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PubblicatoDavide Bonelli Modificato 9 anni fa
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Argomentare, congetturare, provare nelle situazioni non didattiche Il ruolo dei ragionamenti nell’apprendimento
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Plan 1. Introduzione: i paradossi l ’insegnamento del ragionamento (testo) 2. Situazioni per passare dalla retorica ai ragionamenti logici 3. Un esempio : l ’apprendimento del contro esempio 4. Situazione didattica, non didattica e a- didattica (ricordare il glossario)
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L’ingegnere delle situazioni Un gran numero di situazioni sono state inventate e sperimentate affinchè gli allievi apprendano le matematiche dalla pratica del dibattito sulla prova. Alcuni hanno per oggetto preciso di insegnare le regole complesse dell ’argomentazione. ex :« chi dirà 20 », « il centro del cerchio circonscritto ad un triangolo »...
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La ricerca del numero più grande Ecco un esempio introduttivo alla situazione di argomentazione e della prova.
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Che fanno i matematici? Un processo di tre situazioni per far comprendere a de ragazzi di 10 anni, il ruolo delle dimostrazioni e dei contro esempi : Il concorso del numero più grande Il gioco dei mercanti di metodi Il concorso dei teoremi
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Il concorso del numero più grande Il professore : « Scrivo 5 numeri naturali alla lavagna » « Utilizzando questi 5 nomeri una volta ed una sola, e con l’aiuto delle operazioni che voi conoscete (+, -, x, : ), e che voi sceglierete come voi vorrete, provate ad ottenere un numero il più grande possibile. E’ un concorso tra di voi. »
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Ecco i numeri : 3;8;7;5;4 «Per vincere bisogna : Aver detto quali operazioni bisogna fare per calcolarlo Aver effettuato il calcolo senza errori e che nessuno abbia trovato un numero più grande » (situazione d ’azione)
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Situazione d’azione Conoscen ze Soggetto o istituzion e che agisce Ambiente materiale, sociale etc. Azioni informazioni Figura 4 Situazione d’Azione
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Il gioco del mercante di metodi « L’igegnere che inventa un nuovo metodo, un materiale o un metodo di fabricazione ne fa una decsrizione precisa ed ottiene un brevetto. In seguito tutti quelli che vogliono utilizzare questo prodotto, questo materiale o questo metodo devono pagare dei diritti all’inventore»
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(Situazione di formulazione e di comunicazione) « Allora provate a dire prima quali operazioni bisogna fare per guadagnare il prossimo concorso del numero più grande. Dovete scegliere e descrivere un metodo. Mettetevi in gruppi di 4. Non saprete anbcora i numeri che io vi proporrò, bisognerà dunque disegnarli, con delle lettere forse ? »
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Ordinogramma e formule Esempio di proposizioni di allievi ((3 x 8) x (7 x 5)) x 4 3 8 7 5 4 x x 24 x 35 840 x 3360
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più tardi … Anne io ho sommato il più grande : 9 9 + 0 uguale 9 e 9 volte tre 27 Alexandra : Io faccio il metodo di Aline? Anne : Ma no, bisogna fare il mio poiché é quello là che si é trovato, allora tu fai il tuo.
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Situazione di comunicazione Repertori o Conoscen ze, linguaggi, etc. E Soggetto o istituzione Che emette Ambiente materiale sociale etc. Figura 5 Situazione di comunicazione R Soggetto o Instituzion e Che riceve Messaggi o Repertorio Conoscenz e, linguaggi, etc. Ambiente di R
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(Nuova sitazione d ’ azione) Prima di fare una nuova partita, –I gruppi di inventori verranno ad esporre i loro metodi, –I giocatori sceglieranno quello che vorranno utilizzare –Gli inevntori riceveranno un punto dalla scelta ma dopo al partita se il metodo ha perduto, l’inventore pagerà un compenso
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Provate con 3; 5; 2; 6; 7 « I compratori, mettono alla prova i metodi venduti dai venditori » Adesso una situazione che modellizza una attività matematica ; la situazione di prova e di validadazione sociale
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Il concorso dei teoremi Invece di guadagnare dei punti solamente giocando a fabricare dei metodi o ad utilizzarli potete guadagnare discutendoli: Se mostrate che un metodo in vendita non da sempre il numero più grande voi segnerete 10 punti
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Se l’inventore rifiuta di riconoscere il suo errore? –Potete obbligarlo a giocare con i numeri che voi gli proporrete, guadagnerete i punti che egli perde Segnerete dei punti... –Convincendo i vostri compagni che avete ragione –Mostrando che le dichiarazioni degli altri sono sbagliate
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(Situazione di prova e validazione sociale) Perederete dei punti se vi sbagluate e soprattutto se vi ostinate a sostenere un errore
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Alexandra: Se tu moltiplichi 0 per 5 avrai 0. Ma se tu fai 0 +5 avrai 5. Aline diceva che quando si ha dei numeri bisogna moltiplicarli tutti …
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Alex. E se si fa 1 volta 5 questo fa 5. Se tu fai 1+5, questo fa 6 Anne. E’ quello che avevo dello l’ultima volta Alex. Ecco ! Il metodo di Aline non funziona Eymeric Questo funziona con i numeri … Anne … Tutti i numeri salvo 0 e 1
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Primi teoremi Degli allievi propongono « Bisogna moltiplicare tutti i numeri » Discutono rapidamente e s’accordano sul fatto che l’ordine non ha importanza: « bisogna moltiplicare tutti i numeri non importa in quale ordine.»
