Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione

Presentazione sul tema: "Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione"— Transcript della presentazione:

1 Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Elettronica Digitale - Lezione 2 - Andrea Gerosa - Tel

2 Logica binaria e Porte logiche
Variabili binarie Operatori logici Operatori logici fondamentali: sono le 3 funzioni logiche AND, OR e NOT. Porte logiche Algebra di Boole

3 Variabili binarie Valori Esempi di variabili: True/False On/Off Yes/No
1/0 Esempi di variabili: A, B, y, z, o X1 RESET, START_IT, o ADD1

4 Operatori Logici fondamentali
AND (·) OR (+) NOT ( ¯ ), (') o (~) AND 0 · 0 = 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 1 · 1 = 1 OR 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 NOT 1 =

5 Tabella di verità Elenco dei valori di uscita di una funzione logica per ogni possibile combinazione degli ingressi binari Funzione di N variabili binarie  2N righe 1 Z = X·Y Y X AND OR X Y Z = X+Y 1 1 X NOT Z =

6 Regole di precedenza Precedenza degli operatori fondamentali
in ordine decrescente: 1. Parentesi 2. NOT 3. AND 4. OR Esempio: F = A(B + C)(C + D)

7 Porte Logiche Rappresentazione simbolica del circuito che realizza una funzione logica:

8 Tempo o ritardo di propagazione
La commutazione dell’uscita di una porta non può essere istantanea. Il ritardo tra la commutazione dell’ingresso(i) e la commutazione dell’uscita è il tempo o ritardo di propagazione) tp: tp Input Output Time (ns) 1 0.5 1.5 tp = 0.3 ns

9 Circuiti logici Z Y X F + = Equazione logica Tabella di verità
1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X Y Z F = X + Y × Z X Y F Z Circuito logico Tabella di verità, equazione (o espressione) logica e circuito logico descrivono la stessa funzione logica. La tabella di verità è unica; l’equazione e il circuito no.

10 Algebra di Boole Definisce in modo rigoroso l’algebra con cui operare sulle variabili logiche Definita da George Boole (filosofo) nel 1854 Codificata in 6 postulati da Huntington nel 1904 Ristretta all’algebra commutativa da Shannon nel 1938 2 Approcci: definizione rigorosa a partire da postulati o definizione regole a partire dagli operatori

11 Algebra di Boole 1. 3. 5. 7. 9. X + 0 = + 1 X + X X = X 2. 4. 6. 8. X . 1 = . 0 X . X 10. 12. 14. 16. X + Y Y + X = (X + Y) Z + X + (Y Z) X(Y + XY XZ X . Y 11. 13. 15. 17. XY YX = (XY) Z X(Y Z) X + YZ (X + Y) (X + Z) X . Y X + Y Commutativa Associativa Distributiva De Morgan

12 Principio di Dualità Data una generica espressione booleana, si definisce espressione duale quella che si ottiene: Cambiando tutti gli operatori AND in OR e viceversa Cambiando tutti i valori “0” in “1” e viceversa Per il principio di dualità, se un’espressione è vera allora è vera anche la duale.

13 Principio di dualità

14 Teoremi dell’algebra di Boole
A + A·B = A (Assorbimento) A·(A+B)=A Dimostrazione A + A·B = A · 1 + A · B X = X · 1 = A · ( 1 + B) X · Y + X · Z = X ·(Y + Z) = A · X = 1 = A X · 1 = X

15 Teoremi dell’algebra di Boole
Combinazione o semplificazione Teorema del consenso Justification 1: X = X Justification 2: X + X’ = 1 = AB + A’C + ABC + A’BC X(Y + Z) = XY + XZ (Distributive Law) = AB + ABC + A’C + A’BC X + Y = Y + X (Commutative Law) = AB ABC + A’C A’C . B X . 1 = X, X . Y = Y . X (Commutative Law) = AB (1 + C) + A’C (1 + B) X(Y + Z) = XY +XZ (Distributive Law) = AB A’C . 1 = AB + A’C X . 1 = X

