Capitolo 13 Cammini minimi: Ordinamento topologico Algoritmi e Strutture Dati.

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1 Capitolo 13 Cammini minimi: Ordinamento topologico Algoritmi e Strutture Dati

2 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 2 Cammini minimi in grafi pesati Sia G=(V,E,w) un grafo orientato con pesi w reali sugli archi. Il costo di un cammino  = è dato da: Un cammino minimo tra una coppia di vertici x e y è un cammino avente costo minore o uguale a quello di ogni altro cammino tra gli stessi vertici. NOTA: Il cammino minimo non è necessariamente unico.

3 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 3 Algoritmica concreta: il navigatore satellitare Sono in auto a Roma in Piazza Dante 12, (punto A) e devo recarmi ad un appuntamento a L’Aquila, in Via Vetoio 1 (punto B). Non conosco la strada, ma dispongo di un moderno navigatore satellitare, il quale mi aiuterà ad arrivare a destinazione: 1.percorrendo la strada più breve possibile (funzione obiettivo 1), oppure 2.impiegando il minor tempo possibile (funzione obiettivo 2). Come calcola la soluzione? Semplice: rappresenta l’intera rete stradale italiana (centinaia di migliaia di strade!) come un grafo diretto G=(V,E), in cui i nodi sono le intersezioni fisiche tra le varie strade (milioni di nodi!), e gli archi sono le strade stesse, con i loro sensi di marcia. Il grafo viene quindi pesato rispetto alla mia funzione obiettivo, ovvero rispettivamente: 1.Lunghezza della strada  funzione peso w 1 ; 2.Tempo di percorrenza  funzione peso w 2. Infine, calcola (rapidamente!) il cammino minimo in G=(V,E,w 1 ) e in G=(V,E,w 2 ) tra A ed B.

4 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 4 Il percorso più breve

5 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 5 Proprietà dei cammini minimi Sottostruttura ottima: ogni sottocammino di un cammino minimo è anch’esso un cammino minimo Grafi con cicli negativi: se due vertici x e y appartengono a un ciclo di costo negativo, non esiste nessun cammino minimo finito tra di essi (né tra tutte le coppie di nodi che ammettono un cammino passante per tale ciclo) Se G non contiene cicli negativi, tra ogni coppia di vertici connessi in G (cioè uniti da almeno un cammino) esiste sempre un cammino minimo semplice, in cui cioè tutti i vertici sono distinti

6 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 6 Distanza fra vertici Ricorda: la distanza d xy tra due vertici x e y è il costo di un cammino minimo da x a y, o +∞ se i due vertici non sono connessi Disuguaglianza triangolare: per ogni x, y e z  V d xy ≤ d xz + d zy (l’uguaglianza sussiste quando esiste un cammino minimo da x a y che passa per z) Condizione di Bellman: per ogni arco (u,v) e per ogni vertice s, essendo d uv ≤ w(u,v), dalla disuguaglianza triangolare segue che: d sv ≤ d su + d uv ≤ d su + w(u,v)

7 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 7 Ricostruire cammini minimi dalle distanze Supponendo di disporre delle distanze tra tutte le coppie di nodi in un dato grafo, dalla condizione di Bellman è facile risalire al cammino minimo che congiunge due nodi; infatti, un arco (u,v) appartiene ad un cammino minimo da s a v se e solo se d su +w(u,v)=d sv, e quindi:

8 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 8 Tecnica del rilassamento Partendo da stime per eccesso delle distanze D xy ≥ d xy si aggiornano le stime, decrementandole progressivamente fino a renderle esatte. Aggiornamento delle stime basato sul seguente passo di rilassamento (  vy denota un qualche cammino tra v e y):

9 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 9 Algoritmo generico per il calcolo delle distanze rilassamento

10 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 10 Albero dei cammini minimi L’unione di tutti i cammini minimi da un vertice s a tutti i vertici da esso raggiungibili nel grafo G genera un sottografo di G, detto sottografo dei cammini minimi con sorgente in s Se da tale sottografo rimuoviamo archi in modo tale da ridurre ad 1 il grado entrante di tutti i nodi (escluso s che ha grado entrante pari a 0) otterremo un albero orientato con tutti gli archi orientati in direzione delle foglie, detto albero dei cammini minimi radicato in s

11 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 11 Esempio di albero dei cammini minimi s a c b d 11 0 4 5 1 11 5 6 2

12 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 12 Sommario dei risultati a venire Algoritmo basato su ordinamento topologico (albero dei cammini minimi in grafi aciclici) Algoritmo di Bellman e Ford (albero dei cammini minimi in grafi che non contengono cicli negativi) Algoritmo di Dijkstra (albero dei cammini minimi in grafi con pesi non negativi) Algoritmo di Floyd e Warshall (cammini minimi tra tutte le coppie di nodi in grafi che non contengono cicli negativi)

13 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 13 Algoritmo basato su ordinamento topologico (albero dei cammini minimi in grafi aciclici)

14 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 14 Ordinamento topologico Funzione biettiva  : V  {1, … n} tale che se esiste un cammino da u a v in G, allora  (u)<  (v). Teorema: Esiste se e solo se G è aciclico. Dim.: (solo se) Infatti, se G avesse un ciclo e ammettesse un ordinamento topologico , allora su tale ciclo esisterebbe un cammino da un nodo u a un nodo v ed un cammino da v ad u, cioè  (u)<  (v) e  (v)<  (u) (assurdo). Per il (se) si veda il prossimo algoritmo costruttivo:

15 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 15 Calcolo di un ordinamento topologico Tempo di esecuzione (con liste di adiacenza): Θ(n + m) (dimostrare!) (*) (*) perché altrimenti in Ĝ ogni vertice deve avere almeno un arco entrante, e quindi posso trovare un ciclo percorrendo archi entranti a ritroso, e quindi G non può essere aciclico)

16 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Esempio Applicare l’algoritmo di ordinamento topologico sul seguente grafo: Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 16

17 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 17 Cammini minimi in grafi aciclici Tempo di esecuzione (liste di adiacenza):  (n + m) Eseguo i rilassamenti in ordine topologico, da sinistra verso destra: infatti, poiché tutti gli archi sono orientati verso destra, le stime di distanza che mi lascio alle spalle sono esatte (non possono essere ulteriormente rilassate)!

18 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Esercizio Assegnare pesi arbitrari al grafo appena esaminato, e utilizzare l’ordinamento topologico trovato per costruire l’albero dei cammini minimi radicato in A. Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 18