MATLAB.

Presentazione sul tema: "MATLAB."— Transcript della presentazione:

1 MATLAB

2 Outline Vettori ortogonali Autovalori, autovettori Esercizi vari

3 Vettori ortogonali I vettori non nulli si dicono ortogonali se:
I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono ortogonali e inoltre Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano una base canonica (ortonormale) di Rn

4 Matrici ortogonali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali le colonne (le righe) di A formano una b.c. di Rn

5 Vettori ortogonali in MATLAB
Per verificare, mediante MATLAB, se 2 vettori colonna v1,v2 sono ortogonali Se il prodotto del vettore riga v1’ col vettore colonna v2 e’ 0 => i vettori sono ortogonali Per calcolare la norma di un vettore v1’*v2==0 norm(v)

6 Autovalori e autovettori
Per trovare gli autovalori e autovettori di A ava -> vettore colonna degli autovalori di A D -> matrice diagonale contenente gli autovalori di A V -> matrice le cui colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori in D Data una matrix quadrata A di ordine n, un numero λ (reale o complesso) e un vettore v son detti risp autovalore e autovettore di A se vale la relazione Av= λv. Per ottenere in MATLAB gli autovalori e autovettori di una matrix quadrata si usa il comando eig Se come parametro di uscita indichiamo una sola variabile => eig ci restituisce un vettore colonna contenente gli autovalori della matrix, altrimenti restituirà 2 matrici V e D contenenti rispettivamente gli autovettori e gli autovalori di A. In particolare D è una matrix diagonale contenente gli autovalori di A, mentre V è t.c. le sue colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori contenuti in D. RICORDA gli autovalori di una matrix diagonale sono gli elementi della diagonale gli autovalori di una matrix trangolare (sup o inf) sono gli elementi della diagonale gli autovalori di una matrix simmetrica sono tutti numeri reali ava= eig(A) [V D] = eig(A) 6

7 Esempio diagonalizzabile => [V D] = eig(A) V*V’
esiste una base di Rn formata da autovettori di A A simmetrica => A diagonalizzabile in questo caso eig restituisce una matrice V ortogonale [V D] = eig(A) V*V’ V’*V Le colonne di V formano una base canonica per Rn La matrix V ottenuta dalla funzione eig a due output è una matrix ortogonale 7

8 Esercizio 1 e 2 Richiamare la matrice A (Esercizio 1 scorsa lezione), costruire la matrice A*A’ dire se è diagonalizzabile trovare la matrix P che la diagonalizza scrivere una base o.n. di R7 La matrice A è diagonalizzabile?