Gli errori sui parametri. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy385 Gli errori sui parametri Riprendiamo il caso della retta...e sviluppiamo.

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1 Gli errori sui parametri

2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy385 Gli errori sui parametri Riprendiamo il caso della retta...e sviluppiamo le cose per benino...

3 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy386 Gli errori sui parametri Ora minimizziamo

4 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy387 Gli errori sui parametri Sviluppiamo

5 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy388 Gli errori sui parametri

6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy389 Gli errori sui parametri Se facciamo queste posizioni...

7 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy390 Gli errori sui parametri...possiamo scrivere il sistema normale come Poniamo...ed avremo le soluzioni per i parametri della retta

8 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy391 Gli errori sui parametri

9 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy392 Gli errori sui parametri Si dimostra che è la matrice dei pesi Quindi è la matrice delle covarianze

10 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy393 Gli errori sui parametri Quindi

11 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy394 Gli errori sui parametri Esplicitamente

12 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy395 Gli errori sui parametri

13 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy396 Gli errori sui parametri E se si tratta di qualcosa di più complicato? Due casi I.Siamo in un caso lineare nei parametri incogniti –In questo caso ci si arma di pazienza e si rifà quello che abbiamo visto per la retta

14 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy397 Gli errori sui parametri II.Siamo in un caso generale –Lassoluta maggioranza dei casi Si può fare il calcolo degli errori usando la forma analitica del 2

15 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy398 Gli errori sui parametri Tenendo presente che se siamo al minimo

16 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy399 Gli errori sui parametri

17 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy400 Gli errori sui parametri

18 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy401 Gli errori sui parametri

19 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy402 Gli errori sui parametri...ed infine

20 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy403 Gli errori sui parametri

21 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy404 Gli errori sui parametri Infine –Si tratta di un processo laborioso... Altrimenti si può usare la forza bruta del calcolo Ricordiamoci che il 2 non è altro che una somma di scarti ridotti

22 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy405 Gli errori sui parametri...ed allora si trovano i valori dei parametri per i quali Risolvendo lequazione trascendente ad un parametro per volta dà le unità di varianza

23 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy406 Gli errori sui parametri Quindi un sistema trascendente –...e tanti auguri

24 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy407 Gli errori sui parametri Fate attenzione che le equazioni trascendenti sono brutte bestie –Se possibile chiaritevi le idee con dei grafici –Metodo delle secanti e/o bisezione sono i migliori –Due metodi indipendenti danno maggior sicurezza

25 Caso più complesso

26 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy409 Funzioni di variate Supponiamo di avere una funzione lineare di una variata multidimensionale Come facciamo a calcolarci gli errori su ? –Attenzione: ora siamo in molte dimensioni –Dobbiamo calcolarci la matrice delle covarianze!

27 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy410 Funzioni di variate Avremo...

28 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy411 Funzioni di variate Dunque Che è la generalizzazione della vecchia formula sul calcolo degli errori

29 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy412 Funzioni di variate...e se abbiamo una funzione qualunque?...con lo jacobiano

30 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy413 Funzioni di variate...svilupperemo in serie... –Intorno ai valori medi Valori attesi –Al primo ordine Errori piccoli... –E ricorderemo ladditività delle varianze Ipotesi normale...

31 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy414 Funzioni di variate Risultato... Ed al primo ordine...

32 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy415 Funzioni di variate...che nel caso di variabili indipendenti diviene

33 Simulazioni statistiche

34 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy417 Simulazioni statistiche Chiamate anche MonteCarli Il termine (spregiativo) risale ad anni 40 In fenomeni molto complessi si ricorse a simulazioni casuali Oggi si usano di routine in fenomeni complessi Idrodinamica Plasmi Scontri fra Galassie Sviluppi di popolazioni di organismi

35 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy418 Simulazioni statistiche Inizio con gli sciami elettromagnetici –Un gamma materializza in una coppia elettrone-positrone –Le cariche passano vicino a dei nuclei e fanno BS –Vengono emessi dei gamma...

36 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy419 Simulazioni statistiche Si può studiare –con equazioni differenziali... –Ma ne vale la pena? –E come si fa a tener conto delle fluttuazioni? –...oppure simulando statisticamente il processo Simulazioni: oggi molto usate per una varietà di problemi scientifici e tecnici

37 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy420 Simulazioni statistiche Alternative –Forza bruta del calcolo Simulazioni Calcolo agli elementi finiti –Uso sofisticato del calcolo differenziale Molto spesso troppo astratto Troppe ipotesi difficilmente controllabili Sistemi di PDE ed IE di difficile soluzione e controllo Non linearità delle PDE

38 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy421 Simulazioni statistiche Vari modelli: –PM: Particle-Mesh. Una particella si muove in un campo predefinito ed immutabile –Esempio: un satellite nel campo gravitazionale terrestre –P 3 M: Particle-Particle-Particle-Mesh. Idem come sopra, però tenendo conto anche delle interazioni fra le particelle –Esempio: elettroni entro un semiconduttori sottoposti ad un campo esterno (il FET)

39 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy422 Simulazioni statistiche Vediamo alcuni vantaggi –Facilità di modellizzazione –Parcellizzazione di un fenomeno complesso –Possibilità di controllo del calcolo nelle sue varie fasi –Facilità di modifiche al modello –Facilità di riprodurre sistemi non lineari –Facilità di aumentare laccuratezza Svantaggi: tempi di calcolo...

