REGRESSIONE LINEARE Relazione tra una o più variabili risposta e una o più variabili esplicative, al fine di costruire una regola decisionale che permetta.

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1 REGRESSIONE LINEARE Relazione tra una o più variabili risposta e una o più variabili esplicative, al fine di costruire una regola decisionale che permetta di prevedere i valori della variabile risposta, dati i valori delle variabili esplicative

2 Indipendenza in Generale(1)
In matematica si dice che la variabile y non dipende dalla variabile x quando essa rimane costante al variare dei valori assunti da x. Nel caso contrario si dice che la y dipende ed è funzione di x. …

3 Indipendenza in Generale (2)
Partendo da questa definizione, è immediato stabilire se c’è INDIPENDENZA tra due V.S. espresse da una serie di coppie di valori. Nel caso di TABELLE A DOPPIA ENTRATA, perché ci sia indipendenza si deve verificare: Per tutte le caselle della tabella. L’INDIPENDENZA E’ RECIPROCA

4 Indipendenza in media (1)
La moderna metodologia ha grandemente valorizzato la sostituzione delle distribuzioni parziali con i corrispondenti valori medi. Quando ricorrono le condizioni, si sarebbe indotti a ritenere che la relazione tra x e y farebbe corrispondere ad x il valore medio delle dato da …

5 Indipendenza in media (2)
…quindi se si ha INDIPENDENZA IN MEDIA DI Y DA X. Così anche considerando le distribuzioni parziali di x dati da si ha INDIPENDENZA IN MEDIA di X da Y. se

6 Analisi della Dipendenza (1) (regressione lineare semplice)
Nel caso in cui tra i due caratteri esiste una relazione unidirezionale nel senso che X indica il CARATTERE ANTECEDENTE o INDIPENDENTE e Y il CARATTERE CONSEGUENTE o DIPENDENTE si parla di DIPENDENZA DEL CARATTERE Y DAL CARATTERE X.

7 Analisi della Dipendenza (2) (regressione lineare semplice)
Analisi della Dipendenza (2) (regressione lineare semplice) yi = a + bxi + εi dove: a è l’intercetta b è il coefficiente di regressione εi è l’errore relativo all’osservazione i-esima

8 Regressione lineare semplice (1)
Il calcolo dei parametri della RETTA DI REGRESSIONE si effettua con il metodo dei MINIMI QUADRATI; in altre parole si sceglie la retta per la quale la somma dei quadrati degli scostamenti tra i valori teorici e quelli osservati del carattere y sia minima: ossia: …

9 Regressione lineare semplice (2)
risolvendo abbiamo: dove σY e σx indicano gli scarti quadratici medi delle variabili X e Y e r(X,Y) indica il coefficiente di correlazione lineare LA STIMA DELLA RETTA DI REGRESSIONE E’ UN POTENTE STRUMENTO PREVISIVO

10 Regressione (3) Proprietà dei residui della retta di regressione …

11 Indice di Determinazione
DEVIANZA TOTALE DEVIANZA DI REGRESSIONE DEVIANZA RESIDUA = INDICE DI DETERMINAZIONE, esprime QUANTA PARTE DELLA DEVIANZA TOTALE DI Y E’ DETERMINATA DALLA RETTA DI REGRESSIONE

12 REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 1

13 REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 2
Il piano interpolante è Per determinare il piano interpolante si tratta pertanto di stimare il vettore di parametri b sulla base dei dati a disposizione. Utilizzando il criterio di ottimalità dei minimi quadrati i parametri b si otterrano minimizzando il quadrato della distanza euclidea: