivo di cifre significative dei numeri che possono essere rappresentate in un calcolatore è limitato dalla capacità di una cella di memoria (con k bit, in modulo e segno, si rappresentano i numeri compresi fra –2k-1+1 e 2k-1-1) Quando si utilizzano numeri in cui sia presente sia una parte intera, sia una decimale si può ricorrere alla rappresentazione detta in Virgola Fissa in cui si fissa la posizione che la virgola deve avere all’interno del numero da rappresentare Ciò equivale a stabilire a priori il numero di cifre da utilizzare sia per la parte intera, sia per quella decimale Per i numeri negativi si può utilizzare ancora la tecnica del complemento

114 Rappresentazione dei numeri in virgola fissa
Esempio: memorizzare 72.6 con 12 bit, di cui 4 riservati alle cifre decimali 72 0 b0 36 0 b1 18 0 b2 9 1 b3 4 0 b4 2 0 b5 1 1 b6 0 0 b7 0.6 b-1 b-2 b-3 b-4 = Rappresentare -72.6: = In pratica il numero è stato moltiplicato per 24, avendo stabilito di avere 4 cifre decimali Problema: ridotto intervallo di rappresentazione dei numeri e ridotta precisione di rappresentazione

115 Rappresentazione normalizzata dei numeri reali
Qualsiasi numero reale a  0 può essere rappresentato in modo univoco in base b>1 nella forma: Questa rappresentazione equivale a:  db-1 db-2 … d0, d-1 d-2 … per b>0  0, d-1 d-2 … per b=0  0, 0 … 0 d-b-1 d-b-2 … per b<0 Se a=0, la rappresentazione è semplicemente 0 In pratica si deve fissare una variabilità finita per l’indice i

116 Rappresentazione normalizzata dei numeri reali
=  104 =  10-2 1 = 0.1  101 = 0.5  104 In generale qualunque numero A può essere rappresentato da: Il segno di A (S= segno, con la convenzione: 0 = +, 1 = -); Le cifre significative di A (M= mantissa) rappresentate in una forma normalizzata; se n sono le cifre utilizzate e B è la base del sistema di numerazione, l’intervallo di variabilità della mantissa è: B-n  M < 1; L’esponente (E) a cui bisogna elevare la base B per ottenere il fattore per cui moltiplicare la mantissa per ottenere A A = S 0.M x B E

117 Rappresentazione in virgola mobile
Per una rappresentazione effettiva si conviene di: eliminare i simboli ridondanti fissare la lunghezza della mantissa fissare la lunghezza dell’esponente utilizzare per l’esponente una convenzione che permetta di rappresentare numeri positivi e negativi senza l’indicazione esplicita del segno (complemento alla base o tecnica dell’eccesso, sommando una opportuna costante) disporre gli elementi rimasti (segno, esponente, mantissa) in un ordine convenzionale Quindi A viene rappresentato dalla sequenza: S E M

118 Rappresentazione in virgola mobile
Esempi: in base 10: 1 cifra per il segno (0 = +, 1 = -), 2 cifre per l’esponente, rappresentato in complemento, e 8 cifre per la mantissa S E M      

119 Rappresentazione in virgola mobile
Esempi: in base 2: 1 bit per il segno (0 = +, 1 = -), 8 bit per l’esponente, rappresentato in complemento e 23 bit per la mantissa  216  2-10 Cosa corrisponde al numero seguente rappresentato in virgola mobile?  2-37

120 Formato dei dati numerici in virgola mobile
Numeri reali in singola precisione: 32 bit (1 per il segno, 8 per l’esponente, 23 per la mantissa); in doppia precisione: 64 (1, 11, 52) In singola precisione l’esponente varia quindi tra -128 e +127 Si parla di dinamica per descrivere l’intervallo dei numeri rappresentabili –2127 < N < 2127 (circa -1038< N < 1038) La mantissa di 23 bit permette di rappresentare numeri con circa 7 cifre decimali significative Per valori superiori a 1038 o inferiori a si parla di overflow Per valori inferiori al minimo numero positivo rappresentabile ( 0) o superiori al massimo numero negativo rappresentabile si parla di underflow

121 Formato dei dati numerici in virgola mobile
Passi per ottenere la rappresentazione binaria trasformazione in binario normalizzazione memorizzazione Esempio: 75 1 37 1 18 0 9 1 4 0 2 0 1 1 0.125 =   27 Quindi in singola precisione:

122 Formato dei dati numerici in virgola mobile
Esempio: Quindi in singola precisione:

123 Operazioni tra numeri in Virgola Mobile
Operazioni di moltiplicazione e divisione: Le mantisse vengono moltiplicate o divise Gli esponenti vengo sommati o sottratti Se necessario, la mantissa viene rinormalizzata e l’esponente corretto Operazioni di somma o sottrazione: L’esponente più piccolo viene reso uguale al più grande spostando la mantissa verso destra del numero di cifre pari alla differenza tra gli esponenti (shift per ottenere un corretto incolonnamento) Le mantisse vengono sommate o sottratte NB Nello shift si potranno perdere alcune cifre meno significative, ma sono quelle di peso minore del numero più piccolo. Nell’esempio le cifre in rosso verrebbero perse se si utilizzassero solo 4 cifre decimali per la mantissa A: 0,6502 x102 = Shift: 0, x104 + B: 0,2347 x104 = A+B: 0, x104

124 Standard IEEE 754 Un numero reale  0 viene scritto in binario come 1.b1b2b3…  2e La mantissa a è perciò variabile nell’intervallo 1  a < 2 Il numero viene memorizzato su 32 bit 1 bit di segno 8 bit di esponente 23 bit per la mantissa Poiché la prima cifra è sempre 1, questa cifra non viene memorizzata. Di fatto la mantissa ha 24 cifre binarie, di cui la prima sottintesa L’esponente viene memorizzato sommando il valore costante 127 (notazione eccesso 127) Esempio: rappresentare 1.0

125 Esempi IEEE 754 -1 2 = 1  21 -3 = -1.1  21 0.5 = 1  2-1

126 Codifica di dati non numerici: definizioni
I calcolatori lavorano soltanto con i numeri, ma devono poter trattare anche altre entità: per questa ragione sono stati inventati i codici. Alfabeto è un insieme finito di simboli (caratteri) distinti Parola o Stringa è una sequenza finita di simboli Esempi: U={1} alfabeto unario; A={0, 1} alfabeto binario; B={A, B, C, …, Z} alfabeto inglese; C={A, B, …, Z, 0, 1, …, 9} alfabeto alfanumerico Parola è una successione finita di caratteri di un alfabeto è una parola di A o di C SFSJKGH è una parola di B o di C SF120C è una parola di C

127 Alfabeto usato dai calcolatori
I calcolatori lavorano utilizzando due simboli: INTERRUTTORE: aperto/chiuso TRANSISTOR: conduce/non conduce LIVELLO DI TENSIONE: alto/basso RIFLETTIVITÀ DI UN’AREOLA: alta/bassa DOMINIO DI MAGNETIZZAZIONE: I calcolatori utilizzano quindi una logica e un’aritmetica binaria Ai due stati stabili di un dispositivo, ai due valori di una grandezza, vengono associati convenzionalmente i simboli 0 e 1

128 Alfabeti usati dall’uomo
{ A, B, C, D, … ,Z } { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } { ; , . ! ? : ( ) ‘ “… } { Caratteri giapponesi } { Caratteri arabi } È necessario stabilire delle regole di corrispondenza, dette CODIFICHE La codifica metterà in corrispondenza biunivoca ogni SIMBOLO appartenente all’alfabeto più ricco con una STRINGA di simboli appartenenti all’alfabeto più ridotto

129 Codifica é ù ) ( log 2 ³ n C = M
Dato un insieme I di elementi qualsiasi, si dice codifica di I mediante parole di un alfabeto A un procedimento che permette di stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di I e le parole di un sottoinsieme Q dell’insieme delle parole di A. Esempio: codifica di lettere tramite cifre decimali A  01, B  02, C  03, D  04, , Z  26 Un codice binario è quindi la codifica dei simboli di un alfabeto S mediante stringhe di bit; se C è la cardinalità di S (n. di elementi) per il numero n di bit da utilizzare deve valere: C  2n . Ossia: é ù ) ( log 2 n C = M

130 Codici non ridondati e ridondanti
Se n = M il codice è non ridondante (usa il minimo numero di bit per codificare tutti i simboli di S) Se n > M il codice è ridondante (usa più bit del necessario per codificare tutti i simboli di S) Si definisce distanza di Hamming (H) di un codice: Il minimo numero di bit di cui differiscono due parole qualsiasi del codice Se n=M → H=1 Se c’è ridondanza H ≥ 1 Aggiungendo opportunamente la ridondanza alle parole si possono ottenere codici a rilevazione e/o a correzione di errore Si può dimostrare che per i codici a sola rilevazione: N° di bit errati rilevati: R = H-1 e che per i codici a correzione: N° di bit errati corretti: C ≤ (H-1)/2 N° di bit errati rilevati: R = H-C-1

