Eventi aleatori Un evento è aleatorio (casuale) quando non si può prevedere con certezza se avverrà o meno I fenomeni (eventi) aleatori sono studiati.

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1 Eventi aleatori Un evento è aleatorio (casuale) quando non si può prevedere con certezza se avverrà o meno I fenomeni (eventi) aleatori sono studiati attraverso la teoria della probabilità Probabilità di un evento semplice Un evento può risultare: Certo (si verifica sempre) -estrazione di una pallina nera da un’urna contenente solo palline nere Impossibile(non si verifica mai) -estrazione di una pallina bianca da un’urna contenente solo palline nere Probabile(può verificarsi o no) -estrazione di una pallina bianca da un’una contenente sia palline nere che bianche

2 La prova genera l’evento con una certa probabilità
Eventi e probabilità impossibile certo probabile P=0 0<P<1 P=1 Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di E rappresenta l’evento complementare E con la relazione P(E) = 1 – P(E) La prova genera l’evento con una certa probabilità

3 Spazio campionario Lo spazio campionario associato al lancio di due monete comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio campionario TT TC CT CC

4 Teoria e calcolo della probabilità
L’entità di successi in una serie di osservazioni (prove) può essere definita come frequenza relativa o (percentuale) calcolata come rapporto tra il numero di eventi favorevoli rispetto al numero di casi esaminati Il grado di aspettativa circa il verificarsi di un evento E, ovvero la probabilità dell’evento P(E) è

5 Concezione classica della probabilità
La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di E(n) e il numero di casi possibili (N), purché siano tutti equi - probabili Es: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0.08 probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0.5

6 Applicazioni della concezione classica
Probabilità uscita testa Probabilità faccia 6 dado Qual è la probabilità che lanciando due volte una moneta si presenti prima la faccia testa poi la faccia croce 1°- TT 2°- TC 3°- CT 4°- CC p = p=

7 Concezione frequentista della probabilità
La probabilità di un evento è la frequenza relativa di successo in una serie di prove tendenti all’infinito, ripetute sotto identiche condizioni Nella concezione frequentista la probabilità è ricavata a posteriori dall’esame dei dati Frequenza relativa su un gran numero di prove Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ? I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventi Frequenza relativa = 30/933= 3.22% = Probabilità di mortalità post-operatoria

8 Legge dei grandi numeri
P(E): ripetendo la prova un gran numero di volte si osserva che il rapporto f= m/n (frequenza relativa) dove m= numero di successi ed n= numero di prove tende ad avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E) La frequenza relativa f al crescere del numero delle prove, tende, pur oscillando, verso un valore costante (stabilità della frequenza)

9 Elementi di statistica
La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità Si parte dai concetti fondamentali Si estende la definizione di probabilità Si introducono delle nuove variabili

10 Estensione del concetto di probabilità
Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili

11 Le variabili aleatorie
Una variabile aleatoria è una variabile... ... reale ... discreta o continua ... associata ad una probabilità

12 In ogni caso vale la condizione di normalizzazione
...ed in generale un valore atteso (“speranza matematica”) vale...

13 Le distribuzioni in generale
Quasi sempre di una distribuzione si fornisce La media La standard deviation La moda : massima frequenza di una distribuzione (valore + probabile)

14 Le principali distribuzioni discrete
Veramente importanti solamente due Distribuzione di Bernoulli e binomiale Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari

15 Le variabili aleatorie discrete
Una variabile aleatoria discreta Assume i valori ... ... con probabilità

16 Esempio classico: il dado
Variata: un numero da 1 a 6 Probabilità associata: 1/6

17 Il dado xk Pk 1 0.167 2 3 4 5 6

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19 La distribuzione binomiale
Caso tipico: Estraiamo da un’urna una palla Bianca: probabilità p Nera: probabilità q=1-p Probabilità di estrarre k palle bianche su n estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla

20 La distribuzione binomiale
Legge della distribuzione Introduciamo una variata che valga 1 per successo e 0 per insuccesso Quindi Su n prove

21 La distribuzione binomiale
All’aumentare della probabilità (da 0.1 a 0.3) la distribuzione diviene più simmetrica Se aumentiamo n (numero delle ripetizioni) nella distribuzione binomiale essa assomiglia sempre più ad una distribuzione gaussiana …

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23 La distribuzione continua
Veramente importante quella di GAUSS

24 La distribuzione gaussiana
La funzione di distribuzione continua di Gauss (che possiamo vedere come caso limite di quella binomiale in cui n ∞ ) : Media Varianza

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26 La distribuzione gaussiana
Normalizzazione:

27 La distribuzione gaussiana
In realtà a noi serve

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29 Curva di Gauss Caratteristiche
E’ simmetrica rispetto alla media:la probabilità di un valore superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse ( da a - ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella distribuzione La frazione di area compresa tra due valori della variabile è assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo

30 Le aree sottese alla curva normale
Spesso è necessario determinare la probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo Proprietà della curva normale: l’area sottesa alla porzione di curva che vi è tra le media e una ordinata posta a una distanza data, determinata in termini di una o più deviazione standard, è costante

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