40 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy423 Simulazioni statistiche Il confronto fra dati e previsioni ora ha due facce –Errori sui dati –Errori sulle previsioni –Tipicamente quelli statistici

41 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy424 Simulazioni statistiche Su eventi le fluttuazioni statistiche sono attese dellordine di Le fluttuazioni percentuali sono dunque Domanda:

42 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy425 Simulazioni statistiche Quanti eventi statistici dobbiamo produrre affinché gli errori sperimentali non ne risentano apprezzabilmente?

43 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy426 Simulazioni statistiche La risposta sta nelladditività delle varianze Poniamo che lerrore relativo sia Regola pratica Per un aumento del 10% dellerrore relativo occorrono campioni dellordine di

44 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy427 Simulazioni statistiche Quindi se si ha una statistica di 1000 eventi lerrore sarà incrementato del 10% con una simulazione di 5000 eventi...e se si vuole passare al 5% occorrono 20000 eventi –Ricordate ?...e se si vuole passare all1% occorrono 500000 eventi...

45 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy428 Simulazioni statistiche In genere si accettano statistiche »Nel dubbio è sempre meglio abbondare, se possibile...

46 Dati e segnali

47 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy430 Dati e segnali Differenza importante: Sui dati sperimentali non si ha alcuna informazione –Esempio: la curva di luce di una supernova Sui segnali sperimentali si sa (almeno allincirca) qualcosa –Esempio: il segnale di un fotomoltiplicatore visto alloscillografo

48 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy431 Dati e segnali Differenza di trattamento fondamentale Nei dati tutto può essere importante –Procedimento di analisi standard Scelta di un modello teorico Definizione della legge di distribuzione delle incertezze Fit con la ML Analisi degli errori Analisi delle correlazioni Analisi del livello di confidenza

49 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy432 Dati e segnali Nei segnali si da già cosa è importante Attenzione: mica sempre... Quindi si può cercare di eliminare ciò che non è importante IL RUMORE

50 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy433 Dati e segnali ATTENZIONE: queste sono sempre tecniche MOLTO pericolose se non si sa a priori la forma del segnale –Si rischia di perdere informazioni importanti –Fluttuazioni statistiche (da togliere) si possono sommare a segnali deboli (da tenere, forse) Insomma: molta cautela

51 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy434 Dati e segnali Esempi di segnali unidimensionali –Principalmente: serie temporali EEG, ECG, sismogrammi

52 Le serie temporali

53 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy436 Le serie temporali I dati di partenza Vengono presi dei dati ad intervalli di tempo (di solito uguali) Il problema Estrarre le informazioni significative La soluzione più comune Sviluppare in serie di Fourier

54 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy437 Le serie temporali Problema di solito complesso Divenuto più semplice dopo la scoperta della Fast Fourier Transform (ca.: 1970) Si riduce ad una stima parametrica

55 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy438 Le serie temporali Ogni termine porta a due parametri in più Più uno per tutti: la frequenza fondamentale Sviluppare in serie di Fourier comporta la raccolta di molti dati Linizio e la fine dei dati comporta la presenza di frequenze spurie Artefatti Si ottiene uno spettro di frequenze

56 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy439 Le serie temporali Esempi: –Analisi di vibrazioni statiche –Suoni –Elettroencefalogrammi –... Spesso importante non la ma la

57 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy440 Le serie temporali Caso particolare lEEG –Invece della si usa la –Proporzionale alla potenza –Facendo la FT si ottiene la potenza emanata alle varie frequenze Uno spettro di potenza

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59 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy442

60 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy443 Le serie temporali Un problema Qualè la frequenza massima che si può rivelare con un certo campione? Criterio di Nyquist

61 Segnale e fondo

62 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy445 Segnale e fondo Il problema In funzione di una (o più) variabile(-i) si ha un segnale che è somma –Di un segnale casuale, o comunque non interessante Fondo, background, noise –Di un segnale importante e significativo Come di fa a separarli? Come si fa a calcolare gli errori?

63 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy446 Segnale e fondo Una soluzione Conoscere in qualche modo il fondo Teorie, ipotesi Misure prima e dopo il segnale Simulare il fondo statisticamente Fare lipotesi che il fondo sia lo stesso anche se il segnale è presente Indipendenza oltre che struttura

64 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy447 Segnale e fondo Ottenere il segnale a fondo sottratto Calcolo della percentuale di fondo Normalizzazione Tenere conto delladditività delle varianze Nella sottrazione le cose peggiorano