Rappresentazione dell’Informazione

Rappresentazione dell’Informazione
Corso di Laurea in Ingegneria Civile Prof. Dario Bianchi Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

In un calcolatore vogliamo rappresentare vari tipi di informazioni: Numeri reali Numeri interi Testi Grafici Disegni Fotografie Filmati Suoni Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’informazione può essere rappresentata in due forme: – Analogica – Digitale Nella forma analogica una grandezza è rappresentata in modo continuo. Nella forma digitale una grandezza è rappresentata in modo discreto. La gran parte delle grandezze fisiche sono di tipo continuo (ad esempio unsegnale acustico). Tuttavia alcuni tipi di informazioni “artificiali” sono di tipo discreto (ad esempio un testo scritto). Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Per elaborare delle grandezze di tipo continuo con un calcolatore, bisogna utilizzare una sua rappresentazione digitale. La rappresentazione digitale é una approssimazione della rappresentazione analogica. L’errore di approssimazione dipende dalla precisione della rappresentazione digitale. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Internamente ad un elaboratore ogni informazione è rappresentata da una sequenza di bit (cifre binarie) Una sequenza di bit non dice puo ` rappresentare entita` diverse: Ad esempio la sequenza di cifre binarie: puo’ rappresentare: – l’intero 65 – il carattere A – il valore di un segnale musicale – il codice del colore di un punto sullo schermo Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

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Codici Un codice é un sistema di simboli atto a rappresentare una informazione di qualsiasi genere (caratteri, numeri, etc.). Ogni simbolo é messo in corrispondenza biunivoca con una entitá che si vuole rappresentare. Un codice binario usa come simboli le cifre binarie “0” e “1”. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sistemi Numerici Un numero N puó essere rappresentato come una sequenza di cifre: N=dn-1dn d1d0 • d-1d-2 d-m corrispondente a: N=dn-1•rn-1+dn-2•rn d0•ro + d-1•r d-m•r-m dove: d = cifra r = base n = numero cifre parte intera m = numero cifre parte decimale Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sistemi Numerici Sistema Decimale R=10, d=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 N=dn-1•10n-1+dn-2•10n-2+ +d0+ d-1•10-1+d-m•10-m Esempio: 123.45=1•102+2•101+3•100 +4•10-1+5•10-2 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sistemi Numerici Sistema Binario R=2, d=0,1 N=dn-1•2n-1+dn-2•2n-2+ +d0•20+ d-1•2-1+d-m•2-m Esempio: = 1•22+0•21+1•20 +0•2-1+1•2-2 = La cifra binaria é detta “bit” (binary digit – pezzo, pezzetto: cioé l’unitá più piccola di informazione). E’ il sistema usato nei calcolatori. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sistemi Numerici Sistema Ottale R=8, d=0,1,2,3,4,5,6,7 N=dn-1•8n-1+dn-2•8n-2+ +d0•80+ d-1•8-1+d-m•8-m Esempio: 1278 = 1•82+2•81+7•80 = 8710 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sistemi Numerici Sistema Esadecimale (Base 16,indicato anche con H) R=16, d=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F N=dn-1•16n-1+dn-2•16n-2+ +d0•160+ d-1•18-1+d-m•16-m Esempio: A1H = A116 = 10•161+1•100 = 16110 Per avere 16 simboli distinti bisogna aggiungere: AH=10 CH=12 EH=14 BH=11 DH=13 FH=15 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Conversione dalla base 10 ad una base qualsiasi: parte intera
Conversioni di Base Conversione dalla base 10 ad una base qualsiasi: parte intera N=d0•r0+d1•r1+d2•r2+ +dn-1•rn-1 N=d0+r(d1+r(d2(… +dn-1))) Quindi dividendo N per la base r si ottiene come quoziente d1+r(d2(… +dn-1)) e come (resto d0 la cifra meno significativa). Dividendo ancora il quoziente per la base si ottiene la cifra di peso 1 e così via fino ad avere un quoziente 0 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte intera
Conversioni di Base Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte intera 11510 = 115 1 2 57 1 2 28 0 2 14 0 2 2 7 1 d0 2 3 1 d1 2 d2 1 d3 d4 d5 d6 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Conversione dalla base 10 alla base 2:
Conversioni di Base Conversione dalla base 10 alla base 2: parte frazionaria N=d-1•2-1+d-2• d-m•2-m Se moltiplichiamo N per la base 2 otteniamo per la parte intera d-1. Moltiplicando ancora per 2 la parte frazionaria otteniamo come parte intera d-2 etc. Il risultato termina quando il risultato della moltiplicazione e’ esattamente 1 o quando si é raggiunta la precisione voluta (una rappresentazione puo’ essere finita in una base e infinita in un’altra). Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte frazionaria
