University of Padova Information Engineering Dept. – Microelectronics Lab. Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione Elettronica Digitale - Lezione.

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1 University of Padova Information Engineering Dept. – Microelectronics Lab. Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione Elettronica Digitale - Lezione 3 - Andrea Gerosa - gerosa@dei.unipd.it Tel. 049-827-7728

2 Ottimizzazione circuitale  Obiettivo: implementazione più semplice  Procedura formale  Definizione di un criterio di costo: costo di letterali (L) costo di ingressi a porte logiche (gate) (G) costo di ingressi negati a porte logiche (GN)

3  Numero di letterali che compongono un’espressione logica  Esempi: F = BD + A C + A L=8 F = BD + A C + A + AB L=11 F = (A + B)(A + D)(B + C + )( + + D) L=10 D L D B C B B DC B C

4 G e GN  Numero di ingressi alle porte logiche di tutti i livelli (G – senza contare le inversioni, GN – contando le inversioni)  Nel caso di SOP e POS, si trova sommando: tutti i letterali (L) il numero di termini della somma o del prodotto, escludendo i termini a letterale singolo (G) e il numero di variabili negate (GN).

5  Esempio:  F = A + B C + Costo A B C F B C L = 5 G = L + 2 = 7 GN = G + 2 = 9

6  Esempio 2:  F = A B C +  L = 6 G = 8 GN = 11  F = (A + )( + C)( + B)  L = 6 G = 9 GN = 12 Costo B C A A B C F C B F A B C A

7 Mappe di Karnaugh (K-map)  K-map = insieme di caselle è una rappresentazione grafica di una funzione logica ogni casella rappresenta un mintermine caselle adiacenti differiscono per ila valore di una sola variabile individuiamo la soluzione minima raggruppando opportunamente le caselle  La K-map è una rielaborazione di una tebella di verità

8 K-map a 2 variabili y = 0 y = 1 x = 0 m 0 = m 1 = x = 1 m 2 = m 3 = yx yx yx yx

9 K-Map e tabella di verità K-Map (x,y) F(x,y) 0 a 0 1 b 1 0 c 1 d y = 0 y = 1 x = 0 a b x = 1 c d

10 Semplificazione  F(x,y) = x  I due “1” adiacenti possono essere combinati in un unico rettangolo, sfruttando il teorema di semplificazione: F = x y = 0 y = 1 x = 0 0 0 x = 1 1 1 xyxyx)y,x(F 

11 Semplificazione  G(x,y) = x + y G = x+y y = 0 y = 1 x = 0 0 1 x = 1 1 1  yxyxxyyxyx)y,x(G 

12 K-Map a tre variabili yz=00 yz=01 yz=11 yz=10 x=0 m0m0 m1m1 m3m3 m2m2 x=1 m4m4 m5m5 m7m7 m6m6 yz=00 yz=01 yz=11 yz=10 x=0 x=1 zyx zyx zyxzyx zyx zyx zyx zyx

13 Rappresentazioni alternative y z x 1 0 2 4 3 5 6 7 x y z z y y z z 1 0 2 4 3 5 6 7 x 0 1 00011110 x

14 y x 1 0 2 4 3 5 6 7 1 11 1 z x y 1 0 2 4 3 5 6 7 11 1 1 z

15 Mappe a più variabili

16 Semplificare le funzioni con le Mappe AB C 00 011110 0 1 0 1 2 3 6 7 4 5 1 1 1 1 0 0 0 0

17 Come raggruppare le celle  Data la Mappa di K. di una funzione logica F a n variabili (quindi con 2 n celle),  è possibile raggruppare k mintermini (cioè celle a “1”): se in tale insieme esistono  =log 2 k variabili che assumo tutte le k possibili combinazioni binarie  Sono gruppi di celle adiacenti sulla Mappa  Il gruppo rappresenta un termine prodotto che dipende da n-  variabili è un implicante

18 y  zyyz  zyxzyxzyxzyx)z,y,x(F  x y 1 0 2 4 3 5 6 7 11 1 1 z

19 Definizioni  Implicante: data la funzione F(x 1,…,x n ), un termine prodotto P(x 1,…,x n ) è un implicante di F se: P(x 1,…,x n )=1  F(x 1,…,x n )=1 qualsiasi gruppo di celle sulla K-Map  Implicante primo: un implicante è primo se: tutti i termini prodotto ottenuti eliminando uno dei letterali dell’implicante, non sono più implicanti della funzione F gruppi di celle sulla K-Map che non possono essere contenuti in gruppi più grandi

20 Implicanti  I 4 mintermini sono implicanti  Esistono 4 implicanti a 2 variabili (2 celle)  Esiste 1 implicante primo a 1 variabile (4 celle) x y 1 0 2 4 3 5 6 7 11 1 1 z

21 Teorema dell’implicante primo  Def. Somma minima di una funzione F: è la realizzazione come SOP a costo minimo.  Teorema. I termini prodotto della somma minima sono tutti implicanti primi. Dim. x assurdo: sia P(x 1,…, x n ) un implicante non primo che compone la somma minima. esiste x k tale che P*=P(x 1,…x k-1,x k+1,…, x n ) è un implicante di F. sostituendo P con P* nella somma minima si ottiene una realizzazione di F a costo minore

22 Somma minima  È composta da soli implicanti primi non necessariamente tutti gli implicanti primi  Obiettivo: individuare sulla K-Map tutti gli implicanti primi gruppi di celle più grandi

23 Es. 2.2 AB CD 00 011110 00 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1

24 Es. 2.2

25 Es. 2.3 AB CD 00 011110 00 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  5 implicanti primi vanno inclusi tutti?  La somma completa (somma di tutti gli implicanti) sicuramente copre la funzione  ma non è necessariamente minima

26 Es. 2.3 AB CD 00 011110 00 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  3 implicanti sono sufficienti a coprire tutti i mintermini

27 Implicanti primi essenziali  Def. Data la Mappa di Karnaugh di una funzione F si definisce cella 1-distinta: un mintermine che è contenuto in un unico implicante primo  Def. Un implicante primo si definisce essenziale se: sulla Mappa di Karnaugh include almeno una cella 1-distinta  Gli implicanti primi essenziali devono essere inclusi nella somma minima.

28 Es. 2.4 AB CD 00 011110 00 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1  5 implicanti primi  Cerchiamo le celle 1-distinte

29 Mappa ridotta AB CD 00 011110 00 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1  Eliminiamo i mintermini già coperti e gli implicanti primi essenziali

30 Chapter 2 - Part 2 30 Terms of Use  All (or portions) of this material © 2008 by Pearson Education, Inc.  Permission is given to incorporate this material or adaptations thereof into classroom presentations and handouts to instructors in courses adopting the latest edition of Logic and Computer Design Fundamentals as the course textbook.  These materials or adaptations thereof are not to be sold or otherwise offered for consideration.  This Terms of Use slide or page is to be included within the original materials or any adaptations thereof.