A. Stefanel - M - L'energia meccanica

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Lavoro di una forza F F  L = F·R= F R cos  R Equazione dimensionale [lavoro] = [forza][lunghezza] = [massa][lunghezza]2[tempo]-2= [massa][lunghezza]2[tempo]-2 = = [massa][velocità]2 u.m.: joule (simbolo J) un juole è il lavoro compiuto da una forza costante di 1 N nello spostare il suo punto di applicazione di 1 m nella direzione della forza. A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Traiettoria y F1 1 R1 x L1 = F1· R1 = F1 R1 cos 1 A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Traiettoria y Fi i Ri x Li= Fi· Ri = Fi Ri cos i n   dL L = L1 + L2 +……+ Li +…..  Ln = i Li Li 0 L =  F· dR L =  F dR cos  L = i Fi· Ri L = i Fi Ri cos i n  Li 0 A. Stefanel - M - L'energia meccanica

y Fx x z x0 x1 x1 -x0 F Fx Fxx x x A. Stefanel - M - L'energia meccanica

y x z x0 x1 x1 -x0 F n -- x 0 Fxixi L =  Fx · dxi L = i Fxi xi Fx x1 xn xi x A. Stefanel - M - L'energia meccanica

y x z x0 x1 x1 -x0 Fx Interpretazione geometrica del lavoro L =  Fx · dxi L x0 x1 x1 -x0 x A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Teorema dell’energia cinetica L = i Fi· Ri L = i mai· Ri L = m i (vi/t) · Ri vx vxo vxf L = m i (vi/t) · vi t L = m i vi · vi L = m i vi · vi = m i (vix · vix + viy · viy + viz · viz) Se n --, x 0 A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Teorema dell’energia cinetica L = i Fi· Ri L = i mai· Ri L = m i (vi/t) · Ri L = m i (vi/t) · vi t L = m i vi · vi vx L = m i vi · vi = m i (vix · vix + viy · viy + viz · viz) Se n --, x 0 vxo vxf vx L = ½ m (vxf + vx0) (vx1 – vx0) + ½ m (vyf + vy0) (vyf – vy0)+ ½ m (vzf + vz0) (vzf – vz0)= =½ m {[(vxf)2 – (vx0) 2] + [(vyf)2 – (vy0) 2] + [(vzf)2 – (vz0) 2]}= =½ m {[(vxf)2 +(vyf)2 +(vzf)2 ] – [(vx0)2 + (vy0)2 + (vz0) 2]}= =½ m {(vf)2 – (v0)2} L = ½ m (vf)2 – ½ m (v0)2 A. Stefanel - M - L'energia meccanica

z Teorema dell’energia cinetica F y dR L =  F· dR =  m a· dR = t0tf m (dv/dt)· v dt = t0tf m dv· v = t0tf m (vx dvx + vy dvy + vz dvz) = ½ m [v 2(tf) - v 2(to)] x L = ½ m (vf)2 – ½ m (v0)2 Ha validità generale (per qualsiasi tipo di forza) nella meccanica del punto materiale. Energia cinetica: Ec = ½ m v2 u.m.: J L = Ecf – Ec0= Ec A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Teorema dell’energia cinetica Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ L = K (i Fi· Ri) Somma su K = A, B,…..Z Somma dei contributi relativi a ciascuna massa Somma sugli spostamenti Ri cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima). L = K (1/2 mK vKf2 - 1/2 mK vKo2) L = K (1/2 mK vKf2) - K (1/2 mK vKo2) Ec = K (1/2 mK vK2) L = Ecf – Ec0= Ec A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 mK vK2) z MB MK G MA MZ y x A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 mK VK2) RK = RG + rK z RK RG ri t t t VK = = MK rK G Velocità della massa i-esima rispetto a G VK = vG + vK RG RK Velocità del centro di massa y x VK2 = (VK ·VK ) = (vG+ vK) · (vG+ vK) = vG2 + vK2 +2 (vK · vG) A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia cinetica di un sistema z MB MK G Ec = K (1/2 mK VK2) MA MZ y VK2 = vG2 + vK2 +2 (vK · vG) Ec = K (1/2 mK [vG2 + vK2 +2 (vK · vG)]= = K (1/2 mK vG2) + K (1/2 mK vK2)+K mK (vK · vG)]= = 1/2 ( K mK) vG2 + K (1/2 mK vK2)+ ( K mK vK) · vG] = = 1/2 ( K mK) vG2 + K (1/2 mK vK2) x Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK2) L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia cinetica di un sistema z MB MK G Ec = K (1/2 mK VK2) MA MZ VK2 = vG2 + vK2 +2 (vK · vG) y x Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK2) L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa. A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Energia cinetica di rotazione rispetto a un asse che passa per il centro di massa. R L’energia cinetica è solo energia cinetica di rotazione. r v Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK2) = K (1/2 mK vK2) Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare   v = r. = 1/2 (K mK rK2) A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Ec = 1/2 (K mK rK2)2 r v Ec = 1/2 I 2 Momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione I = K mK rK2 Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare   v = r. È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse. A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Momenti di inerzia rispetto ad assi di simmetria di alcuni corpi rigidi. A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Teorema di Huygens- Steiner AG A1 Corpo rigido di massa M Momento di inerzia IG rispetto all’asse AG passante per il baricentro del sistema. d IA1 = IG + M d2 A. Stefanel - M - L'energia meccanica