Conversioni di Base Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte frazionaria × 2 × 2 = d-1 0.500 × 2 d-2 1.000 × 2 d-3 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Conversioni di Base Esempio di conversione dalla base 10 alla base 2: parte intera e frazionaria Per convertire un numero che ha parte intera e parte frazionaria si effettuano le conversioni separatamente. Esempio: = = = Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Conversione fra le basi 8 o 16 e la base 2:
Conversioni di Base Conversione fra le basi 8 o 16 e la base 2: Le notazioni in base 8 e 16 possono essere pensate come delle abbrevviazioni della notazione in base 2. Ogni cifra ottale corrisponde a 3 cifre binarie: = 5618 Ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie: = ( = 17116) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operazioni sui numeri binari
Come per I numeri decimali ma con le seguentui tabelle: Somma: Prodotto: + 1 10 × 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Somma: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 con riporto 1 (210) 1+1+1=1 con riporto 1 (310) + 1 10 111 riporto 10110+ 11101 110011 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sottrazione: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 con un prestito dal bit piu’ a sinistra. + 1 10 riporto 1110- 0101 110011 riporto 1100 1001 0011 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Prodotto: 1011 1101 1011+ 0000- 01011+ 1011-- × 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Divisione: 101 011 11 100 00 × 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione degli interi positivi
Quante cifre sono necessarie per rappresentare in numero X in base 2 ? Se usiamo k bit abbiamo 2k configurazioni possibili. Possiamo quindi rappresentare i numeri compresi fra 0 e 2k-1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Tutti I numeri x con 2k < x ≤ 2k - 1 richiedono k bit per essere rappresentati Anche 2k-1 < x + 1 ≤ 2k K-1 < ≤ k Quindi per rappresentare il numero x occorrono k bit con k= |¯log2(x+1) ¯| Cioé l’intero immediatamente superiore a log2(x+1) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Il risultato vale anche per una generica base r k= |¯logr(x+1) ¯| Se B e’ il numero di cifre binarie che serve a rappresentare il numero x e D é il numero di cifre necessarie sempre per rappresentare x B/D=|¯log2(x+1) ¯| / |¯log10(x+1) ¯| = |¯log10(x+1) / log10(2) ¯| /( |¯log10(x+1) ¯| ~3.3 Occorrono all’incirca 10 cifre binarie per rappresentare 3 cifre decimali. Si usano queste abbrevviazioni: Kilo = 210 = 1024 ~ 1000 Mega = 220 = ~ Giga = 230 = ……… ~ Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione dei numeri nei calcolatori
La rappresentazione naturale dei numeri interi é quella binaria. La memoria é organizzata in celle (“parole”) con un numero fisso di bit (ad esempio 8). Corrisponde a 1 • • • 8 +1 Usando 8 cifre binaerie (bit) possiamo rapprtesentare I numeri compresi fra 0 e 28-1 = 255 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione dei numeri nei calcolatori
L’uso un numero finito di cifre porta ad una aritmetica modulare. Pensiamo a degli incrementiunitari. (0) (1) (2) ……….. (255) (1) (256 -> 0) Quando si raggiunge il numero 255 (tutti 1) non potendo rappresentare il 256 che richiederebbe 9 bit si torna allo 0. Si ha quindi una aritmetica modulo 256. In generale se si usano parole di k bit si ha una aritmetica modulo k. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione degli interi relativi
Disponendo di k bit si possono avere 2k configurazioni diverse. Metá devono essre usate per I numeri positivi, l’ altra metá per quelli negativi. Ci sono due possibili rappresentazioni: in modulo e segno in complemento a 2 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione degli interi relativi in modulo e segno
Il bit più significativo viene usato per rappresentare il il segno: 0 per i numeri positivi 1 per quelli negativi Le cifre restanti rappresentano il modulo +510 -> -1010-> Lo zero ha due rappresentazioni: (+0) e (-0) modulo segno Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione degli interi relativi in modulo e segno