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Lo zero truffa ! Allora il professore propone 3; 4; 7; 0; 2 ! Subito gli allievi cercano insiemi di numeri che contraddicono i metodi Cioè dei contro esempi
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1 anche ! 3; 4; 1; 7; 9 Come utilizzare l ’ 1? E in questo caso 1;3;7;1;2 ? ? … Ad ogni tappa di nuovi contro esempi … fino a 1; 1 ;1; 1 ;1
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Elsa: Se si somma l’1 alla fine, non é che una volta Anne (off) Questo sarà minore Elsa: Per esempio si moltiplica al più grande… heu... si addiziona al più grande, quando multiplica, é parecchie volte, é ripetuto Voix (off) Ma non !
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Anne (off) Se e si é quello che ho detto. Elsa : 8+1 questo fa 9, ma se io faccio dopo 9 volte 5, l’1 é ripetuto… é 5 volte dentro Se tu lo sommi alla fine, non é che una volta Anne (off): E’ quello che ho detto, anche se ha trovato 481 ed io ho trovato 540 !
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aritmetica Così nel corso di questa tappa gli allievi s’interrogano sulla commutatività, utilizzano implicitamente la distributività della moltiplicazione per spiegare il loro lavoro Bisogna aggiungere 1 ad uno dei terminidel prodotto o al prodotto stesso ? Ed a quale numero, al grande ? Al piccolo ?
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Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. A Soggetto o istituzione Proponente Ambiente materiale sociale etc. Figura 6 Situazione di prova, o di validazione sociale B Soggetto o Istituzione Opponent e Modello dell’ambien te Prove Teoremi Soggetto del dibattito Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc..
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Gli allievi domandano : esistono teoremi senza contro-esempio? In questa attività, gli allievi –si esercitano nell’arte del contro-esempio –utilizzano e formulano dei teoremi d ’aritmetica –«scoprono» le regole della dimostrazione come mezzo dell’argomentazione. –E si fanno un’idea soggettiva di « che cosa é l’attività matematica ? »
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1. Quali situazioni possono condurre all’uso non didattico della retorica equindi ai ragionamenti logici ?
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Situazione d ’azione A interagisce con l’ambiente M per ottenere un certo risultato Se non si ottiene E se si rende conto che gli manca un mezzo d ’azione o una informazione... A Soggetto o istituzione Proponente Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. Ambiente materiale sociale etc. informazione azion e
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Situazione di cooperazione … E che un altro B può agire per lui o aiutarlo Allora tenta d’influenzare B –con la coercizion o –con la retorica A Soggetto o istituzione Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. Ambiente materiale sociale etc.. informazione azion e B Soggetto o istituzione influenza
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Retorica Influenzare le decisioni di B Modificare il sistema delle decisioni di B (le sue ragioni d ’agire) con dei mezzi di cui non può essere cosciente: seduzione, autorità etc. Argomentazione Modificare il repertorio di B, ma convincerlo con degli argomenti contrllabili e accettati da lui. Rinunziare ad ogni altro mezzo
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Modificare il repertorio di B, ma convincere B con degli argomenti controllabili e accettati. Comunicare una « proposizione » che si riferisce all’ambiente M E ad un repertorio di « ragioni », o di A Soggetto o istituzione Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc Ambiente materiale sociale etc. B Soggetto o istituzione proposizione Modello dell’Ambie nte Conoscenze comuni
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Milieu de E Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc A Soggetto o istituzione Proponente Ambiente materiale sociale etc. Figura 6 Situazione di prova, o di validazione sociale A Soggetto o istituzione Opponent e Modello dell’ambien te Prove Teoremi Soggetti del dibattito Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc
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Questioni d ’ingegneria Gli scambi tra un proponente e un opponente devono seguire delle regole precise (ref. P. Lorenzen) Possono apprendere senza la pratica dei dibattiti (ref. Lakatos) ? I soli dibattiti a-didattici possono portare alla conoscenza di queste regole ?
