Flusso di Costo Minimo Trasformazioni Equivalenti e Trasformazioni Inverse Viene data la seguente rete di flusso, in cui i valori riportati vicino agli.

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1 Flusso di Costo Minimo Trasformazioni Equivalenti e Trasformazioni Inverse
Viene data la seguente rete di flusso, in cui i valori riportati vicino agli archi sono i costi, e quelli riportati vicino ai nodi sono le richieste di flusso (ovvero i termini noti b) -2 1 -1 1 4 -4 2 1 2 3 1 2 1 L’arco (4,2) ha capacità superiore 3 e capacità inferiore 1; l’arco (2,3) ha capacità superiore 1 e capacità inferiore -1; gli altri archi hanno capacità superiore 2 e capacità inferiore 0.

2 Trasformiamo la rete data in una rete equivalente con costi non negativi, capacità inferiori nulle, singola origine e singola destinazione. Determiniamo la costante F aggiunta alla funzione obiettivo nel corso della trasformazione. A partire dal flusso ottimo x sulla rete trasformata (che verrà dato implicitamente fornendo il corrispondente grafo residuo), determiniamo il flusso ottimo nella rete originale. Confrontiamo il costo delle due soluzioni ottime, tenendo conto della costante F trovata al Passo 1.

3 F = -12 Passo 1 passaggio alla rete trasformata -2 1 -1 1 4 arco (4,2)
costo negativo, capacità superiore 3 capacità inferiore 1 -4 2 1 2 3 1 2 1 Fase 1: eliminazione costi negativi: si satura l’arco (4,2), spedendo un flusso 3. Il nuovo arco (2,4) ha capacità superiore 2. Si aggiunge alla f.o. il valore -4*3=-12. -2 1 2 1 4 Nota: il nuovo arco ha capacità inferiore nulla 4 2 1 2 3 1 2 F = -12 -2

4 F = -12 -1 = -13 Passo 1 passaggio alla rete trasformata -2 1 2 1 4
arco (2,3) costo 1 capacità superiore 1 capacità inferiore -1 4 2 1 2 3 1 2 -2 Fase 2: eliminazione capacità inferiori non nulle. Dopo la trasformazione, l’arco (2,3) ha capacità superiore 2. Si aggiunge alla costante F il valore -1. -2 1 2 1 4 4 2 1 2 3 1 F = = -13 3 -3

5 F = -13 s t Passo 1 passaggio alla rete trasformata -2 1 2 1 4 4 2 1 2
4 2 1 2 3 1 3 -3 Fase 3: singola origine e singola destinazione. In azzurro le capacità superiori degli archi aggiuntivi, tutti gli altri archi hanno capacità superiore pari a due. 1 1 4 2 2 -5 4 s t 5 2 1 3 3 2 3 1 F = -13

6 F = -13 s t Passo 1 passaggio alla rete trasformata
Rete trasformata: a ciascun arco si associa la coppia [costo,capacità superiore] [1, 2] 1 4 [0, 2] [0, 2] [4, 2] -5 s t [1, 2] 5 [2, 2] [0, 2] [0, 3] 2 3 [0, 3] [1, 2] F = -13

7 Soluzione ottima sulla rete trasformata
Grafo residuo rispetto al flusso ottimo: il valore vicino ad ogni arco è la sua capacità superiore; gli archi “inversi” appaiono in rosso 2 1 4 2 2 1 1 2 s t 1 1 1 3 2 3 3 2 Nota: il grafo residuo rispetto al flusso ottimo sarà il risultato dell’applicazione degli algoritmi per MCF

8 Soluzione ottima sulla rete trasformata
Partendo dal grafo residuo relativo al flusso ottimo troviamo tale flusso sulla rete trasformata 2 1 4 2 2 1 1 2 s t 1 1 1 3 2 3 3 2 2 [1, 2] 2 1 4 [0, 2] 2 [0, 2] [4, 2] -5 s t [1, 2] 5 [2, 2] 1 1 [0, 2] [0, 3] 2 3 3 [0, 3] 3 [1, 2] 2 Il costo totale del flusso ottimo sulla rete trasformata è (costo × flusso) (2 × 1) + (1 × 2) + (1 × 2) = 6 (2,1) (1,4) (2,3)

9 Passo 2 Flusso ottimo sulla rete originale
Per prima cosa, ignoriamo gli archi fittizi (trasformazione inversa della Fase 3). -2 [1, 2] 2 2 -2 2 1 4 [4, 2] [1, 2] [2, 2] 1 1 [0, 2] -3 2 3 3 [1, 2] -3 2 3 Trasformazione inversa della Fase 2: archi a capacità inferiore non nulla. L’arco (2,3) sulla rete originale ha un flusso –1 + 2 = 1 arco (2,3) originale costo 1 capacità superiore 1 capacità inferiore -1 -2 [1, 2] 2 2 -2 2 1 4 [4, 2] [1, 2] [2, 2] 1 1 [0, 2] -2 2 3 2 [1, 2] -2 1 2

10 Passo 2 Flusso ottimo sulla rete originale
Trasformazione inversa della Fase 1: archi a costo negativo. L’arco (4,2) ha un flusso 3 – 0 = 3. arco (4,2) originale costo negativo -4, capacità superiore 3 capacità inferiore 1 -2 [1, 2] -1 2 -2 -1 1 4 [-4, 2] [1, 2] [2, 2] 1 1 3 [0, 2] 1 2 3 2 [1, 2] 1 1 2 I numeri vicini ai nodi sono le differenze flusso entrante meno flusso uscente; si può verificare che corrispondono alle richieste (termini noti) sulla rete originale.

11 Passo 2 Flusso ottimo sulla rete originale
Calcolo e confronto dei costi delle soluzioni -2 [1, 2] -1 2 -2 -1 1 4 [-4, 2] [1, 2] [2, 2] 1 1 3 [0, 2] 1 2 3 2 [1, 2] 1 1 2 Il costo totale del flusso ottimo sulla rete originale è (costo × flusso) 2 × × 1 + (– 4) × × × 2 = -7 (2,1) (2,3) (4,2) (1,3) (1,4) Il costo del flusso ottimo sulla rete originale è dato dal costo sulla rete trasformata (6) più la costante F (– 13).