Fondamenti della Misurazione

Presentazione sul tema: "Fondamenti della Misurazione"— Transcript della presentazione:

1 Fondamenti della Misurazione
Stime per intervalli Fondamenti della Misurazione David Vetturi

2 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Inferenza Statistica Tutti noi siamo abituati a sentire in occasione delle consultazioni elettorali le stime dei risultati pochi minuti dopo la chiusura dei seggi (exit poll) Tutti noi sappiamo anche che i risultati forniti da queste analisi sono delle stime

3 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Inferenza Statistica POPOLAZIONE CAMPIONE Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc.

4 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Campionamento Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo) Una popolazione può essere finita o infinita Riferimento: Vicario, Levi “Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri” Progetto Leonardo Capitoli 7 e 8

5 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Campionamento Definizione: un insieme {X1,X2,..,Xn} viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta fx1,x2,..,xn(x1,x2,..,xn) delle n variabili X1,X2,..,Xn può essere espresso come:

6 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Statistiche Definizione: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità:

7 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Statistiche Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che: dove m e s2 sono rispettivamente media e varianza di f(x)

8 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Statistiche Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità:

9 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Statistiche Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che: dove s2 è la varianza di f(x)

10 Teorema Limite Centrale
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Teorema Limite Centrale Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza m e s2 finite, sia Xn la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media m e varianza s2/n al tendere di n all’infinito.

11 Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli
Stima per intervalli Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro q un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-a)

12 Stima per intervalli della media
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media Sia {X1,X2,..,Xn} un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media m e varianza s2 nota. Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media m e varianza s2/n. Consideriamo

13 Stima per intervalli della media
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque

14 Stima per intervalli della media
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media e quindi:

15 Stima per intervalli della media
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media dunque un intervallo fiduciario per la media

16 Se la varianza s2 non è nota allora si ha che la quantità
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media Se la varianza s2 non è nota allora si ha che la quantità segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà

17 Stima per intervalli della media
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha:

18 Stima per intervalli della media
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Stima per intervalli della media e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da

19 Tabella per la distribuzione di student
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Tabella per la distribuzione di student

20 Tabella per la distribuzione di student
Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli Tabella per la distribuzione di student