Algoritmo di somma: Confrontare I bit di segno dei due numeri Se sono uguali: Somma i moduli Assegna come bit di segno del risultato il bit di segno degli operandi Altrimenti: Confronta i valori assoluti dei due numeri Assegna come bit di segno del risultato quello dell’operando con modulo maggiore Sottari i moduli nell’ordine giusto Macchinoso!! (Analoga la sottrazione). Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Complemento Complemento alla base: Dato un numero x di base r e di k cifre é definito come rk - x Complemento alla base -1: rk -1- x Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Complemento Complemento a 2: 2k – x Es: x= k=8 = Complemento a 1: 2k -1- x Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Complemento Complemento a 1: 2k -1- x Lo si ottirne semplicemete scambiando 0 con 1 e 1 con 0 Es: x= k=8 x complemento di x Complemento a 2: 2k – x Si fa il complemento ad 1 di x e gli si somma 1 x complemento a 1 1 = sommo 1 complemento a 2 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rappresentazione dei numeri negativi in complemento a 2
Supponiamo di avere una cella di k bit I numeri positivi vengono rappresentati dal loro modulo e hanno il bit piu’ significativo (segno) = 0 I numeri negativi vengono rappresentati facendo il complemento a due del corrispondente numero positivo. Hanno il bit piu’ significativo (segno) = 1 Si rappresentano come positivi i numeri da 0 a 2k-1-1 Si rappresentano come negativi i numero che vanno da -2k-1 a -1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Supponendo una cella di 8 bit (k=8, 2k=256) 2k-1-1 = 127 -2k-1 = -128 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Supponiamo di voler calcolare A-B con una cella di k bit. Possiamo calcolare A + (-B) dove –B e’ il complemento a 2 di B dato da 2K-B. Si ottiene A - B = A + (-B) = A + 2K - B in quanto il termine 2K non é rappresentabile in k bit. Per fare una sottrazione possiamo sommare il complemento a 2 del secondo operando Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Come possiamo interpretare un numero in complemento a due? Se il bit più significativo (segno) =0 allora il numero é positivo e le sue cifre ci danno il modulo Es: = + 51 ( ) Se il bit più significativo (segno) =1 allora il numero é negativo e per avere il modulo si deve fare il complemento a 3 Es: negativo complemento a 1 1 complemento a 2 = 77 ( ) il numero originale era -77 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Esempi (supponiamo k=5, possiamo rappresentare I numeri da -16 a + 15): 00100= +4 11100= -4 (sesto bit eliminato) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Esempi (supponiamo k=5, possiamo rappresentare I numeri da -16 a + 15): 01000= +8 OVERFLOW + 17 non e’ rappresentabile con 5 bit 10111= -9 (sesto bit eliminato) OVERFLOW -18 non e’ rappresentasbile Con 5 bit Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

OVERFLOW (Supero di capacitá) Si ha quando il risultato non é rappresentabile con il numero di bit disponibili. Si ha solo sommando due numeri entrambi positivi o entrambi negativi. In questo caso il segno del risultato risulta opposto a quello degli operandi. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operazioni di Shift (Scorrimento)
1 Shift a sinistra: moltiplica per 2 1 Shift a destra: divide per 2 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Numeri reali Rappresentazione in virgola fissa
Dobbiamo supporre di utilizzare n bit per la parte intera e m bit per la parte frazionaria: xxxxx.xxx Il numero Corrisponderebbe (usando le ultime tre cifre come parte frazionaria) a: 1•24 + 1•23 + 1• •2-3 = Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Numeri reali Rappresentazione in virgola fissa
La rappresentazione in virgola fissa limita fortemente l’intervallo numerico utilizzabile. Possiamo infatti rappresentare numeri da 2-3=0.125 a 25=31 Il numero di cifre significative dipende dal suo valore assoluto: = ha 8 cifre significative Anche = ha 8 cifre significative Ma nella rappresentazione in virgola fissa diventerebbe: =9.75 con notevole perdita di precisione. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Numeri reali Rappresentazione in virgola mobile (Floating point)
Notazione esponenziale pio’ essere scritto come 1.25 • 1011 Anche nella notazione binaria possiamo dire = • 24 = • 2-2 In questo caso la precisione del numero non dipende dal suo valore assoluto. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Numeri reali Rappresentazione in virgola mobile (Floating point)
Semplice precisione: 1 bit segno mantissa 1 bit segno esp[onente 23 bit modulo mantissa 7 bit modulo esponente La mantissa consente una precisione 23/3.3 cifre decimali. L’esponente puó variare da -127 a +127 ed il range di un numero floating point é fra e Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Precisione Interi “corti” 16 bit = 2 byte da ~ a ~ “lunghi” 32 bit =4 byte da ~ a ~ Floating point Semplice precisione 32 bit = 4 byte Doppia precisione bit = 8 byte Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operazioni sui numeri Floating Point
