Come ti sei comportato? Equivalenze comportamentali e loro applicazioni Daniele Gorla Roma, 21 Settembre 2009.

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1 Come ti sei comportato? Equivalenze comportamentali e loro applicazioni Daniele Gorla Roma, 21 Settembre 2009

2 Sommario  Linguaggi di programmazione ed equivalenze comportamentali  Dinamica e comportamento di canali di comunicazione con energia consumabile

3  Sintassi (termini leciti)  Semantica (significato)  Operazionale (dinamica, implementazione) Astrazione  Comportamentale (osservatore)  Denotazionale  Assiomatica ………… Linguaggi di programmazione

4 Equivalenze comportamentali  |[ - ]| associa a ogni programma il suo comportamento  P ~ P’ sse |[ P ]| = |[ P’ ]|  Esempi:  Macchine di Turing: |[ P ]| è il linguaggio accettato da P  Ling. Funzionali: |[ P ]| è la funzione che calcola P  Ling. Non-deterministici: |[ P ]| è l’insieme delle sequenze di azioni osservabili (tracce) che P produce  Ling. Imperativi: |[ P ]| μ è lo stato di memoria che P produce partendo dallo stato di memoria iniziale μ

5 Applicazioni  Correttezza di programmi Spec ~ Impl  Ottimizzazione del codice Input ~ Output, ma Output è più efficiente  Proprietà di sicurezza  Riservatezza:  s,s’. P(s) ~ P(s’)  Integrità  Autenticità  Correttezza di codifiche E : Ling 1 → Ling 2 tale che P ~ 1 P’ sse E (P) ~ 2 E (P’)

6 Note dolenti  In generale, ~ è indecidibile  Equivalenza per linguaggi di MT  Equivalenza Morris-style per λ-termini …………  Per alcune equivalenze e con opportune restrizioni sui programmi leciti, si passa al decidibile  Equivalenza per linguaggi di automi finiti  Equivalenza Morris-style per λ-calcolo tipato semplice  Equivalenza a tracce per processi non-deterministici a stati finiti  Di solito, la complessità computazionale non è polinomiale (NPC, EXP, P-Space-C, …)  Tecniche di prova corrette (ma non complete) polinomiali

7 Dinamica e comportamento di canali di comunicazione con energia consumabile assieme a Pietro Cenciarelli e Ivano Salvo

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14 4 2 23 4 4 35 4 6 7 9

15 21 44 2 7 3 9 6 44 35 2

16 24 2 7 3 9 6 1 44 35 2 3

17 2 1 22 4 3 35 4 6 7 9 1 8 5

18 2 1 21 4 3 35 4 5 7 8 0 1 2

19 2 0 11 4 2 35 4 5 7 86 4 0 0

20 2 0 01 4 0 35 4 5 7 6 3 4

21 target Canale (  ) 2 0 01 3 0 35 4 4 7 6 source

22 Cammini ( P ) 2

23  : P  N Flusso (  ) che rispetta le energie di ogni vertice 4 1 23 4 7 35 4 6 7 9 Il valore di  è    =  p  P  (p)

24 Esempio di Flusso  ( )= 2  ( )= 1 4 1 23 4 7 35 4 6 7 9    = 3

25  ( )= 2  ( )= 1 4 0 00 4 2 34 4 2 7 5 4 1 23 4 7 35 4 6 7 9 Transizioni    = 3

26 Tracce 5 2 3 2 1... Una traccia di un canale  è una sequenza  n 1, n 2...  t.c.       n 1 n 2...

27 Tracce 5 2 3 2 1... Una traccia di un canale  è una sequenza  n1, n2...  t.c.       n 1 n 2...  (  ) è l’insieme delle computazioni di   ( ) =  2, 1 ,  2, 1, 2 ,  1, 1, 1, 1 ,  5 ,... 

28 5 4 2 5  Teor:    sse max(  ) = max(  )  ?! 4 2 5 Equivalenza (  )    sse  (  ) =  (  ) ( facile )

29 4 2 5 4 2 5 Equivalenza (  )

30 4 2 5 4 2 5 2 2 4 0 0 1  4 

31 4 2 5 4 2 5 Equivalenza ( ? ) 5 tr(  ) è l’insieme delle tracce complete Una traccia (completa) di un canale  è una sequenza  n 1,..., n k  t.c.  ...  n 1 n k 

32 4 2 5 4 2 5 Equivalenza (  tr ) 5   tr  sse tr(  ) = tr(  ) Una traccia (completa) di un canale  è una sequenza  n1,..., nk  t.c.  ...  n 1 n k  tr(  ) è l’insieme delle tracce complete  tr ≁ tr

33 4 2 5 4 2 5 Equivalenza (  tr ) 5 Teor:   tr  sse max(  ) = max(  ) e mif (  ) = mif (  )  tr ≁ tr ( difficile ) mif (  ) è il valore del minimum inhibiting flow di  mif = 5mif = 4mif = 5

34 Complessità (  tr ) max(  ) mif (  ) è polinomiale ? ridurre MinMaxMatching in un grafo bipartito di grado al più 3 a MIF NPC

35 Altre possibili equivalenze? 1 2 1 1 1 1 3  tr mif = 2 max = 3 mif = 2 max = 3

36 Altre possibili equivalenze? 1 2 1 1 1 1 3  tr mif = 2 max = 3 mif = 2 max = 3

37 Altre possibili equivalenze? 1 2 1 1 1 1 3 0 1 1 2  1  2

38 Altre possibili equivalenze? 1 2 1 1 1 1 3 ≉    tr (bisimulazione)

39 Sviluppi futuri Studio della bisimulazione caratterizzazione complessità Modello più sofisticato (fallimenti, strategie di routing, …) Problemi di ottimizzazione (es: caratterizzazione di reti che soffrono del paradosso di Braess)