Componenti fortemente connesse

Presentazione sul tema: "Componenti fortemente connesse"— Transcript della presentazione:

1 Componenti fortemente connesse

2 Componenti fortemente connesse
Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme massimale di vertici U  V tale che per ogni coppia di vertici u e v in U si ha che ciascuno dei due vertici è raggiungibile dall’altro.

3 Componenti fortemente connesse

4 Componenti fortemente connesse

5 Grafo trasposto Il grafo GT=(V,ET) è il trasposto di G=(V,E) se ET = {(u,v):(v,u)E} (rovescia il senso di percorrenza degli archi di G). G e GT hanno le stesse componenti fortemente connesse.

6 Componenti fortemente connesse
L’algoritmo seguente trova in tempo lineare ( O(V+E)) le componenti fortemente connesse di un grafo orientato G=(V,E). Strongly-Connected-Components(G) 1.chiama DFS(G) per calcolare f[u] per ogni vertice u 2.calcola GT 3.chiama DFS(GT), ma nel ciclo principale di DFS considera i vertici in ordine decrescente di f[u] 4.return i vertici di ogni albero nella foresta DFS prodotta al passo 3 come una diversa componente fortemente connessa

7 Componenti fortemente connesse
13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6 Grafo G iniziale

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13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6 Grafo GT

9 Componenti fortemente connesse
13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6

10 Componenti fortemente connesse
13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6

11 Componenti fortemente connesse
Lemma Se due vertici sono nella stessa CFC, allora nessun cammino fra loro esce da questa CFC. Teorema In una qualunque visita in profondità, tutti i vertici in una stessa CFC sono posti nello stesso albero DFS.

12 Avi Un avo (u) di un vertice u è il vertice (unico) w raggiungibile da u che massimizza f[w] (w è l’ultimo nodo raggiungibile da u nell’ordinamento della DFS). Teorema In un grafo orientato G = (V,E) l’avo (u) di un qualunque vertice uV in una qualunque visita in profondità di G è un antenato di u.

13 Componenti fortemente connesse
Corollario In ogni visita in profondità di un grafo orientato G = (V,E), per ogni vertice uV i vertici u e (u) appartengono alla stessa CFC. Teorema In un grafo orientato G = (V,E), due vertici u,vV appartengono alla stessa CFC se e solo se essi hanno lo stesso avo in una visita in profondità di G.

14 Correttezza Teorema Strongly-Connected-Components(G) calcola correttamente le CFC di un grafo orientato G. Dim. Per induzione. Tesi: se tutti gli alberi prodotti prima dell’n-esimo nella DFS sono CFC, allora lo è anche l’n-esimo. Banalmente vero per n=0. Per il caso induttivo, cont...

15 Considera un albero DFS, T con radice r prodotto dalla ricerca per profondità su GT, sia C(r) l’insieme dei vertici con avo r. Tesi: un vertice u è presente in T, sse u è in C(r). Chiaramente, ogni vertice in C(r) è anche in T. Se f[(w)]>f[r], allora w non può essere in C(r): Quando r viene selezionato, w è già stato inserito nell’albero con radice (w). Se f[(w)]<f[r], allora w non può essere in C(r): Se w fosse in C( r), allora r sarebbe raggiungibile da w. Quindi r f[r]<f[(w)]

16 Problema: dato un grafo orientato …

17 … trovare le sue CFC

18 Prima DFS Inizio

19 Inizio

20 Inizio

21

22 Identificazione tempi di fine visita
8 5 4 7 6 3 2 1

23 Transposizione del grafo
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24 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

25 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

26 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

27 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

28 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

29 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

30 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

31 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1

32 Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1