Moltiplicazione (divisione): Si moltipliclano (o si dividono) le mantisse Si sommano (o si sottraggono) gli esponenti Condizione di errore OVERFLOW: si ha un esponente (positivo) troppo grande (1.15•290•1.99•285) UNDERFLOW: si ha un esponente (negativo) troppo piccolo (1.15•2-90•1.99•2-85) Divisione per Zeri: operazione non ammessa. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operazioni sui numeri Floating Point
Addizione e sottrazione: Bisogna prima allineare I due operandi: Es: • • 10-2 = • • 10-2 Si puo’ avere una perdita di precisione nell’allineamento dei due numeri (si perdono le cifre meno significative del numero con esponente più piccolo). Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codici Codice: sistema di simboli che permette la rappresentazione dell’informazione Esempi:    Decodifica agevole vs codici compressi Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Definizioni SIMBOLO: entità di cui non si da qui una definizione formale STRINGA: sequenza finita di simboli giustapposti (lunghezza della stringa, stringa vuota) ALFABETO: insieme finito di simboli LINGUAGGIO: insieme di stringhe di simboli tratti da un alfabeto Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Esempi di alfabeti Alfabeto italiano: {A, B, C, D, …Z} Alfabeto greco: {α, β, γ, δ, ...ω} Alfabeto binario: {0, 1} Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Alfabeto usato dal calcolatore
Interruttore (aperto/chiuso) Foro su scheda (aperto/chiuso) Transistor (in conduzione/spento) Tensione (alta/bassa) Dominio di magnetizzazione (/) Riflettività di un’areola (alta/bassa) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Alfabeto usato dal calcolatore
Gli elaboratori utilizzano una logica e un’aritmetica binaria Ai due stati di un dispositivo vengono associati i due simboli 0 e 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codifica dei simboli E’ necessario determinare delle regole di corrispondenza, dette codifiche La codifica mette in corrispondenza (biunivoca) ogni simbolo appartenente all’alfabeto più ricco con una stringa di simboli appartenente all’alfabeto più ridotto. Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codifica Problema: codificare i simboli dell’alfabeto A utilizzando stringhe del linguaggio L, con A qualsiasi e L={ stringhe di N bit } Cardinalità C dell’alfabeto A: numero di elementi di A Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codifiche ridondanti Codifiche ridondanti Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Distanza di Hamming E’ definita come il minimo numero di bit di cui differiscono due parole qualsiasi del codice se N=M si ha che H=1 se c’è ridondanza, H1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Rilevazione e correzione di errori
La ridondanza può servire per rilevare o correggere errori nel codice Num di errori rilevati: R = H-1 Num di errori corretti: Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Esempio di codifica ridondante
Parità: si ottiene dal codice non ridondante aggiungendo un simbolo in modo che il numero di ‘1’ sia pari (parità pari) o dispari (parità dispari). Avendo H=2 può solo rilevare un errore Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codice BCD BCD: Binary Coded Decimal Simbolo: Codifica: Con Parita`: … Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codici autocorrettivi
Per avere la possibilita’ di correggere bisogna avere una distanza di Hamming H>=2 Esempio (Non realistico: in realta` la ridondanza puo’ essere piu’ bassa) Codici: 0  111 (H=3) {001,010,100} sono codici errati 0 {110,101,011} sono codici errati 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Codice ASCII American Standard Code for Information Interchange 7 bit quindi simboli diversi ASCII esteso (8bit) diverse estensioni in dipendenza dal paese oppure aggiunge la parità Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

