PRE 2010 ESERCITAZIONE DI MATEMATICA POST.

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1 PRE 2010 ESERCITAZIONE DI MATEMATICA POST

2 “Lo scienziato non studia la natura perché sia utile farlo
“Lo scienziato non studia la natura perché sia utile farlo. La studia perché ne ricava piacere; e ne ricava piacere perché è bella. Se la natura non fosse bella non varrebbe la pena di sapere e la vita non sarebbe degna di essere vissuta.” H. Poincarè

3 1. Quale di queste sequenze è ordinata in modo crescente:
; ; ; A) ; ; ; B) ; ; ; C) ; ; ; D) ; ; ; E)

4 A <1 =1 : e= 2,7…, allora loge3 > 1 SOLUZIONE: RISPOSTA 1 ; ; ;
; ; ; 3 4 2 <1 =1 : e= 2,7…, allora loge3 > 1

5   2. Goddy ha cucinato una torta per 7 persone ed ha utilizzato 250 g di cioccolato. Farà la stessa torta per una festa a casa di Celeste alla quale parteciperanno 21 persone. Quanto cioccolato dovrà usare? 1 Kg 800 g 750 g 1,5 Kg 500 g

6 C Se per 7 persone servono 250g di cioccolato, per 21 persone
RISPOSTA C SOLUZIONE: Se per 7 persone servono 250g di cioccolato, per 21 persone servono x grammi di cioccolato, cioè:

7 3. Il corridoio della facoltà di Scienze è lungo 0,5 Km
3. Il corridoio della facoltà di Scienze è lungo 0,5 Km. Stella lo percorre 6 volte al giorno. Celeste percorre in 10 giorni il 70 % dei metri percorsi da Stella (in 10 giorni). Che distanza percorre Celeste alla settimana? 21 Km 14700m 2100 m 3500 m 2,1 Km

8 RISPOSTA B SOLUZIONE: Stella 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km 0,50,5 Km Cammino in 1 giorno (3Km)!!! Cammino in 10 giorni: 30 Km “Celeste percorre in 10 giorni il 70 % dei metri percorsi da Stella (in 10 giorni)” Cammino di Celeste in 1 giorno: 2,1Km “Che distanza percorre Celeste alla settimana?” 7 ∙ 2,1 Km =14,7 Km = m

9 4. Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di due? 1 25 -25 2-5

10 SOLUZIONE: Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Cosa si ottiene sottraendo il doppio del quadrato di quattro al quadruplo della potenza quarta di 2? Abbiamo 2 alternative:

11 C 4 ∙ 16 – 2 ∙ 16 = 64 – 32 = 32 = 25 SOLUZIONE: RISPOSTA
Prima alternativa: Fare i conti 4 ∙ 16 – 2 ∙ 16 = 64 – 32 = 32 = 25 Seconda alternativa: sfrutto le proprietà delle potenze

12 5. L’espressione algebrica (a-b)3-(a3-b3) è uguale a:
(3ab)(b-a) (-3ab)(b-a) 3a-b

13 (a-b)3 = (a-b) (a-b)2 =(a-b) (a2 + b2 -2ab)=
SOLUZIONE: Questo quiz si può risolvere in 2 modi: 1. MEMORIA 2. CALMA E SANGUE FREDDO Ricordiamo come si fa il cubo di un binomio: Se non ti ricordi il cubo, ti ricorderai il quadrato: “Il cubo del primo, più il cubo del secondo, più tre volte il quadrato del primo per il secondo, più tre volte il primo per il quadrato del secondo.” (a-b)3 = [ a+(-b) ] 3 (a-b)3 = (a-b) (a-b)2 =(a-b) (a2 + b2 -2ab)= a3-b3 -3 a2b + 3 ab2 a3 + (-b)3 + 3 a2(-b) + 3 a(-b)2 a3-b3 -3 a2b + 3 ab2