(es un cilindro che rotola su un piano inclinato).
Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso (es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Ec = ½ M vG2 + ½ I 2 vG: velocità del centro di massa M : massa del sistema I : momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro) : velocità angolare di rotazione intorno all’asse (in generale non è costante) A. Stefanel - M - L'energia meccanica

V: Cilindro vuoto P: Cilindro pieno hv hP RV = RP MV = MP hV = hP D1: Quale delle due arriva prima? D2: per quale delle due è maggiore la velocità del centro di massa? R: Il lavoro della forza peso è in entrambi i casi pari a Mgh. La variazione di energia cinetica è la stessa nei due casi. Dato che IV >IC; la frazione di energia cinetica rotazionale è maggiore per V  arriva prima P, dato che deve essere maggiore la frazione di energia cinetica associata al moto traslatorio del baricentro. A. Stefanel - M - L'energia meccanica

V: Cilindro vuoto P: Cilindro pieno I = MR2 I = ½ MR2 hv hP RV = RP = R MV = MP =M hV = hP = h Mgh = ½ MVGP2 + 1/4 M R2 P2 Mgh = ½ MVGV2 + ½ M R2 v2 (Condizione di rotolamento) VGV = VR VGP= PR Mgh = ½ MVGV2 + ½ M VGV2= MVGV Mgh = ½ MVGP2 + 1/4 M VGP2= 3/4VGP M VGV2 =Mgh 3/4M VGP2 =Mgh VGV2 =gh gh = VGV2 < VGV2 =4/3 gh A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Disco di raggio r e massa M I = ½ M r2 L = mgh Ec = ½ I 2 Dal teorema dell’energia cinetica: L = Ec mgh = ½ I 2 = ¼ Mr2 2 m mg h 2 = 4 (mgh)/(Mr2) m = 0,1 kg M = 2 kg h = 1 m r = 0,1 m  = 14,0 rad s-1  = 2,2 Hz m A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Il disco, una volta che il filo si è staccato, ruota per N giri e poi si ferma r’: raggio del pignone L =- Fattrito N2 r’ Ec =0 -½ I 2 = -½ I 2 Dal teorema dell’energia cinetica: L = Ec - Fattrito N2 r’ = -½ I 2 = -¼ Mr2 2 m mg h m A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Principio di conservazione dell’energia meccanica A L = i mg hi = mg i hi = mg hAB mg B A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Principio di conservazione dell’energia meccanica A l1 mg 1 L = i mg li cos i = mg i hi = mg hAB li cos i = hi Il lavoro effettuato dalla forza peso è indipendente dal percorso seguito dal corpo B B Velocità finali uguali Durata della discesa diversa A. Stefanel - M - L'energia meccanica

L = Ec Velocità massima del pendolo d d cos   mg (d-dcos) = ½ m vmax2 vmax2 = 1/ [2gd(1-cos)] A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Il lavoro della forza elastica F = -kx x x Posizione a riposo della molla Li = Fi·xi = -k xi xi F L = i Li = i -k xi xi= -k i xi xi L = -(k/2) x2 x L =  dL =  (-k x) dx= -k  x dx = -(k/2) x2 Anche in questo caso il lavoro è indioendente dal percorso A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Energia potenziale Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento. L = - (Uf – Ui) Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra l’energia potenziale del sistema nella posizione finale e l’energia potenziale nella posizione iniziale. Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…) Ui = mghi Uf = mghf En. Pot. gravitazionale Ui = 1/2 k xi2 Ui = 1/2 k xf2 En. Pot. elastica Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Principio di conservazione dell’energia meccanica Dal teorema dell’energia cinetica : L = Ecf – Eci Nel caso in cui si abbiano forze conservative: L = - (Uf – Ui) - (Uf – Ui) = Ecf – Eci Eci + Ui = Ecf + Uf E = Ec + U = costante Punto materiale: E = U + ½ M v2 Corpo rigido in rotazione intorno a un asse baricentrico che trasla: E = U + ½ M vG2 + ½ I 2 A. Stefanel - M - L'energia meccanica

Applicazione della conservazione dell’energia Massa dell’oscillatore M Posizione iniziale xo Velocità iniziale 0 m/s x x Posizione a riposo della molla Velocità massima dell’oscillatore (per x =0) Ei = Ui + Ec i = 1/2 k xo2 F Ef = Uf + Ecf = 1/2 M vmax2 x 1/2 M vmax2 = 1/2 k xo2 vmax2 = k xo2/M vmax = k /M xo A. Stefanel - M - L'energia meccanica

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