La probabilità condizionata

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1 La probabilità condizionata
Se dobbiamo calcolare la probabilità di un evento, A, avendo a disposizione informazioni su un evento “precedente”, B, è opportuno incorporare l’informazione nella definizione di P(A) A B

2 La probabilità condizionata
Definiamo la probabilità di A condizionata a B: L’evento B diventa il nuovo spazio campionario di riferimento

3 Esempi Lancio di due monete. Ω = {(T,T); (T,C);(C,T); (C,C) }
A={2° lancio è T}, B={1° lancio è T} P(A) = P(T,T) + P(C,T) = 1/2 P(B) = P(T,T) + P(T,C) = 1/2 P(A∩B) = P(T,T) = 1/4 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 1/2

4 Esempi Lancio di un dado. Ω = {1,2,3,4,5,6}
A={6}, B={2,4,6}, C={1,3,5}, D={1,3} P(A|B) = 1/3 P(A|C) = 0 P(D|C) = 2/3

5 Esempi In uno spazio campionario si ha P(A1) = 1/3 , P(A2)= ¼ e P(A1  A2) =1/6 Verificare che 1. P(A1| A2) = 2/3 2. P(A2| A1) = 1/2 3. P(Ā2 | A1) = 1/2 4. P(A2 | Ā1) = 1/8 5. P(Ā2 | Ā1) = 7/8

6 Esempi Sia  = [0;1] (l’int. 0,1), per un evento A ,
Se A=[0; 0,5], B=[0,3; 0,8], C=[0,7; 1]

7 Regola moltiplicativa e indipendenza
Si noti che dalla definizione: P (A  B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e viceversa P (A|B) =P(A) P(B|A) = P(B) Vale quindi la relazione P(A  B) = P(A) P(B) Il ricorso alla regola moltiplicativa spesso permette di calcolare più agevolmente la probabilità di intersezioni di eventi

8 Esempio Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono due in sequenza, senza riposizione . Determinare la probabilità che la prima estratta sia una carta di cuori (A1) e la seconda estratta sia una carta di fiori (A2) La probabilità cercata è P(A1∩ A2) P(A1) = 13/52, P(A2 |A1) = 13/51, P(A1∩ A2) = P(A2 |A1) P(A1) = 132/(52∙51)

9 Indipendenza Quando vale la relazione P(A  B) = P(A) P(B)
si dice che gli eventi A e B sono indipendenti. L’indipendenza permette di calcolare probabilità congiunte da probabilità di singoli eventi P( A  B  C) = P(A)P(B  C) = P(A)P(B)P(C) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)

10 Esempio Lancio di una moneta due volte: = {(T,T), (T,C), (C,T), (C,C)}
Definiamo: A = {1° lancio T} = {(T,T), (T,C)} B = {2° lancio T} = {(T,T), (C,T)} da cui A  B = {(T,T)} P(A  B) = 1/4 = (1/2)(1/2) = P(A) P(B)

11 Teorema di Bayes Sia A1, A2 , ... Ak una partizione di , cioè
A1 A2  ... Ak =  , Ai Aj = , i j Dato un qualsiasi evento B , A1 A2 B A4 A3

12 Teorema di Bayes Si noti che possiamo sempre scomporre Poiché

13 Esempio Uno studente deve sostenere un esame. Se studia passa con probabilità 99 %, ma se va alla festa da ballo la sera prima la sua probabilità di promozione si riduce al 50 %. Decide di andare alla festa se esce testa lanciando una moneta equa. Il giorno dopo egli supera l'esame. Qual è la probabilità che sia andato a ballare?

14 Si considerino gli eventi: E = passa l'esame, A = va alla festa, I dati a disposizione sono: P( E | Ā)= 0.99, P( E | A) = 0.50, P(A) = P(Ā)= 0.5 Da cui