1. Classificazione dei sistemi e dei modelli

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1 1. Classificazione dei sistemi e dei modelli
La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze. Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made. Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi valori logici o simbolici in corrispondenza dell’occorrenza di eventi. Es: processi produttivi, reti di trasporto, di comunicazione, etc.

2 Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente, completamento di una lavorazione, guasto o riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione di un insieme di dati, etc. L’evoluzione nel tempo di tali sistemi è dettata dall’occorrenza degli eventi mentre i micro-cambiamenti che avvengono continuamente all’interno del sistema vengono ignorati. Sistemi ad eventi discreti

3 Un sistema la cui evoluzione è dettata sia dall’occorrenza di eventi discreti, sia dal trascorrere del tempo viene detto ibrido. Sistemi ibridi Sis. ad avanzamento temporale Sis. ad eventi discreti

4 Principi di base della teoria classica dei sistemi e del controllo
Nozione fondamentale sistema Dizionario Webster: Un sistema è un’unità complessa formata da molte componenti, spesso diverse tra loro, soggette ad un piano comune o orientate verso un obiettivo comune. Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di elementi che cooperano per svolgere una funzione altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli componenti.

5 Per procedere ad un’analisi quantitativa di un sistema è indispensabile la formulazione di un modello formale che riproduca il comportamento del sistema. Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo: cause esterne al sistema  ingressi del sistema effetti  uscite del sistema u y S S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause esterne al sistema.

6 m Kw K b u y Esempio: pantografo Y: posizione di equilibrio di m u: posizione di equilibrio del punto di contatto con la catenaria

7 In generale l’uscita ad un dato istante di tempo dipende anche dalla storia del sistema.
Lo stato di un sistema all’istante di tempo 0 è la grandezza che contiene l’informazione necessaria in 0 per determinare univocamente l’andamento dell’uscita y(), per   0, sulla base della conoscenza dell’andamento dell’ingresso u(),   0 e dello stato in 0.

8 Si definiscono equazioni di stato l’insieme di equazioni che determinano lo stato x() per ogni   0 sulla base di x(0 ) e di u() ,   0. Modello a tempo continuo u x y

9 Esempio: pantografo N.B. La scelta del modello in termini di variabili di stato non è mai unica.

10 Se il tempo è discreto, cioè rappresentato dall’intero k, k=0,1,… , il sistema può venire descritto mediante un insieme di equazioni alle differenze: Modello a tempo discreto u x y

11 I sistemi ad eventi discreti
La ricerca nell’abito dei sistemi ad eventi discreti (SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante nella comunità scientifica e ciò è una immediata conseguenza della crescente complessità dei sistemi creati dall’uomo. La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla teoria classica dei sistemi e del controllo  concetti di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.

12 Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il cui comportamento è caratterizzato dall’occorrenza di eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non necessariamente noto. Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e la risoluzione di un problema di controllo in questo caso consiste nella determinazione di una politica di gestione e di coordinamento degli eventi. L’evoluzione in questo caso è asincrona ossia basata sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una temporizzazione regolare.

13 Definizione formale: Un SED è un sistema il cui comportamento dinamico è caratterizzato dall’accadimento asincrono di eventi che individuano lo svolgimento di attività di durata non necessariamente nota. Un SED è caratterizzato da: insieme degli eventi E spazio di stato X (insieme discreto) evoluzione dello stato regolata dagli eventi xk+1=(xk,ek) kN funzione di transizione di stato

14 Esempio: il sistema a coda
Un sistema a coda si basa su 3 componenti fondamentali: le entità che attendono per poter utilizzare le risorse (clienti) le risorse (servitori o serventi) lo spazio in cui si attente (coda) partenza clienti arrivo clienti coda servitore

15 I clienti possono essere: persone, veicoli di trasporto, messaggi, etc.
I serventi possono essere: persone, macchine, semafori, canali di comunicazione, etc. Insieme degli eventi E={a,p} a : evento di arrivo di un cliente p : evento di partenza di un cliente

16 Se scegliamo come variabile di stato il numero di clienti in coda 
Spazio di stato X={0,1,2,…}=N Il sistema a coda può venire rappresentato mediante il seguente grafo 1 2 3 a p

17 Esempio: macchina soggetta a guasti
X = {F (macchina ferma), L (macchina che lavora), G (macchina guasta)} spazio di stato E = {inizio,fine,rottura,riparazione} spazio degli eventi F L G inizio fine rottura riparazione

18 Esempio: circuito elettrico
d L’interruttore può ruotare a sinistra o a destra di 1/4 di giro. Ci sono 4 possibili posizioni s d

19 Possiamo individuare 3 insiemi:
X = {x1,x2,x3,x4} posizioni dell’interruttore U = {s,d} rotazioni Y = {l1,l2,b} condizioni delle lampade Tale sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo. x1 x4 x2 x3 d s x1 x2 x3 x4

20 Se assumiamo l’insieme Y come spazio di stato, allora il sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo l1 b s,d l2 l Se poi volessimo addirittura limitarci a distinguere il buio dalla luce s,d s,d b

21 x1 x4 x2 x3 d s A tale sistema possiamo anche associare una evoluzione temporale X x1 x2 x3 x4 t t1 t2 s d t3 t4 t5

22 Modellazione di sistemi ad eventi discreti
Un modello ad eventi discreti è un modello matematico in grado di rappresentare l’insieme delle traiettorie (o tracce) degli eventi che possono essere generate da un sistema. In generale l’insieme delle possibili traiettorie degli eventi è infinito, mentre il modello deve comunque essere finito. A seconda del livello di astrazione con cui le diverse traiettorie possono venire rappresentate, i modelli vengono distinti in due diverse categorie: Modelli logici e Modelli temporizzati

23 Modelli logici La traccia è una sequenza di eventi {e1,e2,e3…} in ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. Modelli temporizzati La traccia è una sequenza di coppie {(e1,t1),(e2,t2),(e3,t3),...} in ordine di occorrenza. La traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo esattamente l’istante di tempo in cui ciascuno stato viene raggiunto.

24 I modelli logici rendono agevole lo studio delle proprietà qualitative del sistema  analisi strutturale. I modelli temporizzati permettono di studiare l’evoluzione temporale di un sistema  analisi prestazionale. I modelli temporizzati possono essere: deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti) stocastici (gli intervalli sono variabili casuali) Una trattazione analitica diventa estremamente complessa  simulazione

25 Automi: modello logico
Definizione: Un AFD è una 5-upla G=(X,E,,x0,Xm) dove: X è un insieme finito di stati; E è un insieme finito di eventi (alfabeto);  : X  E  X è la funzione di transizione; x0  X è lo stato iniziale; Xm  X è l’insieme di stati finali. (x,e) è lo stato raggiunto quando si verifica l’evento e a partire dallo stato x.

26 x0 x1 x2 a d b c Esempio: x0: stato iniziale e finale x0: m. spenta x1: m. accesa x2: in avviamento a: accensione b: predisposizione c: lavorazione d: spegnimento Possibile evoluzione: w = abcc parola

27 Ad ogni AFD è possibile associare un
Ad ogni AFD è possibile associare un linguaggio generato e un linguaggio accettato (o marcato) Le proprietà fondamentali degli automi sono: la raggiungibilità la reversibilità la vivezza Esiste poi un altro modello di SED che può essere visto come una generalizzazione degli AFD, ossia gli automi finiti non deterministici (AFN)

28  Esempio di AFN: x0 x1 x2 x3 x4 a b Vi sono:
transizioni etichettate con la parola vuota  più transizioni uscenti dallo stesso nodo e aventi la stessa etichetta

29 Sistemi ibridi Sistemi ad avanzamento temporale (SAT) Sistemi ad eventi discreti (SED) SAT a tempo discreto SAT a tempo continuo SED temporizzati SAT a t. continuo lineari SAT a t. discreto lineari SED logici SED deterministici SAT a t. continuo non lineari SAT a t. discreto non lineari SED stocastici