Cap. 6 Gli angoli.

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1 Cap. 6 Gli angoli

2 Definizione di angolo Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi un’origine in comune O Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette Angolo  Angolo b

3 Elementi di un angolo Consideriamo l’angolo mostrato in figura Definiamo vertice il punto di origine delle due semirette a e b sono i lati dell’angolo α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione che lo caratterizza

4 Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti Definiamo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo a Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo b

5 Angoli consecutivi L’italiano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi Cosa significa consecutivo? Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro a e b sono consecutivi perché il hanno in comune il vertice B e il lato b Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo? Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune

6 Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

7 Angoli opposti al vertice
Questi due angoli hanno il vertice in comune e sono angoli opposti al vertice; O si comporta come uno specchio. Analizziamo le parole opposti al vertice Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa; questo qualche cosa si comporta come uno specchio Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un angolo Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il vertice in comune …. Ma ciò non basta Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si comporta come uno specchio Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro Due angoli opposti al vertice sono congruenti a = b Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono angoli opposti al vertice; O non si comporta come uno specchio

8 Bisettrice A’1 Consideriamo l’angolo AOA’1 Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà A’ bisettrice Tale retta prende il nome di bisettrice A O Definiamo bisettrice di un angolo la semiretta che partendo dal suo vertice O lo divide in due parti uguali

9 Confronto di angoli Per confrontare due angoli basta far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: che è simile, che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore Se sposto il lato O1A1 e lo faccio coincidere con OA posso confrontare i due angoli Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale all’altro

10 Angolo maggiore di un’altro
Consideriamo le due figure precedenti Com’è l’angolo AOB rispetto all’angolo A’O’B’ Quando li sovrappongo vedo che il alto c cade all’interno dell’angolo AOB In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’interno del primo

11 Angolo minore di un’altro
Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB In questo caso avremmo che AOB < A’O’C Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’esterno del primo

12 Angoli congruenti Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c coincide col lato b Perciò si ha che AOB = A’O’C Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo coincide col suo omologo del primo

13 Tipi di angoli Angolo giro Angolo piatto Angolo retto Angolo acuto
Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare) Angolo giro Angolo piatto Angolo retto Angolo acuto Angolo ottuso

14 Angolo giro Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono?
L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima Chiamiamo questo angolo angolo giro

15 Angolo piatto Definiamo Piatto l’angolo formato da due semirette che sono una il prolungamento dell’altra cioè che giacciono sulla stessa retta La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro

16 Angolo Retto Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice
Tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dell’angolo piatto

17 Angoli acuti Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto Angolo acuto

18 Angolo ottuso Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto

19 Somma di angoli AOD è la somma fra l’angolo AOB e l’angolo CKD
Sono dati due angoli AOB e CKD Per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso) AOD è la somma fra l’angolo AOB e l’angolo CKD AOB + CKD = AOD γ = α + β A O B C K D C K D A O B

20 Differenza di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD
Per fare la differenza di due angoli faccio coincidere i lati omologhi e i due vertici Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa posizione (stesso colore nella figura) DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo CKD AOB – CKD = DOB γ = α - β A O B C K D A O B C K D

21 Sottomultipli di angoli
Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali Com’è l’angolo AOC rispetto all’angolo AOB? Sapendo che per definizione l’angolo AOC è contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo? Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo sottomultiplo Quando un angolo è sottomultiplo di un altro? Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte

22 Multipli di un angolo β α
Quante volte AOB contiene AOC? Tre volte per definizione (perché ho fatto l’operazione di dividere l’angolo in tre parti uguali e quindi l’ho definito in partenza) Come sarà AOB rispetto ad AOC? Sarà un suo multiplo Quando un angolo è multiplo di un altro? Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte :n β α a è multiplo di β perché lo contiene n volte: β è sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α x n

23 Angoli complementari Consideriamo due angoli AOB e CO’D Proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo retto Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto

24 Angoli supplementari Consideriamo due angoli AOB e CO’D e proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo piatto Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto

25 Angoli esplementari Consideriamo due angoli AOB e CKD Proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo giro Due Angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro