R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1 L21 Accettare la casualità Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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1 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1 L21 Accettare la casualità Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

2 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2 Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. S02): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi A. i disturbi sono deterministici ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione

3 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3 Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi A. i disturbi sono deterministici ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione

4 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4 Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione in presenza di casualità

5 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 5 Il Problema di pianificazione l’indicatore è casuale: che fare? Il Problema di pianificazione in presenza di casualità

6 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6 Tabella delle decisioni Valore indicatore Stati di natura (realizzazioni del disturbo)  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355

7 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 7 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà. Teoria delle decisioni Informazione disponibile Decisione in condizione di 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà.  certezza  rischio 3.E’ noto  (descrizione set-membership)  incertezza 2.E’ noto  j. (descrizione stocastica)

8 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8 Decisioni in condizioni di certezza Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternativa A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Tabella di decisione Nota la realizzazione j si sceglie l’alternativa A * tale che

9 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 9 Decisioni in condizioni di certezza: esempio In condizioni di certezza opterò sicuramente per l’alternativa A 2 che rende 1500 €. Valore indicatore Stati di natura  11 Decisioni A1A1 1490 A2A2 1500

10 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10 Teoria delle decisioni Decisione in condizione di Informazione disponibile 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà  certezza  rischio 3.Nessuna  completa incertezza 2.E’ noto  j (descrizione stocastica)

11 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 11 Decisioni in condizioni di rischio Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento 1/3 E j [i ij ] 33.3 31.6 25.0 26.6 Criterio di Laplace: scegliere l’alternativa A * tale che

12 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 12 Avversione al rischio Il criterio di Laplace suggerisce di scegliere l’alternativa A 2. Voi cosa scegliereste? Valore indicatore Stati di natura  11 22 AlternativeA1A1 1490 A2A2 07500 Probabilità di accadimento  j ) 0,80,2 E j [i ij ] 1490 1500 La decisione dipende dall’avversione al rischio dell’individuo, la quale può essere quantitativamente identificata attraverso una funzione di utilità U(z) che si stima con una lotteria.

13 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13 Stima della funzione di Utilità 1.00 50 0.00 0 0.50 25 0.20 103 17 50 0 1- i   0.00 i U Avversione al rischio 0.904543 0.804037 0.703533 0.603023 0.402011 0.30158 0.1051 0 Neutralità 50 1.0050 25 0.50 17 10 0.20 3 0 0 0.00 i neutro i avverso u(i)= f Avversione al rischio 0 i   1.00 Neutralità 50 Avversione al rischio 50 i   0.50 Neutralità 25Avversione al rischio 17 i   0.20 10 Neutralità Avversione al rischio 3 i   caso migliore caso peggiore

14 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14 Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i 50 45 0.94 1.00 50 1.00 U

15 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 15 Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i 50 45 U 1.00 0.94 U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.850.39 A2A2 0.790.940.42 A3A3 0.680.630.57 A4A4 0.850.790.25 0,746 0,716 0,626 0,63 Criterio di Laplace corretto: scegliere A * tale che

16 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16 Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i 50 45 U 1.00 0.94 U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.850.39 A2A2 0.790.940.42 A3A3 0.680.630.57 A4A4 0.850.790.25 0,746 0,716 0,626 0,63 Criterio di Laplace corretto: scegliere A * tale che Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U() e quindi la soluzione. Avversione al rischio U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.930.45 A2A2 0.910.970.52 A3A3 0.850.770.65 A4A4 0.930.910.43 0.793 0.8 0.756

17 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17 Prestazione Z ij Stati di natura (scenari)  w1w1 w2w2 w3w3 Decisioni (Alternative  politiche) x1x1 504010 x2x2 354515 x3x3 302520 x4x4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità i U Avversione al rischio U(i ij ) Stati di natura (scenari)  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.930.45 A2A2 0.910.970.52 A3A3 0.850.770.65 A4A4 0.930.910.43 0.793 0.8 0.756 U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.960.47 A2A2 0.940.980.56 A3A3 0.910.880.70 A4A4 0.960.940.46 0.81 0.826 0.83 0.786 Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U() e quindi la soluzione. Criterio di Laplace corretto: scegliere A * tale che

18 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18 Prestazione Z ij Stati di natura (scenari)  w1w1 w2w2 w3w3 Decisioni (Alternative  politiche) x1x1 504010 x2x2 354515 x3x3 302520 x4x4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 U(i ij ) Stati di natura (scenari)  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.960.47 A2A2 0.940.980.56 A3A3 0.910.880.70 A4A4 0.960.940.46 0.81 0.826 0.83 0.786 Avversione al rischio e Laplace i U Avversione al rischio e se il Decisore è NEUTRO al rischio? Laplace è un caso limite dell’avversione al rischio: la neutralità: la funzione di utilità è l’identità. U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Decisioni A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 33.3 31.6 25 26.6

19 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 19 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 i U Avversione al rischio DEBOLE AVVERSIONE NEUTRALITA’ MEDIA AVVERSIONE ELEVATA AVVERSIONE