131 Codici Ridondanti a Rivelazione/Correzione
Sono codici con distanza di Hamming H > 1 e possono avere la caratteristica di rivelare o correggere uno o più bit errati Parità: È un codice con H = 2. Si ottiene dal codice non ridondante aggiungendo 1 bit in modo che il numero complessivo di bit uguali a “1” sia pari (parità pari) o dispari (parità dispari) Avendo H=2 può solo rilevare gli errori, e solo se questi accadono singolarmente o in un numero dispari nella stessa parola di codice

132 Codici di Hamming Sono codici ridondanti con H>2 e perciò con capacità di auto correzione. Il più noto e semplice ha H=3: dato un codice non ridondante di n bit, vengono inseriti in particolari posizioni k bit di controllo. Perché possa essere corretto un errore (singolo) deve valere: n ≤ 2k –k –1 Corregge un bit in posizione arbitraria Rivela la presenza di un solo errore Funziona bene se gli errori sono distribuiti casualmente Esempio: parola di 7 bit (n = 7) Per creare un codice di Hamming con H=3 bisogna rispettare la relazione precedente e quindi usare 4 bit di controllo aggiuntivi (k = 4).

133 Codici Ciclici Usati nella trasmissione a distanza su linee rumorose, soprattutto se sono possibili errori a raffica. Sono codici rivelatori di errore, ma non autocorrettori. In casi di errore rivelato il messaggio deve essere ritrasmesso. Un messaggio M di k bit da trasmettere viene trattato come un polinomio di grado k-1, i cui coefficienti sono i bit del messaggio. Preso un altro polinomio G di grado r si arriva attraverso operazioni modulo 2 su M e G, ad un terzo polinomio T di grado t (con k<t≤k+r), divisibile per G. I coefficienti di T costituiscono la stringa di bit da trasmettere. In ricezione un algoritmo analogo divide T per G. Se il resto della divisione è ≠ 0 il messaggio deve essere ritrasmesso.

134 Codifica delle cifre decimali
Vi sono diverse codifiche delle cifre decimali Codice BCD (Binary Coded Decimal): ogni cifra decimale viene codificata con 4 bit. È un codice pesato perché il valore di ogni cifra viene ottenuto eseguendo una somma pesata delle quattro cifre binarie che lo compongono Codice ad eccesso tre: è basato sul codice BCD. Ogni codifica si ottiene sommando 3 alla codifica BCD. Non è un codice pesato. Per passare da una cifra alla cifra corrispondente al complemento a 9 basta complementare le cifre binarie della sua codifica Codice 2421: i numeri indicano ordinatamente i pesi delle 4 cifre binarie. Come per l’eccesso tre, le codifiche di una cifra e della cifra corrispondente al complemento a 9 sono fra loro complementari

135 Codifica delle cifre decimali
BCD Eccesso 3 2421 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0110 4 0111 5 1000 1011 6 1001 1100 7 1010 1101 8 1110 9 1111 Sono tutti codici che lasciano 6 configurazioni inutilizzate delle 16 a disposizione con 4 bit

136 Codice Gray Per il modo in cui viene creato si dice che è un codice riflesso. Serve a codificare un numero in modo che le stringhe di bit che rappresentano numeri consecutivi differiscano per un solo bit. Il codice Gray elimina il problema di transizioni spurie passando da una codifica alla successiva Dato un numero, si può passare dalla sua codifica binaria b=bm bm-1 … b1 b0 alla codifica Gray g=gm gm-1 … g1 g0 nel modo seguente:  è il simbolo di somma modulo 2 (EXOR - or esclusivo) b2 b1 b0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 g2 g1 g0 1 mentre il passaggio inverso è

137 Codifica di informazioni alfanumeriche
Per convenzione, si definisce alfabeto esterno di un calcolatore l’insieme dei caratteri che è in grado di leggere e stampare mediante i dispositivi di I/O. Questo alfabeto comprende almeno 64 caratteri (esempio codice Field data): le 26 lettere dell’alfabeto inglese maiuscole le 10 cifre decimali 28 caratteri vari (spazio, segni di punteggiatura, etc.) In genere si utilizzano codici a 7 o 8 bit EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code): 8 bit. Rappresenta caratteri alfanumerici e speciali. Personalizzato per le varie nazionalità (necessita di conversioni e ormai obsoleto) UNICODE: rappresenta con 16 bit tutti i caratteri della lingua parlata dall’uomo (usato da Java e adottato da HP, IBM, Microsoft, Oracle, …)

138 Codice ASCII American Standard Code for Information Interchange
Ne esistono due versioni: 7 bit → 128 simboli; in questo caso l’ottavo bit è usato a volte come ridondanza (H=2) per la rilevazione di un errore (bit di parità) 8 bit → 256 simboli (ASCII esteso); codifica anche lettere accentate e caratteri grafici; l’estensione non è standardizzata e quindi fra i 128 simboli aggiunti può succedere che alla stessa codifica corrispondano simboli diversi È il codice più usato per la codifica dei caratteri alfanumerici (lettere e cifre) oltre che per simboli di interpunzione e vari. Ad esempio: . ; : , ( ) [ ] { } / \ < > = ? ! ~ | # $ % & * ^ ecc.

139 Codice ASCII

140 Codifica delle immagini
In un calcolatore tutto è discreto L’immagine è un insieme continuo di informazioni (luce, colore) in due dimensioni Quando si memorizzano immagini pittoriche o fotografiche si scompone artificiosamente l'immagine in una sequenza di elementi di informazione codificati con sequenze binarie

141 Codifica bitmap di Immagini
L'immagine viene suddivisa in un reticolo di punti detti pixel (picture element) Ogni pixel viene codificato con una sequenza di bit La qualità dell'immagine dipende dal numero di pixel per unità di lunghezza e dal numero di bit utilizzati per codificare ogni pixel.

142 Codifica bitmap di Immagini
Problema: Non è possibile ingrandire a piacimento un'immagine perché non si aumenta il dettaglio, ma si distinguono i singoli pixel. La soluzione di aumentare il numero di pixel non è possibile perché questo aumenterebbe lo spazio necessario per memorizzare una immagine (si richiederebbe una compressione)

143 Codifica dei pixel Immagini in bianco e nero: raramente si usa un solo bit. Ogni pixel di solito si codifica con 8 bit per rappresentare diversi livelli di grigio (28 = 256 livelli) Immagini a colori: i colori vengono ottenuti tramite la combinazioni di almeno 3 colori base, detti primari. La composizione può avvenire tramite la tecnica di sintesi sottrattiva o additiva in funzione del tipo di dispositivo utilizzato (stampante, monitor o televisore) Per codificare un pixel si devono codificare i tre colori primari (es. RGB), la cui combinazione consente di ottenere il colore del pixel stesso Per ciascun colore primario spesso si usano 8 bit e quindi in totale per codificare ciascun pixel servono 24 bit Ciò consente di codificare 224 ~ 16 milioni di colori diversi Con profondità di colore si intende il numero di bit utilizzati per codificare i pixel

144 Occupazione di memoria di un’immagine
L’occupazione di memoria di un’immagine dipende da: definizione o risoluzione dell’immagine (intesa come il numero di pixel per unità di lunghezza: dot per inch = DPI) Numero dei colori (dipende a sua volta dal numero di bit usati per codificarli: 8, 16, 24 bit) Tipo immagine Definizione Colori Occupazione Televisiva 720 x 625 256 (8 bit) ~ 440 kByte Monitor di PC 1024 x 768 (16 bit) 1,5 MByte Fotografica x (24 bit) ~ 430 MByte

145 Formati di file bitmap TIFF (Tagged Image File Format): Profondità fino a 24 bit e vari metodi di compressione GIF (Graphics Interchange Format): consente di memorizzare più immagini in uno stesso file JFIF (Jpeg File Interchange Format) e SPIFF implementano il metodo di codifica JPEG (Joint Photographers Expert Group), formato standard che usa due tipi di compressione molto utilizzato su Internet. Prevede la tecnica di visualizzazione interallacciata (l’immagine viene composta per righe alterne per cui viene caricata velocemente, ma diventa più nitida man mano che viene completata) BMP (BitMaP) usata con Windows supporta immagini con profondità 1, 4, 8 e 24 bit

146 Immagini vettoriali Questo formato si usa in applicazioni di progettazione meccanica, architettonica, elettronica, e in tutte quelle applicazioni in cui l’immagine viene costruita con elementi di alto livello quali linee, cerchi, poligoni, archi, colori, ecc. Al contrario delle immagini bitmap in cui l’elemento di informazione è il pixel, in quelle vettoriali gli elementi dell’immagine sono gli oggetti grafici che la compongono circle polyline Ogni oggetto è codificato attraverso un identificatore (es. polyline, circle, etc.) e alcuni parametri quali le coordinate del centro e la lunghezza del raggio (per la circonferenza) o le coordinate dei vertici (per il poligono)

