DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE La Ricorsione Marco D. Santambrogio – Ver. aggiornata al 29 Maggio 2014.

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1 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE La Ricorsione Marco D. Santambrogio – marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 29 Maggio 2014

2 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEObiettivi La ricorsione Ricordate la sigla GNU GNU = GNU is Not Unix GNU = GNU is Not GNU = GNU 2

3 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE L’induzione matematica Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni Definizione: numeri pari  1) 0 è un numero pari  2) se n è un numero pari anche n+2 è un numero pari Dimostrazione: dimostro che (2n) 2 =4n 2 (distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione)  1) n=1 : vero  2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k+1: (2(k+1)) 2 =(2k+2) 2 =(2k) 2 +8k+4= (per hp di induzione) 4k 2 +8k+4 = 4(k 2 +2k+1) = 4(k+1) 2  1) è il passo base, 2) è il passo di induzione 3

4 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il tacchino induttivista Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA) Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista Il tacchino segue il seguente ragionamento:  Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am  Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato il cibo @ 7am  Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato  Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il cibo … Thanksgiving 4

5 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Iterazione e ricorsione Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione 5

6 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEIterazione L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo Il calcolo del fattoriale:  0!=1  n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo) 6

7 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE La ricorsione: definizione Dal latino re-currere  ricorrere, fare ripetutamente la stessa azione In informatica: si tratta di procedure/funzioni che richiamano se stesse Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di:  algoritmi  strutture dati 7

8 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Scopo della programmazione ricorsiva Lo scopo è quelo di risolvere un problema facendo riferimento allo stesso problma su scala ridotta La condizione di terminazione avviene quando si identifica uno o più casi semplici con soluzione immediata La struttura di un algoritmo ricorsivo è il seguente if (è il caso semplice) risolvilo else usa la ricorsione su dati ridotti 8

9 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE La ricorsione: che cos’è? Ricorsione indiretta:  Un sottoprogramma P chiama un sottoprogramma Q  Q a sua volta chiama un terzo R, …  R chiama nuovamente P Ricorsione diretta  Un sottoprogramma P chiama se stesso durante la propria esecuzione 9

10 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Un esempio classico Individuare, in un gruppo di palline l’unica pallina di peso maggiore delle altre facendo uso di una bilancia “a basculla” Per semplicità: il numero di palline sia una potenza di 3 Algoritmo Pesate: Se il gruppo di palline consiste in una sola pallina, allora essa è banalmente la pallina cercata, altrimenti procedi come segue. –Dividi il gruppo di palline in tre e confronta due dei tre sottogruppi. –Se i due gruppi risultano di peso uguale scarta entrambi, altrimenti scarta il gruppo non pesato e quello risultato di peso minore. –Applica l’algoritmo Pesate al gruppo rimanente. 10

11 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Altri esempi di ricorsione La sommatoria di una sequenza di numeri Fattoriale: In arte e non solo… 11 Fact(n)=n*Fact(n-1) Fact(0)=1

12 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il calcolo del fattoriale In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi minori o uguali di quel numero 12

13 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il main del fattoriale 13

14 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il fattoriale iterativo 14

15 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Definizione ricorsiva del fattoriale 1) n!=1 se n=0 2) n!= n*(n-1)! se n>0  Riduce il calcolo a un calcolo più semplice  Ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco  Ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1)  1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione 15

16 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Esempio di traccia Calcoliamo il fattoriale di 4: 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo: il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1 il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2 il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6 il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24 16

17 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE n = 3 main fat= FattRic(3) fat= FattRic(2) fat= FattRic(1) fat= FattRic(0) Il fattoriale ricorsivo Calcolo del Fattoriale in modo ricorsivo: 1 1 2 6 Fact(n)=n*Fact(n-1) Fact(0)=1 17

18 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEMoltiplicazione Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il prodotto di due interi Nota: A*1=A; A*B = A + A*(B-1) int MulRic(int a, int b) { int ris; if (b == 1) ris = a; else ris = a + MulRic(a,b–1); return ris; } 18

19 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEFibonacci Leonardo Fibonacci  Matematico italiano  Compie numerosi viaggi e assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo,  Nel 1202 pubblica: il Liber abaci  Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi il sistema decimale 19

20 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il problema dei “conigli” “Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.” L. Fibonacci da Liber Abaci 20

21 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE I numeri di Fibonacci Idea di base 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1 21

22 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Successione di Fibonacci Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) Fib(0)=0; Fib(1)=1; int fibRic (int n) { int ris; if (n == 0) ris = 0; else if (n == 1) ris = 1; else ris = fibRic(n–1) + fibRic(n–2); return ris; } 22

23 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Un problema interessante: La torre di Brahma 23

24 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE La leggenda Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso. E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina. Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo. Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo. Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo. 24

25 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Le torri di Hanoi http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine 25

26 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Le torri di Hanoi Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno) La funzione prenderà anche tre parametri che indicano:  da quale asta vogliamo partire (source),  a quale asta vogliamo arrivare (dest),  l’altra asta, che possiamo usare come supporto temporaneo (spare). 26

27 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE L’idea di base Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario  Devo quindi prima spostare n - 1 anelli dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione  Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione  Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione.. 27

28 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE L’uso della ricorsione Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore. In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione. 28

29 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Le torri di Hanoi: strategia Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta 29

30 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Le torri di Hanoi: pseudocodice FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare): IF disk == 0, THEN: move disk from source to dest ELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest // /* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) // /* (Passo 3) */ END IF Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5. 30

31 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONECodice void hanoi(int n, int sorgente, int destinazione, int aux) { if (n==1) printf("Sposto da %d a %d.\n",sorgente, destinazione); else{ hanoi(n - 1, sorgente, aux, destinazione); hanoi(1, sorgente, destinazione, aux); hanoi(n - 1, aux, destinazione, sorgente); } 31

32 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Esercizio: Massimo di un array Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il massimo di un array di interi Idea: max(vect[0 : N]) =max(vect[0],max(vect[1 : N])) int max(int *array, int n){ int maxs; if (n==1) return array[0]; /*Caso Array 1 elemento*/ if (n==2){/*Caso Base*/ if (array[0]>array[1]) return array[0]; else return array[1]; } maxs = max(&array[1],n-1);/*Risolvi Problema Ridotto*/ if (array[0]>maxs)return array[0]; else return maxs; } 32

33 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio  Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio Capitolo 4 –Particolare attenzione al 4.5 Credits  Prof. A. Morzenti  Gianluca Palermo 33