20 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20 Teoria delle decisioni Informazione disponibile Decisione in condizione di  certezza  rischio 3.Nessuna  completa incertezza 3.Nessuna Conosciamo l’insieme degli stati di natura, ma non la probabilità del loro accadimento. 2.E’ noto  j (descrizione stocastica) 1.E’ noto lo stato di natura  j che si realizzerà

21 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 21 Decisioni in condizioni di completa incertezza: Wald Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Tabella di decisione Criterio di Wald: scegliere A * tale che min(i ij ) 10 15 20 5

22 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22 Prestazione Z ij Stati di natura (scenari)  w1w1 w2w2 w3w3 Decisioni (Alternative  politiche) x1x1 504010 x2x2 354515 x3x3 302520 x4x4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 Avversione al rischio e Wald i U Ai:Ai: Avversione al rischio Avversioni molto forti corrispondono a Wald. U(i ij ) Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 1.000.960.47 A2A2 0.940.980.56 A3A3 0.910.880.70 A4A4 0.960.940.46 0.81 0.826 0.83 0.786 Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 min(i ij ) 10 15 20 5

23 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 23 Decisioni in condizioni di rischio Uso della funzione di utilità Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 i U Avversione al rischio DEBOLE AVVERSIONE NEUTRALITA’ MEDIA AVVERSIONE ELEVATA AVVERSIONE WALD

24 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 24 Decisioni in condizioni di completa incertezza: Savage 11 22 33 A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Criterio di Savage: scegliere A * tale che (minimo rincrescimento) max j (R ij ) 10 15 20 15 11 22 33 A1A1 0510 A2A2 1505 A3A3 20 0 A4A4 10 15 con R ij

25 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25 Valore indicatore Stati di natura  11 22 33 Alternative A1A1 504010 A2A2 354515 A3A3 302520 A4A4 40355 Probabilità di accadimento (j)(j) 1/3 i U Avversione al rischio DEBOLE AVVERSIONE NEUTRALITA’ MEDIA AVVERSIONE ELEVATA AVVERSIONE WALD Savage SAVAGE

26 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 26 Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Utilità)

27 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27 Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri)

28 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 28 Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri) Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore. I criteri più usati sono: Il valore atteso (E)  criterio di Laplace Si adotta quando il decisore è neutro al rischio. Il massimo (max)  criterio di Wald Si adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio. I due criteri possono anche essere usati in cascata. Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore. I criteri più usati sono: Il valore atteso (E)  criterio di Laplace Si adotta quando il decisore è neutro al rischio. Il massimo (max)  criterio di Wald Si adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio. I due criteri possono anche essere usati in cascata.

29 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 29 Definizione di obiettivo Un Obiettivo è definito da un Criterio applicato ad un Indicatore, di cui si specifica il verso di ottimizzazione.

30 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30 Il Problema di progetto in presenza di casualità (formulazione tramite criteri)

31 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31 Eventuali altri vincoli Il vincolo è ancora ben posto? E’ cioè tale che il Problema ammetta sempre soluzione? Invaso in corrispondenza del quale inizia l’esondazione.

32 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32 Se, ad esempio, il disturbo ha distribuzione gaussiana esiste sempre la probabilità che l’invaso del serbatoio sia superiore a qualsiasi s * prefissato il problema di controllo non ammette soluzioni s*s* Distribuzioni illimitate Vincolo mal posto   s 

33 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 33 Trasformare il vincolo in “vincolo in probabilità” Aggiungendo eventualmente un nuovo obiettivo Problema di “affidabilità del sistema”. Pr ( s t 

34 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 34 Trasformare il vincolo in un obiettivo

35 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 35 Distribuzioni limitate Se il disturbo è incerto con insieme di appartenenza  t superiormente limitato Infatti non è a priori detto che tale vincolo comporti la mancanza di soluzioni per il Problema. il vincolo s t < s * è ben posto

36 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 36 Vincoli deterministici imposti su variabili stocastiche Il vincolo può essere ben posto quando in entrambi i membri della disuguaglianza compaiono le medesime variabili stocastiche. Es: Il vincolo è soddisfatto per costruzione. utut Vv stst r t+1 R R t (s t,u t,  t+1 ) V(s t,  t+1 )

37 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 37 Perché i disturbi devono essere bianchi?  t sono indipendenti: processo bianco distribuzione di probabilità congiunta La distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle distribuzioni marginali. Consideriamo il caso senza penale e senza disturbi deterministici per semplificare la notazione. La generalizzazione è facile.

38 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 38 Perché i disturbi devono essere bianchi?  t sono indipendenti: processo bianco La distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.

39 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 39 i è separabile Perché indicatori separabili?

40 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 40 i è separabile Perché indicatori separabili? Le  successive a t+1 non influenzano g t

41 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 41 i è separabile Perché indicatori separabili?  t :distribuzione di probabilità dello stato

42 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 42 i è separabile Perché indicatori separabili? Valore atteso rispetto a stato e controllo

43 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 43 Ricorda! caso discreto densità di probabilità caso continuo Il valore atteso è un operatore lineare. con

44 R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 44 Leggere MODSS Cap. 9