147 Formato vettoriale per le immagini
Vantaggi: Indipendenza dal dispositivo di visualizzazione e dalla sua risoluzione Gli elementi grafici sono indipendenti l’uno dall’altro e si possono elaborare distintamente minore occupazione di memoria rispetto alla grafica bitmap Svantaggi: applicabilità limitata: un’immagine fotografica non si può scomporre in elementi primitivi limiti nell’utilizzo in quanto si possono manipolare immagini vettoriali solo con il software utilizzato per crearle o compatibile

148 Formati di file vettoriali
PostScript: incorporato in molte stampanti, si è evoluto nel tempo e consente di rappresentare immagini vettoriali e bitmap anche a colori con diverse tecniche di compressione. Formati derivati del PostScript sono EPS e PDF DXF (Drawing Interchange Format) usato da molti programmi di disegno memorizza i vettori in formato testo. La versione binaria DXB è più compatta ma meno diffusa

149 Rappresentazione di immagini in movimento
Immagini in movimento vengono rappresentate attraverso sequenze di immagini fisse (frame) visualizzate ad una frequenza sufficientemente alta da consentire all’occhio umano di ricostruire il movimento (24, 25 o 30 immagini al secondo) Lo standard multimediale per le immagini in movimento, MPEG, codifica ciascun frame separatamente secondo lo standard JPEG Si utilizzano tecniche di compressione in quanto un minuto di filmato a 25 fotogrammi al secondo richiederebbe uno spazio di memorizzazione di 644 MByte (un CD contiene 680 MByte)

150 Algebra Booleana (George Boole (1815-1864))
Il simbolo “::=“ significa “è definito / composto da” Il simbolo “|” significa “oppure” L’algebra di Boole è definita su due elementi (vero | falso, 0 | 1) Costante booleana ::= 1 | 0 Operatore booleano ::= NOT | AND | OR Una variabile booleana può assumere solo uno dei due valori 0 o 1

151 Operatori Booleani NOT (simbolo ): simbolo grafico 1

152 Operatori Booleani AND (prodotto logico); simbolo * oppure • 1 * 1 = 1
1 * 0 = 0 * 1 = 0 * 0 = 0 simbolo grafico x y x * y 1

153 Operatori Booleani OR (somma logica); simbolo + 0 + 0 = 0
1 + 0 = = = 1 simbolo grafico x y x + y 1

154 Funzioni booleane o logiche
Sulle variabili booleane può essere definita una funzione booleana o logica F(x1, x2, …, xn) che per ogni n-pla xi assume valori 0 e 1 Una particolare funzione logica F è definita quando ad essa è assegnata una “tavola di verità”, una tabella in cui è specificato il valore che assume F in corrispondenza di ogni combinazione delle variabili x1, x2, …, xn Il numero di combinazioni di n variabili è 2n, cioè la tavola della verità è costituita da 2n righe Nell’algebra di Boole vale il teorema di dualità che dice: Ogni identità e ogni proprietà resta valida se si scambiano tra loro gli elementi 0 e 1 e gli operatori AND e OR Una espressione è duale di un’altra se ottenuta scambiando AND con OR e 0 con 1. Se un teorema è vero, anche il suo duale è vero

155 Proprietà dell’algebra booleana
Duale Idempotenza Complementazione Prop. commutativa Prop. associativa Prop. Distributiva Prop.assorbimento De Morgan {

156 Operatori Universali NAND e NOR sono detti universali perché possono da soli realizzare i tre operatori fondamentali NOT, AND e OR NAND (/) = negazione dell’AND 1 / 1 = 0 1 / 0 = 0 / 1 = 0 / 0 = 1 simbolo grafico NOR ( ) = negazione dell’OR 0 0 = 1 1 0 = = = 0 simbolo grafico x y x / y 1 x y x y 1

157 Operatori Universali Proprietà: Solo NOR Solo NAND Not Or And Not And

158 Operatori Universali Realizzazione tramite NAND NOR NOT OR AND

159 Operatore OR-esclusivo (EXOR)
L’operatore EXclusive-OR o EXOR è anche detto sommatore modulo 2. Il simbolo grafico è  Può essere ricavato tramite i 3 operatori elementari: x y x  y 1 ( ) x y f Å = × + , y

160 Operatore OR-esclusivo (EXOR)
L’exor è anche detto funzione DISPARITÀ, perché è vero solo quando un numero dispari dei suoi argomenti è vero Proprietà: