1 Lezione 2 Probabilità Riferimenti bibliografici: Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Magistrale in Matematica Facoltà di Scienze, Università di.

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1 1 Lezione 2 Probabilità Riferimenti bibliografici: Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Magistrale in Matematica Facoltà di Scienze, Università di Ferrara Levine D., Krehbiel T., Berenson (2006) : Statistica, Apogeo, Milano. Piccolo, D. (2001): Statistica, Il Mulino, Bologna.

2 2 Argomenti Caratteristiche degli esperimenti probabilistici Assiomatizzazione della probabilità e formalizzazione degli eventi Impostazione classica e frequentista I postulati del Calcolo delle Probabilità Probabilità condizionata ed indipendenza stocastica Teorema di Bayes Esemplificazioni del calcolo delle probabilità

3 3 I fenomeni di cui si occupa il Calcolo delle probabilità riguardano le scienze fisiche, naturali, umane e forniscono esiti così differenti tra loro che risulta impossibile fornirne una completa elencazione. Tutti questi fenomeni però possiedono elementi caratteristici in comune: l’incertezza del risultato, la ripetibilità dell’esperimento e l’equiprobabilità dei risultati. L’incertezza del risultato deriva dal fatto che nelle situazioni esaminate sono possibili più esiti: tali risultati sono elencabili (ad esempio le sei facce del dado,i possibili voti in trentesimi di un esame universitario,etc.) oppure possono essere concettualmente assimilati a tutti i numeri inclusi in un intervallo reale (ad esempio il tasso d’inflazione del 2008, la durata di funzionamento di una lampadina, etc.) Caratteristiche degli esperimenti probabilistici

4 4 La ripetibilità dell’esperimento rende lecito chiedersi se quell’esito si verificherà nuovamente in circostanze diverse o simili. In senso stretto un esperimento reale è sempre fisicamente irripetibile, di conseguenza si considerano gli esperimenti come se fossero stati ripetuti nelle medesime condizioni in rapporto a quegli elementi essenziali che interessano lo studioso, lo scienziato o il giocatore. L’equiprobabilità dei risultati assicura l’indifferenza rispetto al verificarsi di ciascuno degli esiti possibili, nel senso che non esistono motivi per attribuire maggiore fiducia al presentarsi di un risultato anziché di un altro. Caratteristiche degli esperimenti probabilistici

5 5 Al fine di fornire una costruzione assiomatica del calcolo delle probabilità è necessario individuare quelli che sono considerati i concetti primitivi e procedere ad una loro formalizzazione. I concetti primitivi sono: prova, evento e probabilità. Per prova si intende ogni esperimento soggetto ad incertezza, la quale, nei casi più complessi, può essere articolata in fasi successive che si definiscono sottoprove ciascuna delle quali deve essere ben definita in quanto prova. Assiomatizzazione della probabilità

6 6 Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova. Esso consiste nella descrizione precisa ed esauriente delle sue caratteristiche in rapporto alla natura e allo svolgimento della prova. Le prove di cui si interessa il Calcolo delle Probabilità sono quelle soggette ad incertezza, di conseguenza esiste sempre una pluralità di eventi come possibili risultati di una prova. Da questo punto di vista, ne consegue che una prova è ben definita se son ben definiti tutti gli eventi cui essa può dar luogo. Infine per probabilità si intende un numero associato al verificarsi di un evento: tale affermazione non definisce la probabilità ma circoscrive l’uso che ne faremo, evidenziando in che senso essa sia associata al risultato di una prova. Assiomatizzazione della probabilità

7 7 è lo spazio campione cioè l’insieme costituito da tutti i risultati di una prova. L’ interesse dello studioso è rivolto non al singolo evento ma ad un raggruppamento di eventi, in genere tale raggruppamento viene denominato come evento (E) mentre un evento singolo viene denominato evento elementare (e). Definiamo negazione dell’evento E quell’evento che si verifica quando non si verifica E e lo indichiamo con

8 8 Assiomatizzazione della probabilità è un evento che si verifica sempre, quindi lo spazio campione è l’evento certo mentre la sua negazione è l’evento impossibile. (Kolmogorov (1933)): Gli eventi formano un algebra di Boole completa. In generale un algebra è un insieme di enti, di operazioni e di regole per collegare gli elementi della stessa algebra, ne segue che l’algebra degli eventi sarà, quindi, una struttura formale per collegare gli eventi tra loro. In particolare una collezione di eventi è un algebra di Boole completa se è chiusa rispetto all’unione ed alla negazione di una quantità numerabile di eventi.

9 9 Assiomatizzazione della probabilità

10 10 Impostazione classica Vantaggio principale:

11 11 Impostazione classica Alcuni limiti:

12 12 Impostazione frequentista

13 13 I postulati del Calcolo delle Probabilità

14 14 Alcuni teoremi utili

15 15 Alcuni teoremi utili

16 16 Alcuni teoremi utili

17 17 Alcuni teoremi utili

18 18

19 19 Probabilità condizionata

20 20 Indipendenza probabilistica (o indipendenza stocastica)

21 21

22 22

23 23 La misura di probabilità per partizioni discrete

24 24 La misura di probabilità per partizioni continue

25 25 Il teorema di Bayes

26 26 Il teorema di Bayes In quanto il denominatore del teorema di Bayes (cioè la probabilità di E) non varia con i=1,2,...,m quindi funge da costante di normalizzazione.

27 27 Esempio 1

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29 29

30 30 Esempio 2 Il responsabile marketing di una società che produce giocattoli sta analizzando le chance sul mercato di un nuovo gioco. Nel passato della compagnia solo il 40% dei nuovi giocattoli ha avuto successo di mercato, mentre il restante 60% non ha ottenuto un riscontro positivo. L’80% dei giocattoli di successo avevano ricevuto un previo giudizio positivo da parte degli esperti di marketing della società, contro il solo 30% dei giocattoli poi rivelati fallimentari sul mercato. Qual è la probabilità che il nuovo giocattolo sarà premiato dal mercato, sapendo che gli esperti di marketing della società lo hanno valutato positivamente?

31 31 F = “giudizio positivo del marketing”; F’= “giudizio negativo del di marketing” Applicazione del teorema di Bayes

32 32 1.Individuare correttamente la prova e tutti gli eventi elementari di cui si compone, distinguendo tra prove semplici e prove composte. 2.Assegnare le probabilità agli eventi elementari seguendo le formalizzazioni proposte: i) per partizioni finite di eventi ii) per partizioni numerabili di eventi iii) partizioni non numerabili di eventi. 3.Controllare che le assegnazioni rispettino i postulati. 4.Esplicitare l’evento E di cui si desidera calcolare la probabilità mediante l’unione, l’intersezione, la negazione degli eventi elementari di cui si compone in numero finito o numerabile. 5.Possono quindi verificarsi solo tre casi: 1.Evento E costituito dall’unione di eventi elementari 2.Evento E costituito dall’intersezione di eventi elementari 3.Evento E costituito dalla negazione di eventi elementari Alcune esemplificazioni del calcolo delle probabilità 6.Qualora l’evento E derivi da più sottoprove occorre verificarne l’indipendenza 7.Controllare la coerenza dei risultati, ad esempio calcolando in modo indipendente la probabilità di altri eventi

33 33 Riferimenti bibliografici principali Piccolo, D. (2000): Statistica, Il Mulino, Bologna. Kolmogorov, A.N. (1933): Foundations of the Theory of Probability, New York, Chelsea Publishing Co. Seconda edizione inglese 1956. Levine D., Krehbiel T., Berenson (2006) : Statistica, Apogeo, Milano.