ALGEBRA BOOLEANA Boole matematico inglese (XIX secolo) La sua algebra viene utilizzata solo dall’inizio del XX secolo (primi sistemi di calcolo) Si basa su due soli stati: acceso (ON) spento (OFF) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Variabili booleane Le variabili possono assumere solo due valori: 0 e 1 Si chiamano Variabili logiche o booleane Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Funzioni booleane Usando le variabili booleane, si possono costruire le funzioni booleane F(x,y,z) che possono assumere solo due stati: true false Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Tabella della verità Ogni funzione booleana è caratterizzata dalla propria tabella della verità x y z F Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Funzioni booleane Funzioni completamente specificate: se per tutte le combinazioni delle variabili il suo valore è determinato Esempio: uno studente può chiedere la tesi solo se ha superato tutti gli esami ed è regolarmente iscritto Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Funzioni booleane Funzioni non completamente specificate: se a una o più combinazioni delle sue variabili non corrisponde alcun valore della funzione Esempio: uno studente si laurea solo se ha superato tutti gli esami e ha svolto la tesi Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Costanti booleane Oltre alle variabili vi sono anche le costanti Essendo l’Algebra Booleana definita su due soli simboli, esistono solo due costanti: 1 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operatori logici Tra le variabili e le costanti possono intervenire delle relazioni Le relazioni si esprimono utilizzando gli operatori logici Definiti insieme agli operatori logici, i postulati definiscono il loro comportamento Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Tipi di operatori Esistono due tipi di operatori, in dipendenza dal numero di variabili che utilizzano: monadici diadici Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’operatore NOT Il risultato è il complemento dell’unica variabile x NOT x Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’operatore AND Il risultato è vero solo se sono vere entrambe le variabili a b a AND b Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’operatore OR Il risultato è vero solo se è vera almeno una delle variabili a b a OR b Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’operatore XOR Il risultato è vero solo se è vera solo una delle due variabili a b a XOR b Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operatori - nomenclatura
NOT: inversione ( ¯ ) AND: prodotto logico ( · ) OR: somma logica ( + ) XOR: or esclusivo (  ) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Operatori universali Con gli operatori NOT, OR, AND, XOR si possono costruire tutte le funzioni booleane Esistono due operatori (NAND, NOR) che permettono la sintesi di qualsiasi funzione, utilizzando un unico tipo di operatori Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’operatore NAND Il risultato è vero solo se è falso l’AND tra le due variabili a b a NAND b Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

L’operatore NOR Il risultato è vero solo se è falso l’OR tra le due variabili a b a NOR b Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Espressioni logiche Un insieme di variabili e/o costanti booleane a cui siano applicati gli operatori logici si dice espressione booleana o logica Una espressione logica rappresenta una funzione logica: ad esempio: Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Precedenze tra operatori
Le precedenze sono simili al + e al x dell’algebra consueta: priorità alta x priorità bassa + Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Proprietà dell’algebra booleana
X·0 = X+1 = 1 X·1 = X X+0 = X X·X = X X+X = X idempotenza X·X = X+X = complementazione X·Y = Y·X X+Y = Y+X commutativa X·(X+Y) = X X+(X·Y) = X assorbimento X·(X+Y) = X ·Y X+(X·Y) = X+Y assorbimento X·(Y+Z) = X·Y+X·Z X+(Y·Z) = (X+Y)·(X+Z) distributiva Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Proprietà dell’algebra booleana
X·(Y·Z) = (X·Y) ·Z = X·Y·Z X+(Y+Z) = (X+Y)+Z = X+Y+Z associativa ( X ) = X X·Y = X + Y X+Y = X ·Y De Morgan Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Proprietà operatori universali
NOR () NAND () X  1 = 0 X  0 = 1 X  0 = X X  1 = X X  X = X X  X = X X  Y = X·Y X  Y = X+Y X  Y = X+Y X  Y = X·Y Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sommattore xn yn c n-1 x1 y1 c0 x0 y0 c0 cn rn c1 r1 c0 r0 Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Sommatore xi yi ci-1 ri ci 1 ri = (xi  yi)  ci-1 ci = ci-1 (xiyi) + xiyi Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Reti logiche Reti combinatorie: le uscite dipendono solo dagli ingressi Reti sequenziali: le uscite dipendono dagli ingressi e dalle uscite precedenti (Effetti di memoria: latch, flip-flop) Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

Latch RS Q = stato precedente Q’=Stato successivo R S Q Q’ 1 - Q r Q s Dario Bianchi Fond. Informatica - Ing. Civile

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