ECONOMIA POLITICA E-I ESERCITAZIONI. 2 Richiami di matematica – Funzioni Funzioni FUNZIONE: ogni regola matematica che permette di calcolare il valore.

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1 ECONOMIA POLITICA E-I ESERCITAZIONI

2 2 Richiami di matematica – Funzioni Funzioni FUNZIONE: ogni regola matematica che permette di calcolare il valore di una variabile, grandezza che può assumere diversi valori, (dipendente) partendo dal valore di una o più variabili (indipendenti). UNA VARIABILE INDIPENDENTE: y  f(x) (si legge y è funzione di x ); per ogni dato valore di x (a piacere), la f(  ), che rappresenta una formula, consente di calcolare il corrispondente valore di y. DUE VARIABILI INDIPENDENTI: y  f(x 1,x 2 ) (si legge y è funzione di x 1 e x 2 ) per ogni dato valore di x 1 e x 2 (a piacere), la f( ,  ), che rappresenta una formula, consente di calcolare il corrispondente valore di y. Esempio. La funzione y  3x 2 ; x  5  y  75; x  2  y  12. Esempio. La funzione y  3x 1 x 2 ; x 1  5, x 2   4  y  60.

3 GRAFICI Relazione è lineare quando è rappresentabile con una linea retta Relazione è non lineare quando è rappresentabile con una curva La relazione causale esistente tra due varabili (indipendente e dipendente o anche determinante e determinata) può essere illustrata attraverso un grafico Le variabili sono legate da una relazione diretta quando all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra (es. offerta, ricavo totale). Le variabili sono legate da una relazione inversa quando all’aumentare dell’una, l’altra diminuisce (es.domanda). Richiami di matematica – Grafici 3

4 PENDENZA di una funzione Essa è misura della sua inclinazione e indica il grado di reattività della variabile y a cambiamenti della variabile x. misurazione → dividendo la “distanza verticale tra due punti” per la “distanza orizzontale” tra gli stessi, per cui la prima è l’entità della variazione della variabile y, la seconda è l’entità della variazione della variabile x → ∆y/∆x (pendenza positiva quando la distanza verticale ha lo stesso segno di quella orizzontale e viceversa). Funzione lineare la pendenza è sempre costante. Funzione non lineare la pendenza è diversa a seconda del punto in cui viene calcolata. Cambiamento di pendenza determina forma della funzione. 4 Richiami di matematica – Grafici

5 5 Microeconomia – Consumatore: vincolo di bilancio Il vincolo di bilancio Una formula generale per calcolare tutti i casi 10  y 1  20  y 2  200 OVVERO : la spesa per i libri più quella per i dischi non può superare la somma disponibile per la spesa Nota: 10  y 1  20  y 2 ≡ SPESA REDDITO ≡ 200 Spesa  Reddito Quindi: La formula viene chiamata Vincolo di bilancio

6 6 Microeconomia – Consumatore: vincolo di bilancio Una formulazione più generale Nella formula del vincolo di bilancio compaiono: due variabili, le quantità dei beni y 1 e y 2 tre dati, i due prezzi e il reddito. Anche per i tre dati usiamo dei simboli: p 1 e p 2 per i prezzi M per il reddito Formula implicitaFormula esplicita

7 7 Richiami di matematica – La retta L’equazione della retta è del tipo: La formula del vincolo di bilancio,, y x 0 Equazione di una retta: a  termine noto b  coefficiente angolare a a misura l’intercetta : b misura l’inclinazio- ne : b' > b b' < 0 b a' > a un valore più grande sposta la retta in alto (parallela) un valore più grande ruota la retta verso l’alto (più ripi- da); se b < 0, la retta è decrescente

8 8 Richiami di matematica – La retta L’equazione della retta è del tipo: La formula del vincolo di bilancio,, y2y2 0 Quindi: a  M/p 2 b   (p 1 /p 2 ) b è la pendenza relativa alle ascisse crescenti;  b è la pendenza, ma misurata con le ascisse decrescenti y1y1 b =  (p 1 /p 2 )  b = (p 1 /p 2 )

9 9 Richiami di matematica – Variazioni Variazioni (  ) Consideriamo una retta qualunque; per esempio Se x = 4  y = 11 Se x = 5  y = 13 Se x = 6  y = 15 VARIAZIONE di x (  x ): la differenza tra il va- lore finale e quello iniziale di x. Se x passa da 5 a 6   x = 1 ; se x passa da 5 a 4   x  =  1 ; se x passa da  a 6  x  = 2  VARIAZIONE di y (  y ): la differenza tra il valore finale e quello iniziale di y in corrispondenza di ogni data variazione di x. Nei tre casi precedenti: quando  x = 1   y = 2 ; quando  x =  1   y =  2 ; quando  x = 2   y = 4. È facile verificare che: quando  x = 1, qualunque sia il valore iniziale di x, si ha sempre  y = 2 (che è il valore del coefficiente angolare b ) ; qualunque sia il valore di  x (e qualunque sia il valore iniziale di x ), si ottiene sempre  y = 2  x (ovvero  y = b  x ). sempre Il coefficiente angolare b è sempre uguale al rapporto  y /  x

10 10 Richiami di matematica – Variazioni percentuali Variazioni percentuali Abbiamo visto cosa è una variazione (  x ): è la differenza tra il livello finale di una variabile, che indichiamo con x n (“n” sta per “nuovo”), e il suo livello iniziale, che indichiamo con x v (“v” sta per “vecchio”). Perciò:  x = x n  x v La variazione percentuale, invece, è la variazione divisa per il li- vello di partenza (di solito il risultato viene moltiplicato per 100) PRIMO ESEMPIO : Sia p v = 20 e p n = 22. La variazione è  p = 2. La variazione percentuale è  p/p v = 2/20 = 0,1 = 10%. SECONDO ESEMPIO : Sia p v = 40 e p n = 42. La variazione è  p = 2. La variazione percentuale è  p/p v = 2/40 = 0,05 = 5%.

11 11 Richiami di matematica – Inclinazione di una curva L’inclinazione di una curva L’inclinazione di una retta è misurata dal suo coefficiente angolare (vedi slide 19) y x 0 Come si misura l’inclinazione di una curva? Essa varia da punto a punto. E ha lo stesso significato: In ogni punto è misurata dal coefficiente angolare della retta tangente. il rapporto tra la variazione di y e quella di x. Ossia  y /  x (vedi slide 20). Ma solo se  x è “piccola”. A B b a

12 12 Dalla formula al grafico La formula esplicita del vincolo di bilancio è una retta. Anche quella implicita è la stessa retta. La forma implicita è co- moda per costruire il grafico: y2y2 y1y1 0 Notare il valore del coefficiente angolare M/p1M/p1 M/p2M/p2 (1) si pone y 2 = 0 e si trova subito y 1 = M/p 1 (è il “paniere” in cui la retta incontra l’asse orizzontale); (2) si pone y 1 = 0 e si trova subito y 2 = M/p 2 (è il “paniere” in cui la retta incontra l’asse verticale); (p 1 /p 2 ) (3) si traccia la retta unendo i due punti. Microeconomia – Vincolo di bilancio: prezzi e reddito

13 13 “Statica comparata”: aumento di p 1 Che succede alla retta del bilancio se aumenta p 1 ? Il paniere M / p 1 si sposta a sinistra e la retta ruota verso il basso. M/p1M/p1 n y1y1 y2y2 0 M/p2M/p2  (p 1 /p 2 ) v M/p1M/p1 v Microeconomia – Vincolo di bilancio: prezzi e reddito

14 14 Microeconomia – La scelta del consumatore Il saggio marginale di sostituzione Inclinazione della curva di indifferenza = coefficiente angolare della retta tangente Pari al rapporto (in valore assoluto) tra la variazione di y 2 e la variazione di y 1 e viene chiamata: saggio marginale di sostituzione ( SMS ). Abbiamo perciò SMS   y 2 /  y 1 y2y2 y1y1 0 B A SMS B SMS A