16 Teoremi dell’algebra di Boole

17 Semplificazione di un’espressione
Minimizzare il numero di letterali (variabili dirette o negate): = AB + ABCD + A C D + A C D + A B D = AB + AB(CD) + A C (D + D) + A B D = AB + A C + A B D = B(A + AD) +AC = B (A + D) + A C 5 letterali + D C B A

18 Forme canoniche Tra le possibili espressioni logiche di una data funzione, ne identifichiamo 2 particolari: Somma di mintermini – SOM (Sum of Minterms) Prodotto di maxtermini – POM (Product of Maxterms)

19 Mintermini - definizioni
Data una funzione logica a N variabili: Termine prodotto: qualsiasi prodotto tra letterali Mintermine: termine prodotto che contiene tutte le N variabili (dirette o negate). Per ogni funzione di N variabili, esistono 2N mintermini. Y X XY X Y

20 Maxtermini - definizioni
Data una funzione logica a N variabili: Termine somma: qualsiasi somma tra letterali Maxtermine: termine somma che contiene tutte le N variabili (dirette o negate). Per ogni funzione di N variabili, esistono 2N maxtermini. Y X +

21 Maxtermini e Mintermini
Indici L’indice i corrisponde alla riga della TdV a cui associamo mi e Mi i Mint., mi Maxt., Mi x y x + y 1 2 3

22 Mintermini e TdV Variabile = 0 Variabile =1 appare negata nel mint.
Appare diretta nel mint.

23 Mintermini e TdV Un solo mint. vale “1” per ogni riga
Una funzione logica può essere espressa come OR tra mintermini

24 Somma di Mintermini F1 = m1 + m4 + m7 F1 = x y z + x y z + x y z x y z
index m1 + m4 m7 = F1 0 0 0 = 0 0 0 1 1 = 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7

25 Maxtermini e TdV Variabile = 0 Variabile =1 appare diretta nel maxt.
Appare negata nel maxt.

26 Maxtermini e TdV Un solo maxt. vale “0” per ogni riga
Una funzione logica può essere espressa come AND tra maxtermini

27 Prodotto di Maxtermini
F1 = M0 · M2 · M3 · M5 · M6 ) z y z)·(x ·(x z) (x F 1 + = x )·( ·( x y z i M0  M2 M3 M5 M6 = F1 0 0 0 1 = 0 0 0 1 = 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7

28 Somma canonica Qualsiasi funzione logica può essere espressa come Somma di Mintermini. y x f + = y x ) ( f + = y x xy f + =

29 Abbreviazioni F = m1+m4+m5+m6+m7

30 Prodotto canonico y x ) z , ( f + = y x ) (x 1 )(x + = × z y x + = ×
Qualsiasi funzione logica può essere espressa come Prodotto di Maxtermini. y x ) z , ( f + = y x ) (x 1 )(x + = × ( ) z y x + = ×

31 Conversione tra forme canoniche
) 7 , 5 3 1 ( z y x F m S = ) 6 , 4 2 ( z y x F m S = ) 7 , 5 3 1 ( z y x F M P =

32 Altre forme standard Somma di prodotti (SOP) Prodotto di somme (POS) B
C A + C ) B (A B) +

33 Complessità circuitale
Per ogni funzione esiste un’implementazione SOP come somma di tutti i mintermini circuito logico 2 livelli tale che: il primo livello è formato da una schiera di porte AND a N ingressi il secondo livello consiste in una singola porta OR Spesso esistono altre forme SOP a cui corrispondono circuiti meno complessi

34 Esempio 5 AND a 3 ingressi + 1 OR a 5 ingressi
Può essere semplificata: F = A’ B’ C + A (B’ C’ + B C’ + B’ C + B C) = A’ B’ C + A (B’ + B) (C’ + C) = A’ B’ C + A.1.1 = A’ B’ C + A = B’C + A

35 Esempio

36 Problema di minimizzazione
Le forme canoniche e le altre realizzazioni a SOP o POS differiscono tra loro in termini di complessità L’algebra di Boole è uno strumento per semplificare le espressioni logiche Espressioni logiche più semplici corrispondono a implementazioni meno complesse Problemi Definire un criterio di complessità minima Esiste un’unica soluzione a minima complessità? Necessitiamo di un metodo per individuare la soluzione minima

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