La probabilità.

Presentazione sul tema: "La probabilità."— Transcript della presentazione:

1 La probabilità

2 Concetti di base Probabilità
Grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova Esempio Numero che appare sulla faccia superiore del dado dopo averlo lanciato

3 Concetti primitivi di probabilità
La prova è un esperimento Che ha due o più possibili risultati La prova Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova L’evento La probabilità è un numero compreso tra 0 ed 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento La probabilità

4 Prova, evento e probabilità
In una data prova, l’evento E si verifica con probabilità P(E) Esempio: Nel lancio di un dado (ben bilanciato) La faccia contrassegnata dal numero 5 (E=5) si presenta con probabilità P(E=5)=1/6

5 Eventi e Algebra di Eventi
Gli eventi formano una algebra di Boole Postulato 1 Dato il postulato 1 sono definite le seguenti operazioni: La negazione di un evento A, ossia A L’intersezione tra due eventi A e B, ossia A  B L’unione tra due eventi A e B, ossia A  B

6 Eventi Definizione due eventi rilevanti:
6 Eventi Definizione due eventi rilevanti: Evento impossibile: è l’evento che non può mai verificarsi e può essere definito come Evento certo, ossia l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Può essere definito Al lancio di un dado esce la faccia 0 Al lancio di una moneta esce T o C Due eventi A e B, si dicono incompatibili (o mutualmente esclusivi o disgiunti) se

7 A A B A B

8 Proprietà assiomatiche della probabilità
La probabilità è una funzione di insieme che associa a ogni evento EiE un numero reale. La probabilità sarà indicata con P(Ei) P(A)0 Postulato 2 P()=1 Postulato 3 [A  B = ø]  [P(A U B)=P(A)+P(B)] Postulato 4

9 Esperimento casuale Evento è un sottinsieme di S
E’ ogni processo la cui singola esecuzione (prova) dà luogo a un risultato non prevedibile. Esempio: Lancio di una moneta 3 volte S= Spazio campionario= Eventi elementari Evento è un sottinsieme di S

10 Spazio campionario E2 E1 E4 E3 E8 E5 E6 E7
F A E2 E1 E4 E3 E8 E5 E6 E7 L’evento è un sottinsieme delle spazio campionario.

11 E3 E1 E4 E2 E8 E5 E6 E7

12 La probabilità dell’intersezione è sommata due volte!

13 DEFINIZIONI DI PROBABILITA’
Classica: è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, supposto che questi siano equiprobabili (di Laplace) Frequentista: è la frequenza relativa con cui l’evento si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto condizioni simili (di Von Mises) Soggettivista: è il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni al verificarsi dell’evento

14 Probabilità condizionate e indipendenza
n. dei casi favorevoli ad (A  B) n. dei casi favorevoli a B P(AB)= ossia P(AB)= P(A  B) P(B) Si definisce probabilità condizionata di A dato B il rapporto tra la probabilità dell’evento (A  B) e la probabilità dell’evento B

15 Probabilità condizionata
Si vuol calcolare la probabilità dell’evento e4 rispetto allo spazio campionario S’ E è il nuovo spazio campionario S’ e3 e1 e4 e2 e8 e5 e6 e7

16 Principio delle probabilità composte
16 Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 : P (A  B) =P(A) P(B|A)= P(B)P(A|B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e il verificarsi di A non influenza la probabilità di B P (A|B) =P(A) P(B|A) = P(B) da cui si ricava

17 Probabilità a posteriori:
Teorema di Bayes Probabilità a posteriori: Teorema di Bayes

18 poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9
Esempio 18 P(A1) = 0,1 prob. di estrarre un individuo malato P(A2) = 0,9 prob. di estrarre un individuo sano P(B1|A2) = 0,2 prob. che il test dia un falso-positivo P(B2|A1) = 0,1 prob. che il test dia un falso-negativo Determinare: P(A1|B1) = probabilità che un individuo positivo al test sia effettivamente malato poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9

19 Esempio (continua) 19

20 20/100=0.2 Tipo A 60/100=0.6 adulto 40/100=0.4 Tipo non A 100 14/100=0.14 Tipo A giovane 40/100=0.4 Tipo non A 26/100=0.26

21 Esercizio Excel

22 La distribuzione di probabilità
X è la variabile casuale “numero di T in tre lanci di una moneta” S=

23 Variabili casuali discrete: Distribuzioni di probabilità

24 Variabili casuali continue: Funzione di densità
Immaginiamo di avere un carattere statistico continuo e di rappresentarlo tramite istogramma con 8 classi di ampiezza finita

25 Variabili casuali continue: Funzione di densità
Man mano che aumentiamo il numero delle classi, si riduce l’ampiezza della classe. Al limite, l’ampiezza della classe diviene infinitesima e il poligono di frequenza si approssima con una linea continua. Tale linea si chiama funzione di densità di frequenza in quanto l’ordinata non è altro che l’altezza dei rettangoli che compongo l’istogramma

26 Alcune distribuzioni teoriche
La distribuzione binomiale (discreta) La curva di Gauss o Normale (continua)

27 Distribuzione binomiale
Esperimento bernulliano: esperimento casuale che ammette due soli esiti possibili, successo e insuccesso. Esempio: lancio di una moneta, condizione di malattia p è la probabilità di successo. q=1-p è la probabilità di insuccesso Hanno distribuzione binomiale: La variabile casuale X definita come “numero di successi su n prove” ha distribuzione binomiale La variabile casuale F definita come “frequenza relativa di successo su n prove” Esempio: La probabilità che un paziente guarisca da una determinata malattia è p=0.60. Determinare la probabilità che su 5 pazienti ne guariscano esattamente 3

28 G=guarito NG= non guarito Si tratta di un esperimento bernulliano con p=0.60 e q=0.40 Considerando gruppi di 5 pazienti, possiamo avere le seguenti combinazioni (G,G,G,NG,NG) (G,NG,NG,G,G) … Ogni combinazione è il prodotto di eventi indipendenti. In tutto le combinazioni sono:

29 La prima combinazione ha probabilità:
La seconda combinazione ha probabilità: Tutte e 10 le combinazioni possibili hanno probabilità Quindi, la probabilità di x successi su n prove è: Tornando all’esempio:

30 Statistiche della distribuzione binomiale
Simmetria della distribuzione binomiale All’aumentare di n e a prescindere da p, la distribuzione binomiale tende ad essere simmetrica e si può approssimare con la curva Normale N(np,np(1-p)) per X e N(p, p(1-p)/n) per F

31 Esempio: con p=0.15 Prob(almeno 2 successi su 5 prove)= Prob(x≥2)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) Prob(meno di 2 successi su 7 prove)= Prob(x<2)=P(X=0)+P(X=1) Prob(fra 3 e 5 successi su 7 prove)= Prob(3≤x ≤ 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

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