14 C (a-b)3-(a3-b3)= (a3-b3-3 a2b + 3 ab2)-(a3-b3)=
RISPOSTA C SOLUZIONE: (a-b)3= a3-b3 -3 a2b + 3 ab2 A questo punto: (a-b)3-(a3-b3)= (a3-b3-3 a2b + 3 ab2)-(a3-b3)= a3-b3-3 a2b + 3 ab2-a3+b3= 3ab(b-a)

15 6. L’espressione algebrica è uguale a:
Nessuna delle seguenti B) C) D) E)

16 RISPOSTA C SOLUZIONE:

17 7. Il doppio di xa ya+b a quale delle seguenti espressioni equivale?
2 (x y)2a+b (2 x y)a yb 2 (x y)a yb 2 (x + y)ab [(x + y) 2a]b

18 Valgono le seguenti regole per il prodotto di esponenziali:
SOLUZIONE: ATTENZIONE: Alcune risposte sono palesemente errate! 1) “Il doppio di (qualcosa)” 2 ∙ (qualcosa) Risposta B NO! Risposta E NO! BASEESPONENTE Ricorda: Valgono le seguenti regole per il prodotto di esponenziali: ya ∙ yb = ya+b “stessa base sommo gli esponenti” 1 2 xa ∙ ya = (xy)a “stesso esponente moltiplico le basi”

19 Valgono le seguenti regole per il prodotto di esponenziali:
BASEESPONENTE SOLUZIONE: Ricorda: RISPOSTA C Valgono le seguenti regole per il prodotto di esponenziali: ya ∙ yb = ya+b “stessa base sommo gli esponenti” 1 2 xa ∙ ya = (xy)a “stesso esponente moltiplico le basi” Tornando al testo: 1 2

20 8. Segna la risposta ERRATA: Scrivere loga(b∙b) = d equivale a scrivere
ad= b∙b 2 loga b = d ad = b2 loga b ∙ loga b = d loga b2=d

21 Non confonderti con la proprietà 1
RISPOSTA D SOLUZIONE: da ax=b x=logab a>0, a≠1 b>0 Per A) da loga(b∙b)=d ad= b ∙ b C) b2 B) loga(b∙b)=logab+logab=2logab PROPRIETA’ ) loga (b∙c)=logab + logac Vera! 2) logabn = n logab Vera! E) È semplicemente un altro modo per scrivere loga(b∙b)=logab2=d D) banalmente per esclusione!! Vera! Vera! ATTENZIONE!! Non confonderti con la proprietà 1

22 a > 1 a > -1 a ≥ 1 a ≥ -1 -1 < a < 1
9. Dato il sistema di equazioni con a parametro reale indicare per quali valori di a il sistema ammette soluzione. a > 1 a > -1 a ≥ 1 a ≥ -1 -1 < a < 1

23 2x e 3y >0 per ogni x ed y reali
RISPOSTA A SOLUZIONE: Studiamo separatamente le due equazioni: 2x e 3y >0 per ogni x ed y reali Quindi 2x+3y >o 2x+3y=a ci dice che a > 0 2x-3y=1 2x compare in entrambe le equazioni, quindi possiamo esplicitarlo… 2x = 1+3y e sostituirlo nella prima: (1+3y)+3y=a 1+2(3y) =a 2(3y) =a - 1 2(3y)>0 Quindi: a > 1 2(3y) = a – 1 >0

24 10. Data la funzione quanto vale l’espressione f(2x) – f(-2x) ?
f(4x) 1 f(3x)

25 RISPOSTA A SOLUZIONE: A noi interessa:

26 11. Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre decide di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il ritorno a casa il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Quanti sono in totale i frutti che i nostri amici hanno portato a casa? 6 1 5 9

27 A 2 + 2 ∙ (2)2 -3 ∙ 2 + 5 [2 + 2 ∙ (2)2 -3 ∙ 2 +5] RISPOSTA SOLUZIONE:
Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Il piccolo Celestino va a fare compere con suo papà Frenk e il loro cucciolo Bobby. Dal fruttivendolo compra 2 mele. Il papà inoltre gli dice di comprare un numero di pesche pari al doppio del quadrato del numero di mele meno il suo triplo. Celestino prende di nascosto anche cinque albicocche. Durante il viaggio di ritorno il cucciolo Bobby mangia 1/3 del numero totale di frutta acquistata. Qual è il numero di mele, pesche e albicocche che Celestino ha portato a casa? Basta “tradurre” le parole in numeri! 2 + 2 ∙ (2)2 -3 ∙ 2 + 5 [2 + 2 ∙ (2)2 -3 ∙ 2 +5] Frutta acquistata!

28 12. Individua quale delle seguenti uguaglianze è ERRATA:
sen245°+ cos245°= 1 5 sen (2 ∙ 25°)=10 sen 25° ∙ cos 25° tg (90°-30°) = tg 90° - tg 30° sen 60° = sen 30° = cos 60°

29 C RISPOSTA SOLUZIONE: P α H A O A)
=OP2=OA2 (Teorema di Pitagora!) A) B) sen 2α=2sen α cos α FORMULA DI DUPLICAZIONE (o ve la ricordate oppure andate avanti a leggere le altre!) Vera! Ricordate poi… e alcuni valori del sen e del cos per alcuni angoli particolari: E) Vera! …potrei continuare ma questi sono gli angoli che ci interessano… D) Impossibile! C) Vera! Vera! Falsa!

30 13. Il mio cappellino da rapper (in figura) ha una bella visiera gialla; sapendo che la parte bianca è un cerchio di raggio r, quanto misura l’area della mia bella visiera gialla? La visiera non è gialla 2π 8/3 r 2 r2 π r2

31 SOLUZIONE: RISPOSTA D r r

32 14. Determinare i valori del parametro reale a (se esistono) per cui le seguenti rette r ed s risultino parallele: r: s: Per ogni valore di a Per nessun valore di a Per a=2/3 ed a=-4/3 Per -3 < a < 2 Per a = 2/3

33 C y=mx+q m SOLUZIONE: RISPOSTA
Due rette si dicono parallele quando hanno stesso coefficiente angolare. Dunque nel nostro caso basterà porre le rette in forma esplicita… …ed uguagliare i 2 coefficienti angolari. Applico la formula risolutiva ed ottengo:

34 15. Si lancia un dado a sei facce non truccato per 2 volte
15. Si lancia un dado a sei facce non truccato per 2 volte. La probabilità di ottenere almeno un 6 è 11/36 5/18 1/3 1/2 Nessuna delle precedenti

35 A Casi favorevoli Casi possibili RISPOSTA SOLUZIONE:
Probabilità elementare: __________________ Casi favorevoli Casi possibili In ogni lancio la probabilità di ottenere un certo numero è 1/6. Lanciando due volte il nostro dado i casi possibili sono 6 ∙ 6 = 36 I casi favorevoli sono: 6 al primo lancio ed un numero diverso da 6 al secondo → 5 un numero diverso da 6 al primo ed un 6 al secondo → 5 6 in entrambi i lanci→ 1 Sommiamo i 3 eventi favorevoli e dividiamo per i casi possibili:

36 16. Stella e Celeste nascondono il cellulare di Tiziano e Federico in un cassetto e lo chiudono con un lucchetto. Tale lucchetto si apre con una combinazione di 4 cifre non ripetute da 1 a 5. Quante prove dovranno effettuare i poveri Tiziano e Federico nel peggiore dei casi per aprire il lucchetto? 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 25 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 94 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

37 C 1 2 3 4 5 Contiamo dunque i casi ottenuti: 5∙4∙3∙2∙1 = 5! RISPOSTA
SOLUZIONE: Iniziamo dalla prima casella: Abbiamo 5 cifre a disposizione. Passiamo alla seconda casella: 1 2 3 4 5 Abbiamo 4 cifre a disposizione poiché non è possibile ripetere la cifra già scritta. Passiamo alla terza casella: Abbiamo 3 cifre a disposizione poiché non è possibile ripetere le cifre già scritte. 3 Passiamo alla quarta casella: Abbiamo 2 cifre a disposizione poiché non è possibile ripetere le cifre già scritte. 2 Contiamo dunque i casi ottenuti: 5∙4∙3∙2∙1 = 5!

38 Fine