Def : uno stimatore è una statistica T n le cui determinazioni servono a fornire delle stime del parametro ignoto  della v.c. X in cui sono state effettuate.

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1 Def : uno stimatore è una statistica T n le cui determinazioni servono a fornire delle stime del parametro ignoto  della v.c. X in cui sono state effettuate le n prove. Def : una statistica è una qualunque funzione T = f ( X 1,…,X n ) della v.c. ( X 1,…,X n ) descritta dalla n-upla campionaria ( x 1,…,x n ) 7) GLI STIMATORI Es.: Sia E un evento di probabilità sconosciuta . Per stimare questa prob. vengono effettuate n=2 prove bernoulliane che forniscono i valori x 1 e x 2. Allora la v.c. (X 1 + X 2 ) è una statistica, mentre la v.c. : è uno stimatore in quanto si pensa che le sue determinazioni diano stime di 

2 7.1) Stimatore per la media In generale, se X è una v.c. con legge ignota, viene assunto come stimatore per la media  =E(X) della X, la v.c.: dove (X 1,…,X n ) è la v.c. descritta dalla n-upla (x 1,…,x n ).

3 Si assume in generale come stimatore per la varianza  2 = VAR(X) la v.c.: 7.2) Stimatore per la varianza

4 Vediamo ora quali sono le proprietà che un generico stimatore T n = f ( X 1,…,X n ) per un parametro incognito  della v.c. X deve possedere perché le sue stime siano affidabili. 1) CORRETTEZZA Si dice che lo stimatore T n = f ( X 1,…,X n ) è “corretto” o “non distorto” per il parametro  se la media di T n coincide con  qualunque sia il suo valore compreso nello spazio parametrico . Cioè: E( T n ) =     . 7.3) Proprietà

5 La stima fornita da uno stimatore corretto può dirsi “corretta in media”. Se non vale la relazione vista sopra allora lo stimatore è detto “distorto”, e la sua distorsione rispetto a  viene misurata dalla quantità: Se però al crescere di n il valore di  n tende a 0, allora T n viene detto stimatore “asintoticamente corretto”

6 Dimostriamo che lo stimatore proposto per la media è “corretto”: Poiché le marginali X 1,…,X n di ( X 1,…,X n ) sono identiche alla v.c. X, risulta: Per cui lo stimatore è corretto per la media 

7 Si può dimostrare invece che lo stimatore proposto per la varianza non è “corretto”. Lo stimatore corretto è il seguente: Siccome si può sempre scrivere: segue che: quindi lo stimatore è asintoticamente corretto per  2 in quanto: per n 

8 2) CONSISTENZA Questa proprietà indica la capacità di T n di fornire stime migliori per  al crescere della numerosità campionaria. Uno stimatore si dice “consistente” per  se: Se lo stimatore è corretto o asintoticamente corretto, un modo per verificarne la consistenza è quello di osservare il valore  2 n : Se per n  si verifica che  2 n  0 allora lo stimatore T n è detto “consistente”

9 3) EFFICIENZA Questa proprietà viene introdotta per poter scegliere tra più stimatori corretti e consistenti Esistono diversi criteri per effettuare la scelta; il più usato è quelle che si basa sul criterio della varianza: fra più stimatori corretti e consistenti per  viene preferito quello con la varianza minore (cioè il “più efficiente”). Se la v.c. è normale (cioè una v.c. simmetrica) (=> media   mediana x 0.5 ) si hanno a disposizione due stimatori idonei: lo stimatore Media campionaria e lo stimatore Mediana campionaria X 0.5. Per tali stimatori si ha:

10 Ora: qual è il “minimo” valore che può assumere la varianza di uno stimatore? Posto che la v.c. di partenza soddisfi ad opportune condizioni, il minimo soddisfa alla disuguaglianza di Fréchet-Rao-Cramér: dove I(  ) è chiamata “informazione di Fisher” ed ha la seguente struttura: cioè è la media del quadrato della derivata rispetto a  del logaritmo della legge che governa la v.c. di cui  è il parametro ignoto. È immediato osservare che tale minimo dipende esclusivamente dalla legge della v.c. in cui sono state effettuate le prove e dalla numerosità campionaria n ma non dalla natura dello stimatore.