Flusso di Costo Minimo Applicazione di algoritmi: Cammini Minimi Successivi (SSP) Esercizio 1 Sia data la seguente rete di flusso, in cui i valori riportati.

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1 Flusso di Costo Minimo Applicazione di algoritmi: Cammini Minimi Successivi (SSP)
Esercizio 1 Sia data la seguente rete di flusso, in cui i valori riportati vicino agli archi sono i costi, e quelli riportati vicino ai nodi sono le richieste di flusso (ovvero i termini noti b) -2 1 -1 1 4 -4 2 1 2 3 1 2 1 L’arco (4,2) ha capacità superiore 3 e capacità inferiore 1; l’arco (2,3) ha capacità superiore 1 e capacità inferiore -1; gli altri archi hanno capacità superiore 2 e capacità inferiore 0.

2 Passo 1. Si trasformi la rete data in una rete equivalente con costi non negativi, capacità inferiori nulle, singola origine e singola destinazione. Si determini la costante F aggiunta alla funzione obiettivo nel corso della trasformazione. Passo 2. Sulla rete trasformata si risolva il problema applicando l’algoritmo SSP (cammini minimi successivi) che usa potenziali e costi ridotti. Ad ogni iterazione si mostri: Valore e costo del flusso fino ad ora spedito dalla sorgente alla destinazione Il grafo residuo pesato relativo al flusso corrente (riportando i costi ridotti e le capacità residue) L’albero dei cammini minimi sul grafo residuo, specificando le etichette ottime (si intende le etichette di distanza d: non occorre riportare le etichette di capacità l) Capacità e costo (rispetto ai costi ridotti!) del cammino aumentante trovato Il nuovo vettore dei potenziali. Non si richiede di utilizzare un algoritmo specifico per i cammini minimi, che possono essere facilmente trovati per ispezione. Passo 3. A partire dal flusso ottimo xT sulla rete trasformata si ottenga il flusso ottimo x sulla rete originale. Si verifichi la relazione che lega il costo di xT, il costo di x, e la costante F calcolata al Passo 1.

3 NOTE (1) Il potenziale del nodo sorgente è sempre zero. Dati i potenziali π, indichiamo i corrispondenti costi ridotti come c(π); sia d il corrispondente vettore delle distanze ottime rispetto ai costi c(π). I nuovi potenziali π’ sono ottenuti ponendo π’ := π + d . Allora, i nuovi costi ridotti c(π’) possono ottenuti in due maniere equivalenti: Dai costi originali, usando i nuovi potenziali π’; Dai costi c(π), usando le etichette d: per ogni arco (i,j) cij(π’) = cij(π) + di - dj In pratica, è più facile utilizzare il secondo metodo, cioè ricavare i nuovi costi ridotti utilizzando i costi ridotti attuali e le etichette d; questo permette infatti di lavorare sempre sul grafo residuo dell’ultima iterazione, che è pesato rispetto ai costi ridotti attuali. Nel seguito utilizzeremo questo metodo; quando possibile (dopo la seconda iterazione) mostreremo anche l’applicazione del primo metodo - ovviamente, i due metodi danno gli stessi risultati, il primo metodo è mostrato solo come una maniera per controllare i risultati durante lo svolgimento dell’esercizio.

4 NOTE (2) L’esercizio richiede di fornire, ad ogni iterazione, il costo del flusso fino ad ora spedito da s a t. Dunque, ad ogni iterazione, dobbiamo sommare al costo precedente il costo del flusso spedito sul cammino aumentante utilizzato; questo costo è dato, ovviamente, dal prodotto costo del cammino  unità di flusso spedite. Il problema è che qui il “costo del cammino” si riferisce al costo originale, mentre nel nostro algoritmo noi utilizziamo i costi ridotti, e dunque le lunghezze che calcoliamo (le nostre etichette d) si riferiscono ai costi ridotti. Fortunatamente, vale la seguente proprietà: Sia d il vettore delle distanze ottime rispetto ai costi ridotti c(π); il costo “vero” (cioè rispetto ai costi originali) del cammino aumentante è dato da π’t = πt + dt Quindi, sfruttando questa proprietà, possiamo calcolare il costo del flusso ad ogni iterazione, utilizzando come costo “vero” del cammino usato il nuovo potenziale del nodo destinazione. Ovviamente, per fare questo dovremo ricordarci di aggiornare i potenziali prima di calcolare il costo del cammino!

5 NOTE (3) L’esercizio richiede di fornire, ad ogni iterazione, il nuovo grafo residuo con capacità e costi ridotti. Per semplificare le operazioni, possiamo distinguere il lavoro da svolgere sugli archi del cammino aumentante dal lavoro da svolgere sui rimanenti archi: per gli archi del cammino aumentante, su cui spediamo flusso, dobbiamo preoccuparci di determinare le nuove capacità residue, facendo attenzione agli archi (“rossi” e/o “neri”) che compaiono o scompaiono dal grafo residuo; per questi archi però non abbiamo bisogno di calcolare i nuovi costi ridotti, perché (come sappiamo dalla teoria) i nuovi costi ridotti saranno uguali a zero; in particolare, questo vale per ciascun arco (i,j) (“nero” o “rosso”) che fa parte del cammino, e anche per l’eventuale arco “inverso” (j,i) (rispettivamente “rosso” o “nero”) corrispondente a (i,j); per gli archi che non stanno nel cammino aumentante, su cui non spediamo flusso, dobbiamo preoccuparci invece solo di determinare i nuovi costi ridotti, perché le capacità residue non cambiano. Sappiamo dalla teoria che i nuovi costi ridotti devono essere non-negativi, quindi la “comparsa” di un costo ridotto negativo è segnale inequivocabile di un errore… Ovviamente,

6 (vedi esercizio sulle trasformazioni sintattiche)
Passo 1 passaggio alla rete trasformata Rete trasformata: a ciascun arco si associa la coppia [costo,capacità superiore] [1, 2] 1 4 [0, 2] [0, 2] [4, 2] -5 s t [1, 2] 5 [2, 2] [0, 2] [0, 3] 2 3 [0, 3] [1, 2] F = -13 (vedi esercizio sulle trasformazioni sintattiche)

7 s t s t Passo 2 esecuzione dell’algoritmo SSP
Iterazione 1 Flusso attuale: valore 0, costo 0. Potenziali: π=[0,0,0,0,0,0] [s,1,2,3,4,t] [1, 2] 1 1 4 [0, 2] [0, 2] [4, 2] -5 s t [1, 2] 5 [0, 2] [0, 2] [0, 3] 2 3 [0, 3] [1, 2] Cammino aumentante (s,1,3,t): costo 0; capacità 2. Etichette: d = [0,0,0,0,1,0] = π. Valore del flusso 2, costo 20=0. Nuovo grafo residuo pesato (costi ridotti e capacità). [0, 2] 1 4 [0, 2] [1, 2] [3, 2] -5 s t [2, 2] 5 [2, 2] [0, 2] [0, 2] [0, 1] [0, 3] 2 3 [1, 2]

8 s t s t Passo 2 esecuzione dell’algoritmo SSP
Iterazione 2 Flusso attuale: valore 2, costo 0. Potenziali: π=[0,0,0,0,1,0] [s,1,2,3,4,t] [0, 2] 1 1 1 4 [0, 2] [1, 2] [3, 2] -5 s t [2, 2] 5 [2, 2] [0, 2] 1 [0, 2] [0, 3] 2 3 [0, 1] [1, 2] 1 Etichette: d = [0,1,0,1,1,1]. Nuovo π=[0,0,0,0,1,0] + [0,1,0,1,1,1] =[0,1,0,1,2,1]; cammino aumentante (s,2,3,t): costo 1; capacità 1. Nuovo valore del flusso 3; costo 0+11=1. Nuovo grafo residuo pesato (costi ridotti e capacità). [0, 2] 1 4 [1, 2] [1, 2] [2, 2] -5 s t [2, 2] 5 [0, 1] [1, 2] [0, 3] [0, 2] [0, 2] [0, 1] 2 3 [0, 1]

9 s t s t Passo 2 esecuzione dell’algoritmo SSP
Iterazione 3 Flusso attuale: valore 3, costo 1. Potenziali: π =[0,1,0,1,2,1]. [s,1,2,3,4,t] [0, 2] 1 1 4 [1, 2] [1, 2] [2, 2] -5 s t [2, 2] 5 [0, 1] [1, 2] [0, 3] [0, 2] 1 [0, 2] [0, 1] 2 3 [0, 1] Cammino aumentante (s,2,3,1,4,t): costo originale 1+1=2; capacità 1. Etichette: d = [0,0,0,0,0,1] . Nuovo π =[0,1,0,1,2,1] + [0,0,0,0,0,1] =[0,1,0,1,2,2]. Valore del flusso 4, costo 1+21=3. [0, 1] 1 1 4 [1, 2] [0, 1] [0, 1] [2, 2] [0, 1] -5 s [1, 2] [0, 1] t 5 [0, 1] [0, 2] [2, 2] [1, 3] [0, 1] [0, 2] 2 3

10 s t s t Passo 2 esecuzione dell’algoritmo SSP
Iterazione 4 Flusso attuale: valore 4, costo 3. Potenziali: π =[0,1,0,1,2,2]. [s,1,2,3,4,t] [0, 1] 1 1 1 1 4 [1, 2] [0, 1] [0, 1] [2, 2] [0, 1] 5 -5 s [1, 2] [0, 1] t [0, 1] [0, 2] [2, 2] 1 [1, 3] [0, 1] [0, 2] 2 3 1 Cammino aumentante (s,2, 1,4,t): costo originale 2+1=3; capacità 1. Etichette: d = [0,1,0,1,1,1] . Nuovo π =[0,1,0,1,2,2] + [0,1,0,1,1,1] =[0,2,0,2,3,3]. Valore del flusso 5, costo 3+31=6. Flusso ottimo. Grafo residuo finale: [0, 2] 1 1 4 [0, 2] [2, 2] [1, 2] 5 [0, 1] -5 s t [0, 1] [0, 1] [0, 3] [2, 2] [0, 1] [1, 3] 2 3 [1, 2]

11 (vedi esercizio sulle trasformazioni sintattiche)
Passo 3 Soluzione ottima sulla rete originale (vedi esercizio sulle trasformazioni sintattiche) 2 -2 -1 1 4 1 3 1 2 3 1 1 2 I numeri vicini ai nodi sono i bilanci (flusso entrante meno flusso uscente); si può verificare che corrispondono alle richieste. Il costo totale del flusso è (costo × flusso) 2 × × 1 + (– 4) × × × 2 = -7 (2,1) (2,3) (4,2) (1,3) (1,4) Il costo del flusso ottimo sulla rete originale è dato dal costo sulla rete trasformata (6) più la costante F (– 13).