Retta passante per i due punti Deve essere: e MODELLO PIU’ REALISTICO MA PIU’ SEMPLICE POSSIBILE PIU’ SEMPLICE POSSIBILE.

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1 Retta passante per i due punti Deve essere: e MODELLO PIU’ REALISTICO MA PIU’ SEMPLICE POSSIBILE PIU’ SEMPLICE POSSIBILE

2 Retta passante per i punti (o,m) e (K,0)

3 È detta capacità portante popolazione Esempio L’ambiente può sostenere solo una popolazione di dimensione massima dimensione massima la popolazione aumenta Il tasso di crescita si annulla

4 MODELLO LOGISTICO DISCRETO Rappresenta la resistenza ambientale (trascurabile se è piccola) con

5 La funzione che descrive il MODELLO PARABOLA LOGISTICO è quindi una PARABOLA Esempio di logistica Scalatura

6 Parabola Ax(1-x) Si annulla per x=0 e per x=1 Per x>1 assume valori negativi

7 per A>4 (tasso di crescita elevato) la dinamica produce dei valori >1 seguiti poi da valori negativi e quindi non accettabili. Se = 1 si ha una catastrofe (tutte le risorse sono state consumate) Non si possono accettare valori di > 1 La parabola ha il massimo nel vertice : x =1/2, Max = A/4 Il modello di competizione intraspecifico basato su una dipendenza lineare del tasso dalla popolazione non è universale

8 x1x1 x2x2 x3x3 x n+1 xnxn x n+1 = x n POPOLAZIONE DI EQUILIBRIO Esiste una popolazione di equilibrio? (Numero delle nascite = numero delle morti)

9 La parabola sta sotto la bisettrice e quindi: Punto di equilibrio solo X= 0 ( m < 0 ) Se il tasso di crescita è negativo l’unico equilibrio possibile è l’estinzione

10 interpretato in termini di Pn diventa: Il punto CAPACITA’ PORTANTEK 2 punti di equilibrio:

11 è ovvio che sia un punto stazionario (di equilibrio): se non ci sono individui non si “creano” da soli La capacità portante rappresenta un punto di equilibrio. Se la popolazione raggiunge un numero di individui pari a K, si manterrà sempre di queste dimensioni

12 STABILITA’ DEI PUNTI STAZIONARI Partendo da un dato iniziale qualsiasi non è detto che si arrivi ad una situazione di equilibrio Anzi, anche partendo da una situazione vicina a quella di equilibrio, ci si può allontanare … ESEMPIO

13 DEFINIZIONE Il punto di equilibrio x* è stabile se partendo abbastanza vicino a x* restiamo vicini ad x* x* è stabile attrattivo se la distanza diminuisce Generalizzando il caso lineare (vedi Malthus ) si può dimostrare che: x* è punto di equilibrio stabile se Nel caso della logistica: x* è stabile se

14 è stabile Se il tasso di crescita è negativo, ogni immigrazione x0>0 è destinata all’estinzione L’unico punto d’equilibrio

15 instabile stabile

16 X=0 non è attrattivo (non stabile) Se si parte da x0 piccolo, vale la legge malthusiana (l’ambiente non oppone resistenza) e quindi la popolazione cresce allontanandosi da 0 Qualunque sia la densità iniziale non nulla della popolazione, nel lungo periodo essa si assesta a K. Questo spiega anche il termine capacità portante : massimo numero di individui che un determinato ambiente che ospita la popolazione può contenere nel lungo periodo. La capacità portante K rappresenta la densità di equilibrio globalmente stabile per la popolazione. cioè è attrattivo

17 Comportamento della crescita logistica di una popolazione al variare del numero iniziale di individui K=1 A=2

18 instabile 3 < A < 3.45 soluzioni periodiche 3.45 < A < 4 soluzioni aperiodiche

19 -Mostrare che per m > 3 l’equazione della logistica può generare valori negativi di Pn+1, il che non è ammissibile dal punto di vista pratico e dimostra che anche il modello logistico ha dei limiti, che andranno corretti. -Determinare algebricamente i punti stazionari del modello e verificare i risultati graficamente. - Fare delle considerazioni qualitative sulla stabilità dei punti di equilibrio -Si supponga di partire da una popolazione di P0 = 100 individui con capacità portante K = 1000. Studiare l’evoluzione della popolazione al variare di m e trarne le opportune conclusioni. ESERCIZI da svolgere in Laboratorio

20 per m>3 l’equazione logistica genera valori negativi di Pn+1. K=1000 P0=100 0  m  3. Per m=0.4 si osserva una crescita lenta che arriva alla capacità portante senza mai superare tale valore. All’inizio la crescita è quasi esponenziale, poi l’effetto della competizione intraspecifica si fa sentire e la popolazione arresta la sua crescita al valore K. La capacità portante è un punto di equilibrio attrattivo.

21 Nel caso m=1.5, la popolazione,dopo un primo periodo di crescita esponenziale, supera il valore della capacità portante e comincia ad assumere un andamento oscillante intorno ad esso.

22 Se il tasso viene incrementato ulteriormente e supera il valore 2, il comportamento della popolazione cambia di nuovo. Le oscillazioni ora non si smorzano più. Per m = 2.1, la popolazione oscilla, senza mai tendere alla capacità portante

23 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % LOGISTICA DISCRETA % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % clear all; k=1000; nmax=50; y0=100; y1=1500; m=2.5; p1(1)=y0; for n=2:nmax p1(n)=p1(n-1)+m*(1-p1(n-1)/k)*p1(n-1); N(n)=n; end plot(N,p1) title('Logistica con tasso m=2.5') gtext('y0=100') gtext('Capacità portante K=1000') xlabel('Tempo') ylabel('popolazione');