Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio

Presentazione sul tema: "Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio"— Transcript della presentazione:

1 Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio
Daniela Valenti, Treccani Scuola

2 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Nella realtà Quante squadre in campo? Quante combinazioni? Daniela Valenti, Treccani Scuola

3 Attenzione al linguaggio
Nel linguaggio comune Combinazione di una serratura Anche è vincente 1844 apre ma 8441 NON apre In matematica DISPOSIZIONE Raggruppamento ordinato COMBINAZIONE Raggruppamento NON ordinato Daniela Valenti, Treccani Scuola

4 Contare le combinazioni
Un esempio Calcolo il numero C5,3 di combinazioni delle 5 cifre dispari 3 a 3 Daniela Valenti, Treccani Scuola

5 Contare le combinazioni
In generale Numero delle combinazioni di n oggetti k a k Numero delle disposizioni di n oggetti k a k Numero delle permutazioni di k oggetti Daniela Valenti, Treccani Scuola

6 Calcolare il numero di combinazioni
In generale Formula valida per qualunque coppia n, k con n ≥ k Daniela Valenti, Treccani Scuola

7 Contare il numero di combinazioni
Esempi 12 giocatrici di calcetto decidono di partecipare ad una partita con una squadra di 8 persone (5 giocatrici e 3 riserve). Quante squadre possono organizzare? Per scriverle tutte, ognuna su una riga, riempio circa 17 pagine! Daniela Valenti, Treccani Scuola

8 Contare il numero di combinazioni
Esempi Quante combinazioni dei 90 numeri del SuperEnalotto 6 a 6? oppure Daniela Valenti, Treccani Scuola

9 Contare il numero di combinazioni
Attenzione ai calcoli con la calcolatrice tascabile! Perché la calcolatrice dà un risultato approssimato? Perché 90! e 84! sono numeri con troppe cifre; la calcolatrice mostra solo 11 cifre e passa alla notazione esponenziale. Invece non dà problemi alla calcolatrice la formula Daniela Valenti, Treccani Scuola

10 Contare il numero di combinazioni
Attenzione al risultato molto grande Per scrivere tutte le combinazioni, ognuna su una riga, riempirei circa pagine. Tutte queste pagine peserebbero quanto una grande nave a pieno carico. Daniela Valenti, Treccani Scuola

11 Attenzione al linguaggio NON c’è la linea di frazione
Si legge ‘n sopra k’ COEFFICIENTE BINOMIALE Daniela Valenti, Treccani Scuola

12 Applicare il coefficiente binomiale
Per contare le combinazioni di n oggetti k a k Esempio: squadre di calcetto di 8 giocatrici scelte fra 12 E anche Per contare le permutazioni di n oggetti, di cui k uguali fra loro e anche i restanti (n – k) uguali fra loro, ma diversi dai primi k. Esempio: permutazioni delle lettere della parola NONNO Daniela Valenti, Treccani Scuola

13 Coefficiente binomiale e potenza del binomio
ESEMPIO (a + b)5 = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) Elenco i monomi che ottengo con la moltiplicazione Daniela Valenti, Treccani Scuola

14 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Potenza del binomio ESEMPIO che proviene dallo sviluppo di La formula suggerisce un completamento Così si procede verso una formula generale Daniela Valenti, Treccani Scuola

15 Potenza del binomio ESEMPIO IN GENERALE FORMULA PER SVILUPPARE LA POTENZA DEL BINOMIO Spiega l’origine del nome ‘coefficiente binomiale’. Daniela Valenti, Treccani Scuola

16 Potenza del binomio e triangolo di Tartaglia
(a+b)0 = (a+b)1 = 1a+1b (a+b)2 = 1a2+2ab+1b (a+b)3 = 1a3+3a2b+3ab2+1b (a+b)4 = 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b Daniela Valenti, Treccani Scuola

17 Triangolo di Tartaglia:
come si costruisce Video ‘Mozart and math’ Daniela Valenti, Treccani Scuola

18 Triangolo di Tartaglia: come si costruisce
Daniela Valenti, Treccani Scuola

19 Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia
Daniela Valenti, Treccani Scuola

20 Triangolo di Tartaglia: uno sguardo alla storia
Il triangolo era conosciuto in Cina da Chia Hsien, nel 1100 circa, e da Yang Hui nel 1260 Daniela Valenti, Treccani Scuola

21 Triangolo di Tartaglia: uno sguardo alla storia
Il triangolo fu studiato in Europa da molti matematici rinascimentali, fra i quali: Tartaglia, Stiefel, Cardano, Pascal. Tartaglia Stiefel Cardano Pascal Daniela Valenti, Treccani Scuola

22 Daniela Valenti, Treccani scuola
Attività 1 Il lavoro di gruppo è dedicato a esplorare combinazioni, potenza del binomio e triangolo di Tartaglia. Ecco un video per cominciare a riflettere. Video ‘Quanti cin – cin?’ Daniela Valenti, Treccani scuola

23 Daniela Valenti, Treccani scuola
Attività 1 Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ogni gruppo avrà una scheda di lavoro da completare. Avete 20 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani scuola

24 Che cosa abbiamo ottenuto
Daniela Valenti, Treccani scuola

25 Daniela Valenti, Treccani scuola
Sulle combinazioni Daniela Valenti, Treccani scuola

26 Proprietà dei coefficienti binomiali
Daniela Valenti, Treccani scuola

27 Proprietà dei coefficienti binomiali
k = 3 Daniela Valenti, Treccani scuola

28 Daniela Valenti, Treccani scuola
Potenza del binomio Daniela Valenti, Treccani scuola

29 Triangolo di Tartaglia e potenze di 11
Costruisco le potenze successive di 11 e trovo: 110 = 111 = 112 = 113 = 114 =