Esempio di v.a.: Immagini radar

Presentazione sul tema: "Esempio di v.a.: Immagini radar"— Transcript della presentazione:

1 Esempio di v.a.: Immagini radar
Tema 2: Istogrammi, trasformazioni di v.a., e misura di indici statistici Esempio di v.a.: Immagini radar Immagine grezza (con disturbo aleatorio) Immagine filtrata Baltrum, isole Frisone

2 Concetto di Istogramma
K(xi) = Num. osservati che cadono nell’intervallo (bin) centrato in xi Istogramma ottenuto mediante N=1000 realizzazioni, { x[k]; k=1,2,..,N }, di una v.a. Gaussiana standard Normalizzazione: Nota sulla accuratezza della misura: deve essere soddisfatta la regola empirica “bin” dove

3 Istogramma di immagini radar
Istogramma non normalizzato Dettaglio immagine grezza v.a. ampiezza La mappa riporta il logaritmo delle ampiezze Istogramma normalizzato Istogramma normalizzato v.a. ampiezza Trasformaz. di v.a.: v.a. intensità ddp exp. negativa ddp di Rayleigh Nota: disturbi aleatori con ddp analoghe si trovano anche nei ponti radio

4 Calcolo di istogrammi Esercizio: Calcolare e visualizzare l’istogramma normalizzato utilizzando N=105 realizzazioni di una v.a. Gaussiana standard, e confrontarlo con la ddp ideale: Problema: fissato N, come scegliere Dx (ovvero il numero di bin)? Verificare il compromesso risoluzione/accuratezza [ Istruzioni utili: randn, function, size, hist, bar ]

5 Esempio di file.m: istog.m
% Calcolo istogramma normalizzato function [ddp,x0] = istog(NBIN,x) % IN: vettore dati, x; numero di bin, nbin; % OUT: istogramma normalizzato, ddp; % vettore valori di centro-bin, x0; % uscita su video di istogramma normalizzato Nx=size(x,2); % numero di dati [count,x0]= hist(x,NBIN); % esegue i conteggi Deltax=x0(2)-x0(1); % calcola larghezza bin ddp= count/Deltax/Nx; % normalizza bar(x0,ddp) % grafico

6 Esempio di risultati 500 bin 50 bin
% Compromesso accuratezza/risoluzione dell'istogramma x=randn(1,10000); figure [d,x0]=istog(10,x); figure [d,x0]=istog(50,x); figure [d,x0]=istog(500,x); 500 bin 50 bin 10 bin [ per confronto si è sovrapposta la ddp effettiva ]

7 Generazione di v.a. exp. negativa
Generazione di v.a. Y con d.d.p. fY(y) e funzione di distribuzione FY (y): con X v.a. uniforme su [0,1] Generare N=104 realizzazioni di una v.a. esponenziale negativa con parametro h=1 [ Istruzioni utili: rand, ... ] Calcolare e visualizzare l’istogramma normalizzato dei dati generati [ Istruzioni utili: hist, bar ]

8 Esempio di file.m: genespneg.m
% Generazione v.a. exp. negative con parametro eta=1 function X = genespneg(N) % IN: numero di v.a., N; % OUT: vettore di v.a. esponenziali negative (eta=1); unif=rand(1,N); % genera N v.a. uniformi tra 0 e 1 X=-log(1-unif); % trasformazione di v.a. per ottenere % le v.a. esponenziali negative (eta=1); % nota: si può usare anche la trasformazione % X=-log(unif) % generazione v.a. x= genespneg(20000); % istogramma normalizz. con 100 bin [d,x0]=istog(100,x);

9 Misura del valor medio e deviazione standard
Dati: { x[k]; k=1,2,..,N } - Valutare sperimentalmente il valor medio e la deviazione standard della v.a. esponenziale negativa generata, e di una v.a. uniforme nell’intervallo [-1,3] di cui si hanno N=1000 e N=10 realizzazioni generate al calcolatore [ Istruzioni utili: rand, mean, std ]

10 Esempio di file.m & risultati (1)
% Generazione delle v.a. esponenziali negative con eta=1 x=genespneg(20000); % calcola media e deviazione standard mean(x) std(x) % oppure std(x,1) ans = 1.0102 1.0034 Valori effettivi: media=1; dev_stand=1

11 Esempio di file.m & risultati (2)
% Generazione 1000 realizzazioni di v.a. uniforme tra –1 e 3 x=rand(1,1000)*4-1; % calcola media e deviazione standard mean(x) std(x) % oppure std(x,1) % calcolo con sole 10 realizzazioni mean(x(1:10)) std(x(1:10)) % oppure std(x(1:10),1) ans = ans = 1.1713 ans = ans = 0.8916 N=1000 N=10 Valori effettivi: media=1; dev_stand=1.1547

12 Skewness e Kurtosis Sono indici di non Gaussianità !
Definizione di Skewness e Kurtosis: dove è la varianza Sono indici di non Gaussianità !

13 Misura di Indici Statistici
Esercizio: Generare una sequenza di N=105 realizzazioni di una v.a. X, Gaussiana standard e di una v.a. Y, exp monolatera, avente varianza unitaria Misurare dai dati valor medio, varianza e skewness al variare del numero n di campioni utilizzati per la misura, e graficare il risultato per 1<n<N Osservazione: si noti il diverso comportamento al variare di n, in particolare si noti come all’aumentare dell’ordine del momento misurato il numero di dati necessario per ottenere una misura “accurata” aumenti …

14 Esempio di risultati (3)
Misure empiriche (stime) di valor medio, dev. standard, skewness e kurtosis al variare del numero n di campioni utilizzati per la misura: n=1,2, …, N

15 Esempio di risultati (4)

16 Esempio di file.m: skewkurt.m
% Misura della media, dev. standard, skewness e kurtosis di v.a. Gaussiane ed esponenziali clc clear N=10000; EN=exprnd(1,1,N); % genera N v.a. esponenziali negative (eta=1); GA=randn(1,N); % genera N v.a. Gaussiane standard; for indice=1:N/10, % per numero di campioni variabile a passi di ncamp=indice*10; etaEN(indice)=mean(EN(1:ncamp)); % valuta le medie etaGA(indice)=mean(GA(1:ncamp)); stdEN(indice)=std(EN(1:ncamp),1); % valuta le deviazioni standard stdGA(indice)=std(GA(1:ncamp),1); skeEN(indice)=skewness(EN(1:ncamp)); % valuta le skewness skeGA(indice)=skewness(GA(1:ncamp)); kurEN(indice)=kurtosis(EN(1:ncamp))-3; % valuta le kurtosis kurGA(indice)=kurtosis(GA(1:ncamp))-3; end a=10*[1:N/10]; % esegue i grafici figure semilogx(a,etaEN,'r',a,stdEN,'g',a,skeEN,'b',a,kurEN,'k') xlabel('num. campioni') title('v.a. esponenziale negativa (eta=1)') legend('media','dev. stand.','skew.','kurt.') figure semilogx(a,etaGA,'r',a,stdGA,'g',a,skeGA,'b',a,kurGA,'k') xlabel('num. campioni') title('v.a. Gaussiana standard') legend('media','dev. stand.','skew.','kurt.')