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e di didattica Quali relazioni precise debbono avere con l’ambiente quando dibattono un teorema preciso? Ogni teorema esige un ambiente differente? Le matematiche sono fatte con gli stessi tipi di ragionamenti?
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I differenti componenti del ragionamento logico
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Oggetti di giustificazioni Le operazioni, il calculo dei termini –loro natura e loro buona forma –loro ordine o loro organizzazione Le dichairazioni, le asserzioni le dimostrazioni gli oggetti stessi (definizioni) loro notazione
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Giustificazioni e prove 1 Per rapporto all’ambiente proprio: –la pertinenza –l ’adeguazione per rapporto all’ambiente esteso –la novità –l ’utilità... per rapporto al soggetto –l ’adattazione (repertorio, ergonomia)
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Gustificazio e prove 2 Per rapporto alla teoria –la consistenza (non contraddizione) –l ’indipendenza, la costruibilità... –la falsificabilità… per rapporto allambiente circostante –l ’opportunità –l ’idoneità...
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Situazioni e métodi Congetture prove e contr-esempi Modelli e rappresentazioni teoremi e meta-teoremi
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Retorica didattica L ’insegnante A influenza i repertori dell’allievo B affincè egli possa agire convenientemente sull’ambiente M nel futuro. A Soggetto professore Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. Ambiente materiale sociale etc. saperi Azione futura B Soggetto allievo insegnamento
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I paradossi Apprendere il ragionamento senza ragionare? Insegnare quello che l’allievo deve pensare da se stesso ? Utilizzare una logica didattica differente da quella che si vuole insegnare ? Confondere il pensiero dell’allievo e la dimostrazione matematica ?
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3. Ricorda Situazioni a- didattiche
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Situation A1) Una situazione é (in didattica), un insieme di condizioni che conducono un soggetto umano a utilizzare una conoscenza precisa come mezzo per regolare questa situazione o d’ottenervi un certo risultato.
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Situation non didactique A2) Una situazione é detta “ non didattica ” (self content) se il soggetto é condotto a questa utilizzazione di conoscenza senza l’interveto d’un terzo, senza informazione esterna né correzioni e senza ingiunzioni di sorta. Per esempio una prova di controllo é in principio “ non didattica ”. (Snd)
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Situazione n.d. con uso didattico A3) Una situazione non didattica può essere utilizzata a dei fini didattici: per esempio per un controllo o nel quadro di un insegnamento per riproduzione o per ripetizione…
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Situazione d ’apprendimento n.d. B1) Alcune di queste situazioni permettono o conducono un soggetto umano a mettere in opera e/o di sviluppare questo mezzo di soluzione, anche se non lo conosceva prima. Queste sono delle situazioni d’apprendimento non didattiche.
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Situazioni didattiche B2) Une situazione é didattica quando uno dei patner della situazione prova a modificare le conoscenze degli altri con degli interventi specifici I professori provano a metterei loro allievi nella posizione di utilizzare ciò che loro insegnano nelle condizioni non didattiche.
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Tipi di situazioni C1) Le conoscenze si manifestano sotto tre forme principali (comportamenti, informazioni, argomenti). Ad ogni forma corresponde un tipo d’apprendimento spontaneo differente e una struttura specifica delle situazioni non didattiche che li provocano (azione, comunicazione, giustificazioni).
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Devoluzione, Instituzonalizzazione C2) I professori perparano e manipolano le situazioni nelle quali si trovano gli allievi, facendoli entrare (devoluzione) o uscire (instituzionalizzazione) dal dominio non- didattico in processi complessi de situazioni didattiche. Gli corrispondono delle modalità didattiche di tre forme di conoscenze presentate quì di seguito.
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De-didattificazione C3) Nel corso dell’educazione, tutte le situazioni sono spontaneamente considerate dai ragazzi e dagli adulti come didattiche. Bisogna fare uno sforzo particolare di devoluzione per privare la situazione lasciata all’allievo dei suoi presupposti didattici.
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Situazione a-didattica Una situazione resa provvisoriamente e parzialmente non didattica é detta a- didattica : l’allievo é cosciente che deve regire con le proprie sue forze e la sua rsponsabilità, benchè egli non sia sicuro di arrivarvi.
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