Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0 e sia x0 un punto stazionario per f tale che: allora: x0 è un pto di minimo relativo.

Presentazione sul tema: "Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0 e sia x0 un punto stazionario per f tale che: allora: x0 è un pto di minimo relativo."— Transcript della presentazione:

1 Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0 e sia x0 un punto stazionario per f tale che: allora: x0 è un pto di minimo relativo forte per f x0 è un pto di massimo relativo forte per f x0 non è un pto estremante per f

2 Esercizio Si studi la natura del punto stazionario per funzione La funzione è derivabile infinite volte in R

3 Esercizio Si studi la natura del punto stazionario per funzione La funzione è derivabile infinite volte in R

4 Funzioni convesse e concave
f si dice convessa se il suo grafico ha la seguente proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha alcun punto al di sotto del grafico stesso convessa in senso stretto convessa in senso lato

5 Funzioni convesse e concave
f si dice concava se il suo grafico ha la seguente proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha alcun punto al di sopra del grafico stesso concava in senso stretto convessa in senso lato

6 Funzioni convesse e concave
f si dice convessa se equazione della retta passante per x1 e x2

7 Funzioni convesse e concave
f si dice concava in (x1; x2) se equazione della retta passante per x1 e x2

8 Funzione convessa Funzione concava

9 Funzione convessa

10 È una funzione crescente qualsiasi sia x0

11 Teorema: è convessa (concava) se e solo se è crescente (decrescente)
Implicazioni:  ogni funzione convessa (concava) è continua in ogni intervallo I;  ogni funzione convessa (concava) in un intervallo chiuso e limitato è limitata; se l’intervallo non è chiuso non si può dire nulla;  nei punti di frontiera è possibile che la funzione presenti delle discontinuità;

12 Possibile presenza di discontinuità alla frontiera
Se l’intervallo non è chiuso ma solo limitato la funzione potrebbe non essere limitata Possibile presenza di discontinuità alla frontiera

13 se è convessa in Non è detto però che esista Se però f è derivabile in x0 allora:

14 Implicazioni:  se f è convessa (concava) e derivabile e x0 è stazionario allora è un punto di minimo (massimo) globale per f;  se f è strettamente convessa (concava) l’eventuale punto di minimo (massimo) globale è unico;  se la funzione non è strettamente convessa (concava) potrebbe presentare infiniti punti di minimo (massimo);

15 Teorema (condizione del primo ordine)
è convessa (concava) se e solo se la sua funzione derivata prima è crescente (decrescente) nell’intervallo. Inoltre la convessità (concavità) è stretta se e solo se la monotonia della derivata prima è stretta. Teorema (condizione del secondo ordine) se f è due volte derivabile in I, condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia convessa (concava) in I è che:

16 Definizione: una funzione derivabile in x0 appartenente all’intervallo (a; b); tale punto è detto di flesso della funzione f se:

17 Osservazione importante:
è convessa (concava) se e solo se la sua derivata prima è crescente (decrescente); quindi se f è derivabile due volte in I e x0 è punto di flesso, allora x0 sarà punto di massimo (minimo) per la funzione derivata prima; in tali ipotesi il teorema di Fermat applicato alla funzione derivata prima garantisce che Teorema: derivabile due volte in I Nota bene: tale condizione non è sufficiente:

18 Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0, punto interno all’intervallo; se allora: x0 è un punto di flesso per f Teorema derivabile almeno 2 volte.