PROBABILITÀ Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre - 2.

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1 PROBABILITÀ Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre - 2

2 SI ASSUME COME VALORE DELLA PROBABILITÀ LA FREQUENZA RELATIVA, QUANDO IL NUMERO DELLE PROVE È SUFFICIENTEMENTE ELEVATO. DEFINIZIONE FREQUENTISTA

3 Aumentando il numero delle prove la frequenza di un risultato oscilla attorno a un valore verso il quale tende a stabilizzarsi. Se è possibile conoscere la probabilità a priori di tale risultato si osserva che le frequenze ottenute sono approssimazioni della probabilità calcolata a priori. DEFINIZIONE FREQUENTISTA Si tratta di un fatto sperimentale! LEGGE EMPIRICA DEL CASO

4 È UNA CONCEZIONE “ A POSTERIORI” Affonda le sue radici nelle osservazioni sperimentali di certe regolarità in una grande quantità di risultati. LIMITI DI APPLICABILITÀ DEFINIZIONE FREQUENTISTA

5 Fermat, Pascal e Huygens non si occupano apertamente del concetto di frequenza. Lo fa invece Jacob Bernoulli, che nella prima parte dell’Ars conjectandi ragiona con mentalità statistica.La Statistica si sta infatti sviluppando, muovendo i suoi primi passi. La concezione frequentistica trova però la sua sistemazione rigorosa solo nel XIX secolo. DEFINIZIONE FREQUENTISTA

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7 LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO A RAPPRESENTA IL GRADO DI FIDUCIA CHE UN INDIVIDUO COERENTE ATTRIBUISCE, SECONDO LE SUE INFORMAZIONI, ALL'AVVERARSI DI A. DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA

8 Se vogliamo essere più operativi possiamo dire che la probabilità di un evento A per un individuo è il prezzo che egli stima equo attribuire a un importo unitario esigibile, se A si verifica. DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA Questa concezione è interpretabile in termini di scommessa.

9 Lancio una moneta. Se esce TESTA vinco io, altrimenti vince Dario. Decido con il mio avversario che la vincita deve essere 1€. Quanto sono disposto a mettere sul banco? Siccome ritengo che entrambi abbiamo la stessa possibilità di vincere, sarò disposto a puntare 0,50 €

10 Lancio due dadi. Vinco 1€ se la somma dei due numeri usciti è 3, mentre il mio avversario vince se la somma è 7. Se non si ottiene nessuno dei due numeri si ripete il lancio.Quanto sono disposto a puntare? p(uscita n.3) = 1/18 p(uscita n.7) = 1/6 La mia probabilità di vincere è 1/3 di quella dell’avversario. Sono disposto a puntare …. 0,25 euro!

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12 L’APPROCCIO ASSIOMATICO

13 ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi elementari.  : spazio dei casi elementari (insieme che ha come elementi i casi elementari). L’ambiente Ogni sottoinsieme di  è detto evento. Ogni caso elementare è anche un evento  è l’evento impossibile  è l’evento certo

14 È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI Il linguaggio Dati due eventi A e B, si indicherà: con A  B l’evento corrispondente al verificarsi di A o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi) con A  B l’evento corrispondente al verificarsi di A e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi) con A c l’evento corrispondente al non verificarsi di A ( evento contrario ad A) con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A e al non verificarsi di B (A - B = A  B c )

15 EVENTI INCOMPATIBILI - la loro intersezione è l’insieme vuoto (non possono verificarsi contemporaneamente) Il linguaggio EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro N.B. Due eventi indipendenti possono essere compatibili Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti

16  può essere anche un insieme costituito da infiniti elementi L’approccio assiomatico Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di , ma non è necessario che tutti i sottoinsiemi dello spazio dei casi elementari siano eventi.

17 L’approccio assiomatico Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia (  ; F ), dove -  è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili) - F è una famiglia (  -algebra) di sottoinsiemi di  che contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati. Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un numero dispari”

18 L’approccio assiomatico La terna (  ; F; p ) è detto spazio di probabilità. Def. : Misura di probabilità su (  ; F ) è una funzione da R nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà a) p(  ) = 1 b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(A  B) = p(A) + p(B) c) se A 1, A 2,.....,A n,........ è una collezione di elementi disgiunti di F, allora proprietà di additività infinita

19 L’approccio assiomatico La probabilità costituisce un caso particolare di misura in (  ; F ) ed è espressa da un numero reale appartenente all’intervallo [0;1]. Una misura è una funzione  : F  [0;+  ) tale che  (  )=0, e valga la proprietà di additività. Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà: a) p(  ) = 0; b) p(A c ) = 1 – p(A) corollario: p(  )=1-p(  )=1-1=0

20 L’approccio assiomatico N.B. Gli eventi che non possono accadere hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa; cioè non è vero che un evento con probabilità 0 non può accadere. Esercizio – Dimostrare: p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)

21 L’approccio assiomatico Se  è un insieme finito di cardinalità n, F è l’insieme delle parti di  e p(A) =  A  F, si ritrova la definizione classica di probabilità.