5 a lezione - laboratorio a.a 2004-2005 Corso di Laurea ING. MECCANICA.

Presentazione sul tema: "5 a lezione - laboratorio a.a 2004-2005 Corso di Laurea ING. MECCANICA."— Transcript della presentazione:

1 5 a lezione - laboratorio a.a 2004-2005 Corso di Laurea ING. MECCANICA

2 Esercizio 1 a) si analizzino in [-10 10], le proprietà di f ( x ) atte a determinare le soluzioni dellequazione data; b) si enunci, per ogni metodo, almeno un teorema di convergenza e si calcoli la prima radice positiva, utilizzando i metodi di: punto fisso, bisezione e Newton; c) si riporti, per ciascun metodo, una tabella riassuntiva dei risultati. Data lequazione:

3 Punto a: proprietà di f ( x ) è funzione pari (simmetrica rispetto allasse y), infatti f ( x ) = f ( - x ) Si cercano le radici solo in [0, 10], le altre si ottengono per simmetria.

4 Grafico di f (x) in [-10,10] x=linspace(-10,10); %100 punti y=(x.^2-4).*cos(x)+4*... x.*sin(x); plot(x,y,[-10 10],... [0 0],'r') grid %fplot( (x^2-4)*cos(x)+4*... x*sin(x),[-10,10]), grid hold on fplot('0*x',[-10,10],r)

5 Punto b: valutazione di f (x) in [0,2] fplot((x^2-4)*cos(x)+4*x*sin(x),[0,2]) hold on fplot(0*x,[0,2],r), grid hold off Si può restringere lintervallo di lavoro intorno al valore 0.8 ad esempio Si consideri ora il problema, posto nella forma consistente:

6 Come è stata ottenuta la forma consistente? Dallequazione: Dividendo entrambi i membri per e Portando le altre quantità a secondo membro, si ottiene: Da cui, applicando la funzione inversa di tan ad Entrambi i membri, si ottiene la x = g(x) data.

7 Metodo del punto fisso: convergenza Hp:, I = [a,b], ed inoltre: Th : 2. a. b. La successione converge a

8 Punto b: verifica delle ipotesi:Hp.1 g(0.76)=0.844502307, g(0.85)=0.767055032 g( x ) è funzione decrescente in [0.76,0.85], Hp.1: Per potere dire ciò è fondamentale la proprietà di monotonia!!!

9 Punto b: verifica Hp.2 è funzione decrescente in [0.76,0.85], quindi ha il max in x = 0.76. Sono quindi soddisfatte le Hp. del Teorema di convergenza. La convergenza è alternata. Hp. 2:

10 Stima della costante asintotica Per la convergenza alternata, il criterio di arresto sullincremento delle iterate dà informazioni sullerrore e quindi è valido. Il metodo è lento! Si prevedono molte iterate!

11 x=[0.76 0.85]; % vettore di valutazione dg=4./(4+x.^2); % vettore derivata prima % il massimo del modulo è nella prima %componente fattore=abs(dg(1))/(1-abs(dg(1))) fattore=6.9252 % il criterio sullincreme. % delliterata sarebbe buono anche in caso % di convergenza monotona Stima di: Risulta:

12 Punto b: istruzioni punto fisso x0=0.85; nmax=30; toll=1e-12; g='atan((4-x.^2)./(4*x))'; fun='(x.^2-4).*cos(x)+4*x.*sin(x)'; [xvect,xdiff,fx,it,p,c]=Punto_fisso(x0,nmax,toll, fun,g); Superato il numero massimo di iterazioni Numero di Iterazioni : 30 Radice calcolata : 8.0574762944530720e-001 Ordine stimato : 1.0002306954253075 Fattore di riduzione : 0.8618208303146728

13 Punto c: tabella riassuntiva punto fisso iter=0:it; fprintf('%2d %22.15f %15.3e %15.3e\n',[iter;xvect';xdiff';fx']) 0 0.850000000000000 0.000e+000 3.913e-001 1 0.767055031913984 8.294e-002 3.268e-001 2 0.838344708482176 7.129e-002 2.886e-001 3 0.776947841631129 6.140e-002 2.429e-001 4 0.829734759889720 5.279e-002 2.130e-001 5 0.784282285048637 4.545e-002 1.803e-001 6 0.823369936788959 3.909e-002 1.574e-001 7 0.789718599049830 3.365e-002 1.338e-001 8 0.818662530354475 2.894e-002 1.163e-001............ 29 0.804685482453066 1.234e-003 4.936e-003 30 0.805747629445307 1.062e-003 4.249e-003 xvect ci mostra la conv. alternata del metodo

14 Stima del numero di iterazioni x=0.76;toll=1.e-12; dg=-4./(x.^2+4); err1=abs(xvect(1)-xvect(2)); k=log(toll*(1-abs(dg))/abs(err1))/log(abs(dg)) k = 201.7452

15 Risultati con nmax = k stimato x0=0.85; nmax=201; toll=1e-12; g='atan((4-x.^2)./(4*x))'; fun='(x.^2-4).*cos(x)+4*x.*sin(x)'; [xvect,xdiff,fx,it,p,c]=Punto_fisso(x0,nmax,toll, fun,g); Numero di Iterazioni : 169 Radice calcolata : 8.0525634837580429e-001 Ordine stimato : 1.0001387160064317 Fattore di riduzione : 0.8638470881065841

16 Punto b: istruzioni bisezione a=0.76;b=0.85; nmax=50; toll=1e-12; fun='(x.^2-4).*cos(x)+4*x.*sin(x)'; [xvect,xdiff,fx,it,p,c]=bisezione(a,b,nmax,toll,fun); Numero di Iterazioni : 36 Radice calcolata : 8.0525634837700633e-001 Ordine stimato : 0.9999388520125837 Fattore di riduzione : 0.4992064724546705

17 Punto c: tabella riassuntiva metodo bisezione iter=1:it; fprintf('%2d %22.15f %15.3e %15.3e\n',[iter;xvect';xdiff';fx']) 1 0.805000000000000 2.250e-002 2.217e-003 2 0.827500000000000 1.125e-002 1.935e-001 3 0.816250000000000 5.625e-003 9.535e-002 4 0.810625000000000 2.812e-003 4.650e-002 5 0.807812500000000 1.406e-003 2.212e-002 6 0.806406250000000 7.031e-004 9.948e-003 7 0.805703125000000 3.516e-004 3.864e-003 8 0.805351562500000 1.758e-004 8.235e-004............ 30 0.805256348354742 4.191e-011 1.858e-010............ 35 0.805256348378316 1.310e-012 1.810e-011 36 0.805256348377006 6.548e-013 6.773e-012

18 x 0 =b a Metodo di Newton x1x1 x2x2

19 Grafico di f ( x ) in fplot((x^2-4)* cos(x)+4*x*sin(x), [0.76,0.85]),grid title(Andamento di f)

20 Teorema 1: convergenza locale del metodo di Newton

21 Teorema 2: convergenza globale del metodo di Newton

22 Verifica delle ipotesi di convergenza f(0.76)=-0.3864 0 df=6*x.*cos(x)... -(x.^2-8).*sin(x);

23 Proprietà di f in ddf=-8*x.*sin(x)-(x.^2-14).*cos(x);

24 Verifica ulteriori ipotesi per avere la convergenza globale Sono verificate tutte le ipotesi del Teorema 2

25 Punto b: istruzioni Newton estremo di Fourier: x0=0.85; nmax=30; toll=1e-12; fun='(x.^2-4).*cos(x)+4*x.*sin(x)'; dfun='6*x.*cos(x)-(x.^2-8).*sin(x)'; [xvect,xdiff,fx,it,p,c]=newton(x0,nmax,toll,fun, dfun); Numero di Iterazioni : 4 Radice calcolata : 0.8052563483762233 Ordine stimato : 1.99949... Fattore di riduzione : 0.2649...

26 Punto c: tabella riassuntiva metodo di Newton iter=0:it; tab=[iter;xvect';xdiff';fx']; fprintf('%2d %22.15f %15.3e %15.3e\n',tab) it soluzione xdiff fx 0 0.850000000000000 0.000e+000 3.913e-001 1 0.805706691316114 4.429e-002 3.895e-003 2 0.805256402305875 4.503e-004 4.664e-007 3 0.805256348376224 5.393e-008 7.105e-015 4 0.805256348376223 7.772e-016 4.441e-016 xvect ci mostra la convergenza monotona del metodo